2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三二模數(shù)學試題（文）（解析版）

高級中學精品試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古包頭市2023屆高三二模數(shù)學試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.2.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故選：C.3.已知為拋物線上第一象限的一點，以點B為圓心且半徑為12的圓經(jīng)過C的焦點F，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：拋物線的焦點坐標，準線，則，解得.故選：D.4.正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗設正方體棱長為，可得正八面體是由兩個四棱錐構成，四棱錐的底面為邊長為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5設，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.6.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，而，所以點處的切線方程為，即.故選：A7.已知，且，則＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以或，又，故.故選：B8.若函數(shù)在的大致圖象如下圖，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗設函數(shù)的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.9.若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，解得，則的定義域為，又為奇函數(shù)，所以，可得，當時，，其定義域為，，所以是奇函數(shù)，故.故選：A.10.小王家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小王家，小王離開家去工作的時間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為x，小王離開家的時間為y，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意作出圖形如圖所示，基本事件位于矩形內(nèi)及邊界，事件發(fā)生，則，即事件A應位于五邊形BCDEF內(nèi)及邊界，則.故選：A.11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長的棱的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖，幾何體如下圖示，且面，而面，故，所以，顯然為最長棱.故選：C12.已知A，B，C為球O的球面上的三個點，為△ABC的外接圓，若的面積為12π，，則當△ABC的面積最大時，球O的表面積為（）A.84π B.96π C.180π D.192π〖答案〗D〖解析〗設的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，，因為，所以，所以，設，，則，因為，由可得，，由可得，，因為，所以，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當時，取得唯一極大值，也是最大值，此時，為等邊三角形，且，所以，，由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若x，y滿足約束條件則的最小值為______．〖答案〗1〖解析〗由題設可得如下可行域，要使最小，即直線上下平移過程中，與可行域有交點情況下截距最小，所以，當過與的交點時有最小值，故.故〖答案〗為：114.已知，，與的夾角為θ，且，則θ＝______．〖答案〗〖解析〗由，即，所以，又，則.故〖答案〗為：15.已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在直線上，則圓C的標準方程為__________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以直線的斜率為，線段中點為，所以中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標為.根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故〖答案〗為：.16.雙曲線C：（，）的兩個焦點為，，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的漸近線交于點H，若的面積為，則C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗設直線與圓相切于,由題意可知,，所以，所以,所以直線方程為，聯(lián)立和得，故因此，故，因此，故，故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，，，．（1）若，且等比數(shù)列的公比大于0，求和的通項公式；（2）若，求．解：（1）設的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因為，解得，所以，.（2）設的公差為d，的公比為q.當時，，不滿足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.當時，，由，得，所以，故；當時，，由，得，所以，故.18.某學校為了解高三學生的學習成績變化情況，隨機調(diào)查了100名學生，得到這些學生一輪復習結束相對于高二期末學習成績增長率的頻數(shù)分布表.的分組學生數(shù)16243012108（1）估計這個學校的高三學生中，學習成績增長率不低于的學生比例；（2）求這個學校的高三學生學習成績增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（精確到）附：.解：（1）根據(jù)學習成績增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的名學生中，學習成績增長率不低于的學生有人，所以學習成績增長率不低于學生頻率為，用樣本頻率分布估計總體分布得這個學校高三學生成績增長率不低于的學生比例為（2）.19.如圖，四棱錐S—ABCD中，側面底面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點，．（1）證明：平面SAD；（2）點P在棱SA上，當時，求四棱錐P—AFCD的體積．（1）證明：設M為SD的中點，連接ME，MA，因為ME是的中位線，所以，又且，所以底面ABCD為平行四邊形，所以，又且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面（2）解：由，，即，故，所以△為等腰直角三角形，若為中點，連接，所以，，又，，即△為等邊三角形，所以，因為面面ABCD，面底面ABCD，，面，所以面ABCD，面ABCD，故，在△中，，即，若為中點，則，故，在△中，，則，又，P在棱SA上，且，易知：△△，所以，又，由（1）M為SD的中點，故為中點，所以到面距離等于到面距離的一半，又面ABCD，即，由，則四棱錐P—AFCD的體積.20.設函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個極值點，，求a的取值范圍．解：（1）∵，∴，當時，∴，定義域為R，則，∴，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵有兩個極值點，（），∴，是的兩個不同的根.即：，是的兩個不同的根.∴令，則，是與的兩個不同的交點.∴，∴，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，，當時，；當時，，∴圖象如圖所示，所以，所以，即：a的取值范圍為.21.已知定點，及動點，點R是直線MQ上的動點，且．（1）求點R的軌跡C的方程；（2）過點的直線與曲線C交于點A，B，試探究：的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．解：（1）設點的坐標為，由已知，，，因為點R是直線MQ上，所以，因為，所以，即，所以化簡得，．因為，所以，故點R的軌跡C的方程為．（2）過點的斜率為的直線與曲線沒交點，不滿足要求，故設直線AB的方程為，由，消去x并整理，得，方程的判別式，設，則，所以，的面積，設，則，設，則，在是增函數(shù)，故，即，有，因此，當，即時，S存在最大值為．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．〖選修4-4：坐標系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（1）寫出C的普通方程；（2）若A，B是C上異于坐標原點O的兩動點，且，，并與線段AB相交于點P，求點P軌跡的極坐標方程．