云南省鳳慶縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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云南省鳳慶縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),滿(mǎn)足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.2.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A.180 B.90 C.45 D.3603.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.4.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.5.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.在三棱錐中,,,,,點(diǎn)到底面的距離為2,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.7.已知集合,,則()A. B.C. D.8.設(shè)為的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的值域是;②函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;④若對(duì)任意,都有成立,則的最小值為;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.10.函數(shù),,則“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.12.已知復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.14.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點(diǎn),且,P為BE上一點(diǎn),且滿(mǎn)足,則的最小值為_(kāi)_____.15.已知函數(shù)為奇函數(shù),則______.16.已知,圓,直線PM,PN分別與圓O相切,切點(diǎn)為M,N,若,則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時(shí),是否存在實(shí)數(shù),使曲線:在點(diǎn)處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.18.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.19.(12分)過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.20.(12分)2018年9月,臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶(hù)在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶(hù)的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶(hù)捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶(hù)并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶(hù)中隨機(jī)抽取2戶(hù)進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶(hù)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)已知等比數(shù)列中,,是和的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過(guò)平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】試題分析:因?yàn)榈恼归_(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以,,令,則,.考點(diǎn):1.二項(xiàng)式定理;2.組合數(shù)的計(jì)算.3、D【解析】

由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問(wèn)題,若已知垂直,通常可得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.4、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.5、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定,由此可知為三棱錐外接球的球心,在中,可以算出的一個(gè)表達(dá)式,在中,可以計(jì)算出的一個(gè)表達(dá)式,根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑,進(jìn)而求出球的表面積.【詳解】取中點(diǎn),由,可知:,為三棱錐外接球球心,過(guò)作平面,交平面于,連接交于,連接,,,,,,為的中點(diǎn)由球的性質(zhì)可知:平面,,且.設(shè),,,,在中,,即,解得:,三棱錐的外接球的半徑為:,三棱錐外接球的表面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題,求解幾何體外接球相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.7、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先化簡(jiǎn)已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個(gè)零點(diǎn),且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

化的解析式為可判斷①,求出的解析式可判斷②,由得,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由得可判斷④.【詳解】由題意,,所以,故①正確;為偶函數(shù),故②錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故③正確;若對(duì)任意,都有成立,則為最小值點(diǎn),為最大值點(diǎn),則的最小值為,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容,是一道較為綜合的問(wèn)題.10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè),若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.11、C【解析】

根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)?,且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.12、A【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0.08【解析】

先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計(jì)算公式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).14、【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點(diǎn):向量的運(yùn)算,基本不等式.【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,屬于中檔題目,在解題的過(guò)程中,關(guān)鍵步驟在于對(duì)題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案.15、【解析】

利用奇函數(shù)的定義得出,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù),則,即,,整理得,解得.當(dāng)時(shí),真數(shù),不合乎題意;當(dāng)時(shí),,解不等式,解得或,此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),合乎題意.綜上所述,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查了函數(shù)奇偶性的定義和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.16、【解析】

由可知R為中點(diǎn),設(shè),由過(guò)切點(diǎn)的切線方程即可求得,,代入,,則在直線上,即可得方程為,將,代入化簡(jiǎn)可得,則直線過(guò)定點(diǎn),由則點(diǎn)在以為直徑的圓上,則.即可求得.【詳解】如圖,由可知R為MN的中點(diǎn),所以,,設(shè),則切線PM的方程為,即,同理可得,因?yàn)镻M,PN都過(guò),所以,,所以在直線上,從而直線MN方程為,因?yàn)椋?,即直線MN方程為,所以直線MN過(guò)定點(diǎn),所以R在以O(shè)Q為直徑的圓上,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考查圓的切線方程,定點(diǎn)和圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最值問(wèn)題,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力,難度較難.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)不存在實(shí)數(shù),使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.【解析】

(1)分類(lèi)時(shí),恒成立,時(shí),分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解.再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.【詳解】解:(1)因?yàn)楫?dāng)時(shí),恒成立,所以,若,為任意實(shí)數(shù),恒成立.若,恒成立,即當(dāng)時(shí),,設(shè),,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值.,所以,要使時(shí),恒成立,的取值范圍為.(2)由題意,曲線為:.令,所以,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),因此在區(qū)間上的最小值,所以,當(dāng)時(shí),,,所以,曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程在上有實(shí)數(shù)解.而,即方程無(wú)實(shí)數(shù)解.故不存在實(shí)數(shù),使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立,考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由導(dǎo)數(shù)幾何把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)(i)(ii)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類(lèi)討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求解參數(shù)取值范圍;(ii)設(shè),通過(guò)轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因?yàn)椋援?dāng)時(shí),在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,至多一個(gè)零點(diǎn),不符題意,當(dāng)時(shí),因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,解得,因?yàn)椋?,所以存在,使得,又因?yàn)椋O(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因?yàn)?,所以存在,使得,綜上,;(ii)因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,設(shè),則,所以,解得,所以,所以,設(shè),則,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,所以,即,所以單調(diào)遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化證明與零點(diǎn)相關(guān)的命題.19、(1);(2).【解析】

(1)將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程;(2)寫(xiě)出直線MN的參數(shù)方程,將參數(shù)方程代入曲線方程,并將其化為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,根據(jù),結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(是參數(shù)),可得,即曲線C的一般方程為.(2)直線MN的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將直線MN的參數(shù)方程代入曲線,得,整理得,設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為,,則,當(dāng)時(shí),取得最小值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化,直線的參數(shù)方程的應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題目.20、(1)3360元;(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個(gè)農(nóng)戶(hù)的平均損失;(2)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值,再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)記每個(gè)農(nóng)戶(hù)的平均損失為元,則;(2)由頻率分布直方圖,可得損失超過(guò)1000元的農(nóng)戶(hù)共有(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15(戶(hù)),損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶(hù)共有0.00003×2000×50=3(戶(hù)),隨機(jī)抽取2戶(hù),則X的可能取值為0,1,2;計(jì)算P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列為;X012P數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×+1×+2×=.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】

(1)用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別

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