導(dǎo)數(shù)壓軸題中的三角問題（題目+詳細(xì)解析）

導(dǎo)數(shù)中的三角問題

1.(2021春?常熟市期中)已知函數(shù)/(x)=xlnx-aex+a,其中a€R.

(1)若/G)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求〃的取值范圍；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，求證：對(duì)任意在(0,+8),恒有f(x)Vcosx成立.

2.(2020?道里月考)已知x為正實(shí)數(shù).

(1)比較COSX與1-L2的大??；

2

(2)若/-1>x+a^恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)求證：2e'+cosx>，^/”(x+—)+sior+2.

3.(2021春?瑤海區(qū)月考)已知/(x)=",當(dāng)x20時(shí)，/(2x)恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)x€[0,二]時(shí)，求證：37-sinxWxe2A.

4.(2020?廬陽區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(x)=xlnx+ax+\,aER.

(1)如果關(guān)于k的不等式/(x)20在x>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑵當(dāng)時(shí)，證明：<lnx<x2-sin(x-l)-l,

5.(2019?北辰區(qū)模擬)已知函數(shù)/(x)-ax,(oER),g(x)=sinx

2+cosx

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若g(x)Wfcc在工10,+°°)恒成立，求攵的取值范圍；

(III)當(dāng)。=1,工20時(shí)，證明：(2+cosx)/(x)23sinx.

6.(2019秋?廣東月考)函數(shù)/(X)-X-1,g(x)(公+xcosx+l).

(1)求函數(shù)/'(x)的極值，并證明，當(dāng)X>-1時(shí)，-L4」一；

gX、x+1

(2)若a>-1,證明：當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g(x)>1.

2

7.(2020?黃州區(qū)校級(jí)二模)已知函數(shù)/(x)=^+cosx-2,f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)當(dāng)x'O時(shí)，求/(x)的最小值；

(2)當(dāng)x>—■時(shí)，xd+xcosx-ax2-2x20恒成立，求a的取值范圍.

8.(2019?陜西模擬)已知函數(shù)/(x)=(x-a)Inx(aGR),它的導(dǎo)函數(shù)為/(%).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(x)的零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：f(x)Ve'+cosx-l.

9.(2020秋?興慶區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=lnx+xsinx,f(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù)，且g(x)=f(x).

(1)證明：g(x)在區(qū)間(三，TT)上存在唯一的零點(diǎn)；

2

(2)證明：對(duì)任意成(0,+8),都有/(工)<2xlnx+x(1+siax).

3

10.(2020秋?濰坊期中)已知函數(shù)/(X)=xex-a(lnx+x).

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求/(x)的最小值；

(2)若對(duì)任意x>0恒有不等式/(x)成立.

①求實(shí)數(shù)a的值；

②證明：(x+2)/nx+2siru.

11.(2020?福州模擬)已知函數(shù)=l+x-2siar,x>0.

(1)求/(x)的最小值；

(2)證明：f(x)>6^.

12.(2020?肇慶一模)設(shè)函數(shù)/(x)=sinj：-ar+—x3(aGR).

6

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)，(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若對(duì)任意的x20,/(x)20成立，求。的取值范圍.

4

13.(2019秋?東湖區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=sinx-xcosx(x20).

(I)求函數(shù)/(x)的圖象在(個(gè)，1)處的切線方程；

(II)若任意在(0,+8),不等式F(x)Vox3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

14.(2019秋?唐山月考)已知函數(shù)/(x)—cvcsinx+bcosx,且曲線y=f(x)與直線相切于點(diǎn),3

7222

(1)求/(X)；

(2)若f(X)W/A+l,求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍.

15.(2019秋?天津期中)已知/(%)=asirir(t/GR),g(x)=d.

(1)若0<aWl,判斷函數(shù)G(x)=/(1-x)+樞在(0,1)的單調(diào)性；

(2)證明：sin-^+sin—i-+sin—^-+?,,+sin-------</n2,(〃GN+)；

223242(n+1)2

(3)設(shè)尸(x)=g(x)-m^-2(x+1)+k(A€Z),對(duì)Vx>0,m<0,有F(x)>0恒成立，求Z的最小值.

