提優(yōu)專題38 幾何模型問題之主從聯(lián)動瓜豆原理（原卷版）

專題38幾何模型問題之主從聯(lián)動瓜豆原理（原卷版）典例剖析+針對訓練類型一點在直線上運動典例1（2022?利州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C．2 D．1針對訓練1．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝23，點P在邊AC上運動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長的最小值為．2．（2021秋?忠縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC邊上，BC＝5，CD＝2，點E是邊AC所在直線上的一動點，連接DE，將DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為．3．（2021秋?東臺市期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝6，∠DAC＝60°，點F在線段AO上從點A至點O運動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側(cè)，則點E運動的路程長是．類型二點在圓上運動典例2（2022?桐梓縣模擬）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：如圖①，點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（2，0）．動點B在⊙O上，連接AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時針順序），求OC的最大值【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE．（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；（2）線段OC的最大值為．【靈活運用】（3）如圖②，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標．【遷移拓展】（4）如圖③，BC＝42，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊作等邊△ABD，請直接寫出AC的最值．針對訓練1．（2022秋?天寧區(qū)校級期中）已知⊙O的半徑長7cm，P為線段OA的中點，若點P在⊙O上，則OA的長是cm．2．（2021秋?嘉興期末）如圖，⊙O的直徑AB＝2，C為⊙O上動點，連結(jié)CB，將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連結(jié)OD，則OD的最大值為．3．（2021秋?秦淮區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點P在以AB為直徑的半圓上運動，由點B運動到點A，連接CP，點M是CP的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為．4．（2018?江漢區(qū)模擬）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為．5．（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，△ABM的面積等于△ABC面積的35，求此時點M（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點（F在E右側(cè)），若P點是⊙B上一動點，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點為逆時針順序），連接FD．求FD長度的取值范圍．第二部分專題提優(yōu)訓練1．（2022?安徽一模）如圖，正方形ABCD的邊長為5，E為BC上一點，且BE＝2，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．（2021?泰安）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（）A．52 B．52 C．5333．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以OP為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當點P在△ABC邊且運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為（）A．2 B．3 C．4 D．64．（2021秋?沭陽縣校級期末）如圖，線段AB＝2，點C為平面上一動點，且∠ACB＝90°，將線段AC的中點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BQ，則線段BQ的最大值為．5．（2022?邗江區(qū)校級一模）如圖，點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2的一個定點，AN⊥x軸于點M，交直線y=-33x于點N，點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是6．（2020春?江陰市期中）如圖，已知點A是第一象限內(nèi)的一個定點，若點P是以O為圓心，2個單位長為半徑的圓上的一個動點，連接AP，以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB．當點P在⊙O上運動一周時，點B運動的路徑長是．7．（2019秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，⊙O的半徑為2，O到定點A的距離為5，點B在⊙O上，點P是線段AB的中點，若B在⊙O上運動一周．（1）點P的運動路徑是一個圓；（2）△ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍．（1）思路引導要證點P運動的路徑是一個圓，只要證點P到定點M的距離等于定長r，由圖中的定點、定長可以發(fā)現(xiàn)M，r．

8．若AC＝4，以點C為圓心，2為半徑作圓，點P為該圓上的動點，連接AP．（1）如圖1，取點B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′．①點P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點A、P、Q按照順時針方向排列），在點P運動過程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點A繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點M，連接PM，則CM的最小值為．9．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接AE．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）連接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的長；（3）若AB＝10，AC＝8，點F是⊙O任意一點，點M是弦AF的中點，當點F在⊙O上運動一周，則點M運動的路徑長為．10．（2021?遵義）點A是半徑為23的⊙O上一動點，點B是⊙O外一定點，OB＝6．連接OA，AB．（1）【閱讀感知】如圖①，當△ABC是等邊三角形時，連接OC，求OC的最大值；將下列解答過程補充完整．解：將線段OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到O′B，連接OO′，CO′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等邊三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°，∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，OB=O'B∠OBA=∠O'BC∴△OBA≌△O′BC（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C當O，O′，C三點共線，且點C在OO′的延長線上時，OC＝OO′+O′