解：（1）由C的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得C的普通方程為．（2）根據(jù)（1），設，（，且），則，因為，所以，得，又，因為，所以，即，因為A，P，B三點共線，所以，即，整理得，把和，代入上式，得，故點P軌跡的極坐標方程為．〖選修4-5：不等式選講〗23.已知函數(shù)．（1）畫出和的圖象；（2）若，求a的值．解：（1）由已知得，，和的圖象如圖所示．（2）的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移a（）個單位長度，或向右平移（）個單位長度得到，根據(jù)圖象，可知把函數(shù)的圖象向右平移不符合題意，只能向左平移．當向左平移使的圖象的右支經(jīng)過的圖象上的點時為臨界狀態(tài)，如圖所示，此時的圖象的右支對應的函數(shù)〖解析〗式為，的圖象的左支與的圖象的一部分重合，代入點的坐標，則，解得．因為，所以，故a的值為6內(nèi)蒙古包頭市2023屆高三二模數(shù)學試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.2.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故選：C.3.已知為拋物線上第一象限的一點，以點B為圓心且半徑為12的圓經(jīng)過C的焦點F，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：拋物線的焦點坐標，準線，則，解得.故選：D.4.正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗設正方體棱長為，可得正八面體是由兩個四棱錐構成，四棱錐的底面為邊長為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5設，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.6.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，而，所以點處的切線方程為，即.故選：A7.已知，且，則＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以或，又，故.故選：B8.若函數(shù)在的大致圖象如下圖，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗設函數(shù)的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.9.若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，解得，則的定義域為，又為奇函數(shù)，所以，可得，當時，，其定義域為，，所以是奇函數(shù)，故.故選：A.10.小王家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小王家，小王離開家去工作的時間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為x，小王離開家的時間為y，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意作出圖形如圖所示，基本事件位于矩形內(nèi)及邊界，事件發(fā)生，則，即事件A應位于五邊形BCDEF內(nèi)及邊界，則.故選：A.11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長的棱的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖，幾何體如下圖示，且面，而面，故，所以，顯然為最長棱.故選：C12.已知A，B，C為球O的球面上的三個點，為△ABC的外接圓，若的面積為12π，，則當△ABC的面積最大時，球O的表面積為（）A.84π B.96π C.180π D.192π〖答案〗D〖解析〗設的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，，因為，所以，所以，設，，則，因為，由可得，，由可得，，因為，所以，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當時，取得唯一極大值，也是最大值，此時，為等邊三角形，且，所以，，由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若x，y滿足約束條件則的最小值為______．〖答案〗1〖解析〗由題設可得如下可行域，要使最小，即直線上下平移過程中，與可行域有交點情況下截距最小，所以，當過與的交點時有最小值，故.故〖答案〗為：114.已知，，與的夾角為θ，且，則θ＝______．〖答案〗〖解析〗由，即，所以，又，則.故〖答案〗為：15.已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在直線上，則圓C的標準方程為__________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以直線的斜率為，線段中點為，所以中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標為.根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故〖答案〗為：.16.雙曲線C：（，）的兩個焦點為，，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的漸近線交于點H，若的面積為，則C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗設直線與圓相切于,由題意可知,，所以，所以,所以直線方程為，聯(lián)立和得，故因此，故，因此，故，故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，，，．（1）若，且等比數(shù)列的公比大于0，求和的通項公式；（2）若，求．解：（1）設的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因為，解得，所以，.（2）設的公差為d，的公比為q.當時，，不滿足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.當時，，由，得，所以，故；當時，，由，得，所以，故.18.某學校為了解高三學生的學習成績變化情況，隨機調(diào)查了100名學生，得到這些學生一輪復習結束相對于高二期末學習成績增長率的頻數(shù)分布表.的分組學生數(shù)16243012108（1）估計這個學校的高三學生中，學習成績增長率不低于的學生比例；（2）求這個學校的高三學生學習成績增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（精確到）附：.解：（1）根據(jù)學習成績增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的名學生中，學習成績增長率不低于的學生有人，所以學習成績增長率不低于學生頻率為，用樣本頻率分布估計總體分布得這個學校高三學生成績增長率不低于的學生比例為（2）.19.如圖，四棱錐S—ABCD中，側面底面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點，．（1）證明：平面SAD；（2）點P在棱SA上，當時，求四棱錐P—AFCD的體積．（1）證明：設M為SD的中點，連接ME，MA，因為ME是的中位線，所以，又且，所以底面ABCD為平行四邊形，所以，又且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面（2）解：由，，即，故，所以△為等腰直角三角形，若為中點，連接，所以，，又，，即△為等邊三角形，所以，因為面面ABCD，面底面ABCD，，面，所以面ABCD，面ABCD，故，在△中，，即，若為中點，則，故，在△中，，則，又，P在棱SA上，且，易知：△△，所以，又，由（1）M為SD的中點，故為中點，所以到面距離等于到面距離的一半，又面ABCD，即，由，則四棱錐P—AFCD的體積.20.設函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個極值點，，求a的取值范圍．解：（1）∵，∴，當時，∴，定義域為R，則，∴，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵有兩個極值點，（），∴，是的兩個不同的根.即：，是的兩個不同的根.∴令，則，是與的兩個不同的交點.∴，∴，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，，當時，；當時，，∴圖象如圖所示，所以，所以，即：a的取值范圍為.21.已知定點，及動點，點R是直線MQ上的動點，且．（1）求點R的軌跡C的方程；（2）過點的直線與曲線C交于點A，B，試探究：