5

16.(2019?天津)設(shè)函數(shù)/(X)=e'cosx,g(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)求/G)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)彳日工，2L］時(shí)，證明/(x)+g(x)(2L-x)20；

422

(III)設(shè)X”為函數(shù)“(x)=f(x)-1在區(qū)間(2mr+匹，2〃n+工)內(nèi)的零點(diǎn)，其中〃€N,證明2〃TT+三-x〃

422

-2n^

<_-?------------.

sinxg-cosXQ

17.(2019秋?荔灣區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)f(x)=F，inx,g(x)=x*cosx-sinx.

x

(1)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3n)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上的極值點(diǎn)從小到大分別為外，X2,X3,X4…，Xn……，證明:

(z)/(加)tf(X2)<0;

(萬)對(duì)一切，￡N*,fCxi)+f(X2)+/(X3)+,,,+/(x/j)VO成立.

6

18.(2020?石家莊模擬)已知函數(shù)/(x)=/+/"+(2-b)x,g(x)=a^+b(a,beR),若)，=且(x)在x=l處

的切線為y=2i+14/(。)?

(I)求實(shí)數(shù)。，b的值;

(II)若不等式/(x)，依(x)-2Z+2對(duì)任意xER恒成立，求左的取值范圍;

(HI)設(shè)0,9,0(Q,其中"22,〃WN*,證明：f(sin01)?/(cos0)+/(sin02)?/(cos0

12n27lrt

-1)+,,?+/(sin0zz.i)?/(cosO2)+f(sin0w)*/(cos0i)>6n.

19.(2020?新課標(biāo)H)已知函數(shù)0(x)=sin2xsin2x.

(1)討論/(x)在區(qū)間(0,IT)的單調(diào)性；

(2)證明：|f(x)

8

(3)設(shè)〃WN*,證明：sin2xsin22xsin24x***sin22,lx^---.

4n

7

9x

20.（2020秋?膠州市期中）已知函數(shù)/秋）=lnaxe+asinx9a>0.

（1）若x=0恰為f（x）的極小值點(diǎn).

（i）證明：

2

（ii）求/（x）在區(qū)間（-8,皿）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)若。=1,

?心味）（1+味）（卜奈）（1+奈）（卜含）（1+肅）…（卜能）（1+備）…,

又由泰勒級(jí)數(shù)知：cosx=l-2—J--^―+…+(?)_/—+…，"6N’.證明：…=2L

2!4!6!(2n)!J22g2n26

21.（2020秋?集寧區(qū)校級(jí)月考）設(shè)/（x）=x-sinx,xER,/（x）的導(dǎo)函數(shù)是7（x）.

(1)求/(x)的極值；

(2)若x40,n],06(0,n),試證明：2flsJ+f⑺〉f(2"+x).

33

8

22.(2020?湖北模擬)已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx,g(x)=滔邑.

X

(1)判斷函數(shù)/(龍)在區(qū)間(0,3n)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3n)上的極值點(diǎn)從小到大分別為XI，X2，…，X"，證明g(XI)+g(X2)+…+g

(即)<0成立.

23.(2020秋?鄒城市期中)已知函數(shù)f(x)=l+ln(l+x)(x>0),

X

(1)判斷函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性；

(2)若f(x)>_L恒成立，求整數(shù)k的最大值；

x+1

(3)求證：(1+1X2)(1+2X3)…[1+〃(〃+1)]>e2n'3.

9

試題解析

1.(2021春?常熟市期中)已知函數(shù)/(x)=xlnx-aex+a,其中aWR.

(1)若/(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求〃的取值范圍；

(2)當(dāng)4=1時(shí)，求證：對(duì)任意尤(0,+°°),恒有/(X)〈COSX成立.

