固體物理 5-2一維單元子鏈

問題2：一維晶格振動的特點？1、一維單原子晶格

N個原胞,各含一原子(m)，t時刻n原子偏離平衡位置位移平衡時原子間距a

n、n＋1原子間的相對位移t時刻，n、n＋1原子間距平衡位置時，兩原子間的作用勢能發(fā)生相對位移后，相互作用勢能簡諧近似

——振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項相鄰原子間的作用力常數(shù)原子的運動方程——只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力第n個原子的運動方程——每一個原子運動方程類似設方程解naq

—第n個原子振動位相因子得到——一維簡單晶格中格波的色散關系，即振動頻譜格波的意義對比連續(xù)介質波波數(shù)——格波和連續(xù)介質波具有完全類似的形式格波方程

晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動,不同原子間有振動位相差，這種振動以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。格波的色散關系的特點

頻率是波數(shù)的偶函數(shù)

色散關系曲線具有周期性——q空間的周期頻率極小值頻率極大值只有頻率在之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減一維單原子晶格看作成低通濾波器（頻率大于上限的波不能通過）格波——長波極限情況

當格波傳播速度連續(xù)介質彈性波相速度——長波極限下，一維單原子晶格格波可看作是彈性波速度一致——

晶格可以看成是連續(xù)介質格波——短波極限情況當時，為整數(shù)格波2(Green)波矢格波1(Red)波矢兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同格波q的取值：波矢的取值第一布里淵區(qū)——只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容格波波矢取值限定于一個倒格子原胞，即倒格子空間的一個區(qū)域。玻恩－卡門（Born-Karman）周期性邊界條件——實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述設第n個原子的位移再增加N個原子之后，第N+n個原子的位移則有要求——h為整數(shù)波矢的取值范圍h—N個整數(shù)值q

取N個不同分立值q

取N個不同分立值結論:h—N個整數(shù)值給定一組，表一種振動模式標志晶體中的一種格波數(shù)目=獨立振動模式數(shù)=格波數(shù)目=晶體總的自由度數(shù)晶格振動的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)模型運動方程試探解色散關系波矢q范圍B--K條件波矢q取值2、一維復式格子——兩種原子m和M_(M>m)——系統(tǒng)有N個原胞——力常數(shù)為——M原子位于2n-1，2n+1，2n+3……——m原子位于2n，2n+2，2n+4……——同種原子間的距離2a（晶格常數(shù)）——N個原胞，有2N個獨立的方程兩種原子振動的振幅A和B一般不同第2n+1個M原子的方程第2n個m原子的方程方程解的形式——A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零第2n+1個M原子第2n個m原子方程的解——一維復式晶格中存在兩種獨立的格波——與q之間存在著兩種不同的色散關系——一維復式格子存在兩種獨立的格波——光學波——聲學波兩種格波的振幅——光學波——聲學波色散關系的特點短波極限兩種格波的頻率因為M＞m——不存在頻率為此區(qū)間的格波頻率間隙一維雙原子晶格叫做帶通濾波器長波極限聲學波應用長聲學波的色散關系與連續(xù)介質中彈性波的色散關系形式相同.長聲學波中相鄰原子的振動——原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致長聲學波代表原胞質心的振動光學波

長波極限——長光學波中，相鄰不同原子振動方向相反.長光學波代表原胞質心不變的振動,原胞中原子相對動波矢q范圍及取值增的整數(shù)倍，原子位移、色散關系不變.即波矢q限制于：——第一布里淵區(qū)為保證第2n+1個M原子第2n個m原子方程的解第2n+1個M原子第2n