【解答】解：(1)因?yàn)?(x)=xlnx-

所以/(x)=lnx+\-aex

因?yàn)?(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù),

則/(X)W0在(0,4-oo)上恒成立,

若/(x)wo,則心1佻+.L,

X

e

111

--inx-1

令G(x)=1呼士1(>0),得G'(x)x

XxX

ee

易知G'(1)=0,且函數(shù)y=-l-/ar-1在(0,+8)上單調(diào)遞減,

X

當(dāng)x>0時(shí),/>1,所以在區(qū)間(0,1)上，G(x)>0；在(1,+8)上GG)<0,

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

此時(shí)G(x)的最大值為G(1)=1,

e

所以當(dāng)a2工時(shí)，f(x)在定義域上單調(diào)遞減;

e

即。的取值范圍是+8).

e

(2)證明：當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=xlnx-1,要證/(x)<cosx,即證x/心V，+cosx-1,

當(dāng)OVxWl時(shí)，x/nxWO,而F+cosx-l>l+cosl-l=cosl>0,

故xbvc<ex+cosx-1成立，即/(x)<cosx成立，

當(dāng)x>l時(shí)，令力(x)=^+cos%-xlnx-1(x>l),

則(x)=/-siar-/nx-1,

設(shè)g(x)-sinx-Inx-1(x>l),則g'(x)=ex-cosx-

*.'x>L.,.g'(x)-cosx-->e-1-1>0,

x

故x>l時(shí)'g(x)單調(diào)遞增，故g(x)>e-sinx-l>0,即〃'(x)>0,h(x)在(1,+8)單調(diào)遞增,

故〃(x)>^+cosl-1>0,即/(x)VCOSJV成立，

綜上：對(duì)任意xW(0,+8),恒有f(x)Vcosx成立.

2.(2020?道里月考)己知x為正實(shí)數(shù).

(1)比較COSX與1-L?的大?。?/p>

2

(2)若/-恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

10

(3)求證：2c'+cosx>^/^/〃(x+-1-)+siar+2.

【解答】解：(1)令/(x)=COSJ;-1+Ax2,JC>0,

2

:?f(x)=-sinx+x,f(x)=-cosx+120恒成立，

：.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且，(0)=0,

???當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

：.f(x)>/(0)=1-1+0=0,

.".cosx>l-1■/；

2

解：(2)，-恒成立，即e'-1-x-〃/>()恒成立，

令g(x)="-1-x-ax2,x>0,則g'(x)=d-1-2ax,g"(x)=e'-2a,

當(dāng)2aWl,即時(shí)，g”(x)>0,：.gf(x)單調(diào)遞增，

Jg'(x)>0在(0,+8)上恒成立，且/(0)=0,

.*.g(x)在(0,+°°)單調(diào)遞增，則g(x)>g(0)=1-1-0=0,滿足題意；

當(dāng)2a>1,即工時(shí)，xE(0,ln2a)時(shí)，g"(x)<0,函數(shù)g'(x)單調(diào)遞減,

2

又g'(0)=0,g(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減，而g(0)=0,

：.g(x)V0在(0,ln2a)上成立，與已知矛盾,

??.〃〉工舍去.

2

綜上所述，。的取值范圍為(-8,A］；

2

12

證明：(3)由(1)(2)可得，當(dāng)〃=工時(shí)，/>l+x+w一

22

x

；?/+cosx>e2>x+2>sin%+2；

1

???只要證/>?ln(x得)=22>in(x+|">

令〃(x)=e^-x-1,hf(x)="-1,

可得當(dāng)淤(-8,0)時(shí)，hf(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)尤(0,+°°)時(shí)，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

又人(0)=0,工/z(x)20恒成立，即，2x+l；

令/(x)=lnx-x+1,tf(x)=--p

x

當(dāng)尤(0,1)時(shí)，/(x)>0,t(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xE(1,+8)時(shí),，/(x)<0,t(x)單調(diào)遞減，

且/(1)=0,：.t(x)WO,BPInx^x-1.

11

1

/._X2>x+A,In(x+旦)<x+A_i=x+A,

e2222

1

/ee2>ln(x+y)>

即2^'+cos^>y/"Qln(x+—)+sinx+2.

3.(2021春?瑤海區(qū)月考)已知/(x)=",當(dāng)工20時(shí)，/(2x)2公+1恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)當(dāng)x￡［0,￡■］時(shí)，求證：3/-sinxWxe2V.

【解答】解：(1)/(2x)2or+l即e2A-OY-120恒成立，

令h(x)=elv-ax-\(x20),貝！I"'(x)=20-。，

當(dāng)aW2時(shí)，，hf(x)20,則〃(x)在［0,+8)上是增函數(shù)，

故"(0)=0,故h(x)20成立，

當(dāng)。>2時(shí)，存在必使得〃'(刈)=0,

xe(0,xo),〃'(無)<0,h(x)為減函數(shù)，

xG(x(),+8),(x)>0,h(x)為增函數(shù)，

故"(xo)<h(0)=0,不合題意，

故?！?；

(2)證明：由(1)得當(dāng)在［0,工］時(shí)，6級(jí)22%+1,

2

故要證37-sinxWxe%只要證37-siircWx(2x+l),

即證：f-x-sinxWO,設(shè)刀(x)=x1-x-siax,xG［0,-2I_］,

2

h'(x)=2x-1-cosx,h"(x)=2+sinx>0,

故/i'(x)在［0,三］上是增函數(shù)，h'(0)=-2,h'(2L)=F-l>0,

22

故存在即40,—］,使得/?'(xo)=0，

2

故工曰0,xo］時(shí)，h'(x)<0,則人(x)為減函數(shù)，

x&(xo,2L］時(shí)，h'(x)>0,則刀(x)為增函數(shù)，h(0)=0,h(2L)=211-2L-1=.TC2-.2KT￡<0,

22424

故x€［0,三］時(shí)，h(x)WO,故命題成立.

2

4.(2020?廬陽區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(x)=xlnx+ax+\,aER.

(1)如果關(guān)于x的不等式f(x)20在x>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵當(dāng)時(shí)，證明：<］nx<x2-sin(x-l)T,

12

【解答】解：(1)由/(x)20,得X/MT+OT+120(x>0).

整理，得一a4］nxJ恒成乂，(lnx-*—)?,

xxmin

令FGhlnx」1,則F'(x)=-1x-1

x2X2

???函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

?二函數(shù)F(x)=lnxd最小值為b(1)=L，-aWl,即。2-1.

x

???〃的取值范圍是［-1，+8)

(2)由(1),當(dāng)a=-l時(shí),有xlnx2x-1,即］nx>'/

x

要證e(x-l)4inx，可證時(shí)，且但工L4211

exex*

即證旦《工，尤力.

Xv

ex

構(gòu)造函數(shù)G(x)=/-ex(x2l).

貝IJG(x)=e'-e...,當(dāng)時(shí)，G(x)NO.

：.G(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增.

：.G(x)》G(1)=0在口，+8)上成立，即/>ex,證得工<上.

XV

ex

...當(dāng)工41,+8)時(shí)，屋王成立?

ex

構(gòu)造函數(shù)"(x)=bvc-jT+l+sin(x-1)G21).

則H,(2-D)Y2X2+X1)=-(X+D(2X-1)

XXX

?.?當(dāng)X>1時(shí)，H(x)<0,

：.H(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減.

：.H(x)<//(1)=0,即上x-7+l+sin(x-1)WO(x》l)

當(dāng)xG［l,+°°)時(shí)，InxW?-1-sin(x-1)成立.

綜上，當(dāng)xe［l,+°°)時(shí)，-e(x；l)《lnx《x2-l-sinG-l)

ex

5.(2019?北辰區(qū)模擬)已知函數(shù)=/-or,(?GR),g(x)=sinx

2+cosx

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)若g(x)Wfcc在xRO,+8)恒成立，求k的取值范圍；

(III)當(dāng)。=1,x20時(shí)，證明：(2+cosx)f(x)23sinx.

【解答】解：(/)由函數(shù)/(x)=/-依，知：f(x)=，-?.

(1)當(dāng)aWO時(shí)，f(x)20恒成立，.?./(x)在定義域R上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)”>0時(shí)，令/(x)=0,解得x=/〃a,

則x,f(x),/(x)變化情況如下表：

13

X(-8,1砌)InaUna,+8)

f（X）-0+

/（X）1極小值t

：.f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,加〃)，單調(diào)增區(qū)間為(I必+8).

(〃)(1)當(dāng)x=0時(shí)，原不等式化為0W0恒成立，可知依R.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，則)2苫(.),令h(x)=g(x)=——sinx--,

xxx(2+cosx)

則T(x)=cosx(2+cosx)-sinx(2+cosx+x(-sinx)：=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x

x2(2+cosx)2x2(2+cosx)2

令(p(x)=2xcosx-2sinx-sirircosx+x,貝!J(p(x)=2sinr(sinx-x),

當(dāng)xW(0,Tt)時(shí)，OVsinxVx,則(p'(x)<0,

/.(p(x)在(0,IT)上單調(diào)遞減，.*.<p(x)<(p(0)=0,

即/(x)<0,：.h(x)在(0,TT)上單調(diào)遞減，

,?1?ir、=1.sinx_..COSE一1

X

xi0x(2+cosx)x^o2+cosx-xsinx3

：.h(x)</,?"*，

當(dāng)x€E，+8)時(shí)，h(x)=里，)=—sinx---.,?攵

xx(2+cosx)x兀33

綜上所述：^>1.

證明：(〃/)(1)當(dāng)a=\時(shí)，f(x)="-x,則/(x)-1,

由(//)可得了20時(shí)，sinx《工??.3sinx《

2+cosx32+cosx

則只需證明：f(x)=e”-l>x成立，

令F(x)=厘-x-1,

當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)'(x)=，-1>0,

：.F(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，：.F(x)2F(0)=0,

/.ex-13sinx《We"-1,

2+cosx

/.(2+cosx)f(x)23sinx.

6.(2019秋?廣東月考)函數(shù)/(x)=^v-x-1,g(x)=e'(or+xcosx+1).

(1)求函數(shù)/(x)的極值，并證明，當(dāng)X>-1時(shí)，L4_L；

exx+1

(2)若a>-1,證明：當(dāng)(0,1)時(shí)，g(x)>1.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=d-x-1的定義域?yàn)镽,7G)=/-1

由了(%)>0得x>0,/(x)<0得x<0,

函數(shù)f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

14

...函數(shù)，(x)只有極小值/(O)=0,

：.fCx)="-x-lN0,.?.e'ex+l,又x>-l,得上

/'+]

(2)不等式g(x)>1等價(jià)于ax+xcosx+l>—L，xe(0,1).

X

e

由(1)知，當(dāng)xe(0,1),得上<_

exx+1

所以ax+xcosx+1-J>ax+xcosx+lr：/=ax+xcosx+(a+cosx+)

x

ex+1x+1x+1

令h(x)=cosx+a+);則h'(x)=-sinx----------y

x+1(x+1)2

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，h'(x)<0,

：.h(x)在(0,1)上為減函數(shù)，

因此，h(x)>h(l)=a+~+cosl,

因?yàn)閏osl〉cos-E=L所以,當(dāng)a>-l時(shí),a」_+cosl>0，

322

所以h(x)>0,所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)g(x)>1.

7.(2020?黃州區(qū)校級(jí)二模)已知函數(shù)/(x)=/+cosx-2,f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)當(dāng)x20時(shí)，求/(x)的最小值；

(2)當(dāng)x>—■時(shí)，xe'+xcosx-ox2-2r20恒成立，求a的取值范圍.

【解答】解：(1)/(x)sinx,令g(x)—ex-sin.r,x20,則g'(x)—e^-cosx.

當(dāng)x€[0,IT)時(shí)，g'(x)為增函數(shù)，g'(x)》g'(0)=0；

當(dāng)xe(7T,+8)時(shí)，g'(x)》l>0.

故x20時(shí),g'(x)20,g(x)為增函數(shù),

故g(x)mm=g(0)=1,即/(X)的最小值為1.

(2)令〃(x)=d+85-2-ax,h'(x)-sinx-a,則時(shí)，x'h(x)20恒成立.

當(dāng)aWl時(shí)，若x>0,則由(1)可知，h'(x)》l-a20,

所以〃(x)為增函數(shù)，故也(%)(0)=0恒成立，即爐〃(%)20恒成立；

若xg[-今，0]，則(X)=，-cosx,

h'"(x)=/+sinx在[一0]上為增函數(shù)，

又(0)=1,h"'(-^)=e~-l<0.

故存在唯一乂。日(令，0)，使得(加)=0.

當(dāng)xE(-5，X。)時(shí)，G)<0>h"(x)為減函數(shù)；

15

xG(x(),0)時(shí)，h"'(x)20,h"(x)為增函數(shù).

TT

__

又h〃(-^)=e2->0.h"(0)=0,

故存在唯一X[￡(令，0)使得(xi)=0.

故xE(一看，X1)時(shí)，h"(XI)>0,h'(x)為增函數(shù)；

xG(xi，0)時(shí)，h"(Xi)<0,h'(x)為減函數(shù).

JT

又h，(-￡-)=e2+l-a>0,h'(0)=1-a^Q,

所以xE[_Ato]時(shí)，〃(X)>0,h(x)為增函數(shù)，

故〃(x)Wh(0)=0,BPx9h(x)20恒成立;

當(dāng)時(shí)，由(1)可知萬(x)=，-sinx-a在[0,+°°)上為增函數(shù)，

且“(0)=1-6z<0,廳(1+a)2/+"-1-。>0,

故存在唯一X2W(0,+8),使得"(12)=0.

則當(dāng)在(0,A-2)時(shí)，R(X)<0,h(X)為減函數(shù)，

所以力(x)<h(0)=0,此時(shí)尤?力(%)<0,與(x)20恒成立矛盾.

綜上所述，

8.(2019?陜西模擬)已知函數(shù)/(x)=Cx-a)Inx(o€R),它的導(dǎo)函數(shù)為/(x).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(x)的零點(diǎn)；

(2)當(dāng)〃=0時(shí)，證明：f(x)V/+cosx-1.

【解答】解：(1)(方法一)/(x)的定義域?yàn)?0,+8)

當(dāng)a=\時(shí)，f(x)=(x-1)Inx,f(x)=lnx+\-―,

易知，(x)=/nx+l-工為(0,+8)上的增函數(shù)，

x

又，(1)=lnl+l-1=0,所以x=l是f(x)的零點(diǎn)；

(方法二)也可以畫出y=阮什1和>=工的圖象，觀察出兩個(gè)圖象的交點(diǎn)為(1,1),所以/(x)的零點(diǎn)為x

X

=1;

(2)證明：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=xlnx,

①若0VxW1,貝(Je"+cosx-1>0,xlnxWO

所以/(x)<ex+cosx-1成立，

②若無>1,設(shè)//(x)=/+cosx-xbvc-1,則力'(x)~sinx-Inx-1,

令m(x)=hr(x),則"7,(x)-A-cosx,

16

因?yàn)閤>l,所以/(x)>e-l>0,從而m(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，

所以加(x)>m(1)=e-sinl-1>0,即m(x)=h'(x)>0,〃(工)在(1,+°°)上單調(diào)遞增;

所以/?(x)>h(1)=e+cosl-l>0,即尤歷xVc'+cosx-1,

故/(x)</+cosx-1,

9.(2020秋?興慶區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=lnx+xsinx9/(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù)，且g(x)=f(x).

(1)證明：g(x)在區(qū)間(三，7T)上存在唯一的零點(diǎn)；

2

(2)證明：對(duì)任意在(0,+8),都有/(X)<2xlnx+x(l+sirtr).

【解答】證明：(1)g(x)=f(x)=A+sinx+xcosx,

x

Jg'(x)=--^-+2cosx-xsinx,

x

Vx6IT),--L-<0,2cosx<0,xsinx>0,

乙9x2

???g'G)<0,即g(x)在(三，IT)上單調(diào)遞減，

2

又g(-ZL)=-2_+l>0,g(TT)=-^--n<0,

2兀兀

???g(x)在(匹，IT)上存在唯一零點(diǎn).

2

(2)令〃(x)=2xlm+x(1+sinx)-f(x)=(2x-l)Inx-^-x,則”(x)=2lnx-A+3,

x

令(x)=H(x)=2lnx-A+3,顯然〃Z(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

x

u：m(1)=2>0,m(A)=1-2歷2VO,

2

?二存在唯一的沖€(A,1),使得機(jī)(即)=2歷xo-」二+3=0,

2x0

當(dāng)OVxVxo時(shí)，H(x)=m(x)VO,即A(%)在(0,xo)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>xo時(shí)，〃(x)=m(x)>0,即〃(x)在(xo，+°°)上單調(diào)遞增，

故〃(x)min=h(xo)=(2x()-l)lnx()+x()=--(2r()+―-—),

22x0

VA-OG(A,1),

2

/./?(xo)>0,即(2x-1)/〃x+x>0恒成立，

綜上所述，對(duì)任意(0,+8),都有/(x)<2xlnx+x(l+sinx).

10.(2020秋?濰坊期中)已知函數(shù)/(x)=xev-a(/nx+x).

(1)當(dāng)〃>0時(shí)，求/(x)的最小值；

(2)若對(duì)任意公>0恒有不等式/G)21成立.

①求實(shí)數(shù)〃的值；

17

②證明：(x+2)隊(duì)r+2sin;r.

【解答】解：(l)/(x)的定義域是(0,+8),

由題意得/(x)=(x+1)(x.gX-A),

x

x

令x/-。=0得：a=xe9

令g(x)=xex,則g'(x)=(x+1)->0,

故g(x)在(0,+8)遞增，且g(0)=0,

故。=叱有唯一實(shí)數(shù)根，

即，(x)=0有唯一實(shí)數(shù)根，設(shè)為協(xié)即。=沖丁。，

故fG)在(0,xo)上為減函數(shù)，在(xo,+8)上為增函數(shù)，

故.f(x)min=f(xo)=xogX0-Clnxo+xo)=a-alna；

(2)①當(dāng)aVO時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，/(x)的值域?yàn)镽,不符合題意；

當(dāng)4=0時(shí)，則/(工)=返<1,也不符合題意.

22

當(dāng)〃>0時(shí)、由(1)可知，f(x)min—CL-aIna,故只需EG1.

令尸工，上式即轉(zhuǎn)化為Int^t-1,

a

設(shè)"⑺=lnt-t+\,則力'⑺因此〃⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，

t

=

在(1,+8)上單調(diào)遞減，從而力(X)tnaxh(1)=0,所以/mWL1.

因此，lnt=t-1=>^=1,從而有!=￡=1=4=1.

a

故滿足條件的實(shí)數(shù)為4=1.

②證明：由①可知/-人力優(yōu)27+工，因而只需證明：Vx>0,恒有/+%>2/依+2$仙犬.

注意到前面已經(jīng)證明：x-1^Inx,因此只需證明：x2-x+2>2sinx.

當(dāng)x>l時(shí)，恒有2sinrW2Vx2-x+2,且等號(hào)不能同時(shí)成立；

當(dāng)0VxW1時(shí)，設(shè)g(x)=/-x+2-2sinx,貝!Jg'(x)=2x-1-2cosx,

當(dāng)(0,1用寸，g'(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且g'(1)=1-2cosl<l-2COS-2I_=0,

3

因而淤(0,1］時(shí)恒有g(shù)(x)<0；從而炬(0,1］時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，

從而g(x)2g(1)=2-2sinl>0,即/-x+2>2siiu：.

故(x+2)/7ir+2sirLV.

11.(2020?福州模擬)已知函數(shù)/(x)=l+x-2siax,x>0.

(1)求/(x)的最小值；

(2)證明：/(%)

18

【解答】解：(1)，(x)=1-2cosx,令，(%)=0,得cosx二七

VV2

故在區(qū)間［0,1T］±,f(X)的唯一零點(diǎn)是x」L,

3

當(dāng)x€［0,工)時(shí)，/(X)<0,/(X)單調(diào)遞減；當(dāng)x€(―,冗］時(shí)，f(X)>0,f(x)單調(diào)遞增,

33

故在區(qū)間［0,n］±,/(x)的極小值為f(工)=1+工飛，當(dāng)x>TT時(shí)，f(x)〉l+兀-2=7T-l〉f三),

333

.V(X)的最小值為f(工”1+工出；

33

(2)要證x>0時(shí)，f(x)>e%即證x>0時(shí)，g(x)=(1+x-2sinx)1,

g'(x)=2(1+x-2sinx)elv+(1-2cosx)e2』(3+2x-4sia￥-2cosx)於，

令h(x)=x-siru,x>0,

則O'(x)=1-cosx>O,即〃G)是(0,+8)上的增函數(shù)，

:?h(x)>h(0)=0,即x>sinx,

.7T

3+2x-4sim-2cosx>3+2sinx-4sirix-2cosx=3-2(sinx+cosx)=3.2V^sin(x+4)>0'

；?/(x)=(3+2x-4sinx-2cosx)6標(biāo)>0,

即g(x)是(0,+8)上的增函數(shù)，g(x)>g(0)=1,

故當(dāng)公>0時(shí)，/(x)>/法，即得證.

12.(2020?肇慶一模)設(shè)函數(shù)/(X)=siru--ar+A?(?eR).

6

(1)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若對(duì)任意的x》0,f(x)三0成立，求a的取值范圍.

2

【解答】解：(1)f，(x)=cosx-a4^x1

令gGhcosx-aAx2，g(x)為偶函數(shù)，先研究x20,

則g'(x)—x-sinx,g"(x)=1-cosx>0,

：.g'(x)在［0,+8)為遞增函數(shù),

且g(0)=0,：.g'(x)》0,即g(x)在［0,+8)為單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)g(0)=1-a>0,即a<\,g(x)沒有零點(diǎn)，

當(dāng)g(0)=1-4=0,即a=l,g(X)有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)g(0)=1-〃》<0,即”>1,g(x)=cosx-a+^-x^^>^-x2-a_l,

當(dāng)x〉d2(a+l)，g(x)>0,

.?.當(dāng)x>Y2(a+l)，g(A)在［0,+8)有1個(gè)零點(diǎn)，

(x)為偶函數(shù)，在(-8,0］也有有1個(gè)零點(diǎn).

19

綜上：a<\,f(x)沒有零點(diǎn)；

〃=1,/(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

?>1,/(%)有2個(gè)零點(diǎn).

⑵f'(x)=cosx-a+^-x2

①當(dāng)aWl時(shí)，由(1)知了(x)》0,f(x)在[0,+8)為單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)(0)=0,

②當(dāng)a>l時(shí)，f(2a)=cos2a-a+2“2=cos2a+J+a(a-1)>0.f(0)=1-a<0,

由零點(diǎn)存在性定理知(0,2a)使得/(xo)=0,

且在(0,xo),f(x)<0,即/(x)單調(diào)遞減，/(x)</(0)=0與題設(shè)不符.

綜上可知，aWl時(shí)，f(x)>0,

13.(2019秋?東湖區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(X)=sinx-xcosx(x20).

(I)求函數(shù)/(x)的圖象在4，1)處的切線方程；

(II)若任意在(0,+8),不等式/(x)Var3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

【解答】解：(I),：f(x)=xsinx,/(2L)=2L,

22

切線為：y^—(x-2L)+1；

22

(II)f(x)Wax^Qsinx-xcosx-c/WO，

令g(x)=siru-xcosx-ar3,

則g'(x)=xsiar-3aj?=x(sinr-3ax),

又令h(x)=sinx-3ax=>h,(x)=cosx-3a,

①當(dāng)3aW-l,即aW-工時(shí)，h'(x)與0恒成立，；./?(x)遞增，

3

：.h(x)%(0)=0,：.g'(x)20,：.g(x)遞增，

：?g(x)2g(0)=0(不合題意)；

②當(dāng)3a21即〃21■時(shí)，hf(x)W0=〃(x)遞減，

3

：.h(x)&h(0)=0,：.gf(x)WO,：.g(x)遞減

:.g(x)Wg(0)=0(符合題意)

③當(dāng)-1<3aV1,即-[<“<?!時(shí)，

33

由(0)=1-340"(n)=-1-3a<0,

...在(0,IT)上，Bxo,使〃(回)=0

且無€(0,xo)時(shí)，h'(x)>0今g'(k)>0,.\g(x)遞增，，g(x)>g(0)=0(不符合題意)

綜上：

20

14.(2019秋?唐山月考)已知函數(shù)/(x)=axsiar+/?cosx,且曲線y=/(x)與直線產(chǎn)/_相切于點(diǎn)(號(hào)-,

(1)求/(x)；

(2)若/(x)求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解答】解：(1)由f(工兀=兀得〃=1

、2,22

f(x)=xcosx+(1-Z?)sinx,

由f'今)=l-b=0得，=L

所以f(元)=xsinx+cosx.

(2)令g(x)=A7ir2+l-f(x)=mx^-xsiar-cosx+1,

由g(x)20得g(2n)=4ir2/?7^O,所以加20.

顯然g(x)為偶函數(shù)，所以只需x20時(shí)，g(x)20.

g'(x)=2/wc-xcosx=x(2m-cosx),

當(dāng)1rl^時(shí)，g'(X)NO,即g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)Ng(0)=0,

從而■時(shí)，/(X)W"?7+l成