長沙市中學數(shù)學“學用杯”應用與創(chuàng)新能力大

2024年長沙市中學數(shù)學“學用杯〞應用與創(chuàng)新能力大賽八年級決賽試題〔時量：120分鐘 總分值：100分〕一、選擇題〔此題有10小題，每題3分，共30分〕〔請將惟一正確的選項代號填在下面的答題卡內〕題號12345678910答案1、多項式的值總為〔〕A、非負數(shù) B、零 C、負數(shù) D、正數(shù)2、比較2，，的大小，正確的選項是〔〕A、B、C、D、3、當時，=〔〕A、B、C、D、4、設>0，，，那么之間的大小關系是〔〕A、M>P>NB、N>P>MC、P>M>ND、P>N>M5、以下五個命題:①假設直角三角形的兩條邊長為3與4,那么第三邊長是5；②③假設點在第三象限,那么點在第一象限；④連結對角線垂直且相等的四邊形各邊中點的四邊形是正方形；⑤兩邊及其第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等.其中正確的命題的個數(shù)是〔〕 A、2個B、3個C、4個D、5個6、在⊿ABC中，AC=5，中線AD=4，那么AB的取值范圍是〔〕A、3<AB<13 B、5<AB<13 C、9<AB<13 D、1<AB<9第7題7、如圖，直線和雙曲線〔〕交于A、B兩點，第7題P是線段AB上的點〔不與A、B重合〕，過點A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D、E，連接OA、OB、OP，設△AOC的面積為、△BOD的面積為、△POE的面積為，那么有〔〕A、B、C、D、8、有鉛筆,練習本,圓珠筆三種學習用品.假設購鉛筆3支，練習本7本，圓珠筆1支共需3.15元；假設購鉛筆4支，練習本10本，圓珠筆1支共需4.2元.現(xiàn)購鉛筆、練習本、圓珠筆各1件，共需〔〕A、1.2元B、1.05元C、0.95元D、0.9元9、關于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是〔〕A、B、C、D、10、如下列圖，△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、AADCB第10題EGFOC、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，那么以下結論：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正確結論的個數(shù)〔〕A、1個B、2個C、3個D、4個二、填空題〔此題有8小題，每題3分，共24分〕11、假設，那么.12、，假設，，那么＝.13、分解因式：.14、如圖，DC∥AB，∠BAE=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，那么∠B=.第14題第14題第15題第17題15、如圖是根據(jù)某初中為地震災區(qū)捐款的情況而制作的統(tǒng)計圖，該校在校學生有2000人，請根據(jù)統(tǒng)計圖計算該校共捐款元．第17題16、設多項式，當＝0時，；當時，，那么當時，＝.17、如圖，直線過點A〔0，2〕，且與直線A1A3A2B1B2BA1A3A2B1B2B3M1M2M3COxy第18題mx＞kx+b＞mx－2的解集是______________.18、如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C的對角線A1C和OB1交于點M1；以M1A1為對角線作第二個正方形A2A1B2M1，對角線A1M1和A2B2交于點M2；以M2A1為對角線作第三個正方形A3A1B3M2，對角線A1M2和A3B3交于點M3；……，依次類推，這樣作的第n個正方形對角線交點的坐標為Mn__________________．

三、解答題〔此題有4小題，共46分〕19、〔此題總分值12分〕“六一〞前夕，某玩具經(jīng)銷商用去2350元購進A、B、C三種新型的電動玩具共50套，并且購進的三種玩具都不少于10套，設購進A種玩具套，B種玩具套，三種電動玩具的進價和售價如右表所示．型號ＡＢC進價(元／套)405550售價(元／套)508065⑴用含、的代數(shù)式表示購進C種玩具的套數(shù)；⑵求與之間的函數(shù)關系式；⑶假設所購進的這三種玩具能全部賣出，且在購銷這種玩具的過程中需要另外支出各種費用200元．①求出利潤P(元)與(套)之間的函數(shù)關系式；②求出利潤的最大值，并寫出此時三種玩具各多少套．20、〔此題總分值12分〕如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上任意一點，BG⊥CE，垂足為點O，交AC于點F，交AD于點G.〔1〕證明：BE=AG；EBAOFGCD〔2〕點EEBAOFGCD21、〔此題總分值12分〕在平面直角坐標系內有兩點A〔-2，0〕，B〔4，0〕和直線.在直線上是否存在點P，使為直角三角形，假設存在，請求出P點的坐標；假設不存在，請說明理由.22、〔此題總分值10分〕a，b是實數(shù)，假設關于x，y的方程組有整數(shù)解，求a，b滿足的關系式.2024年長沙市中學數(shù)學“學用杯〞應用與創(chuàng)新能力大賽八年級試題參考答案與評分標準一、選擇題〔此題有10小題，每題3分，共30分〕題號12345678910答案ACBDBACBDD二、填空題〔此題有8小題，每題3分，共24分〕11、12、-113、14、40°15、2518016、-1717、18、(1－EQ\F(1,2n),EQ\F(1,2n))或另一書寫形式(EQ\F(2n－1,2n),EQ\F(1,2n))三、解答題〔此題有4小題，共46分〕19、〔此題總分值12分〕解：解：〔1〕購進C種玩具套數(shù)為：50－x－y〔或47－x－y〕………2分〔2〕由題意得,整理得……5分〔3〕①利潤＝銷售收入－進價－其它費用……………6分又∵ ∴整理得…………………7分②購進C種電動玩具的套數(shù)為：據(jù)題意列不等式組，解得…9分∴x的范圍為，且x為整數(shù)的最大值是23………10分∵在中，＞0∴P隨x的增大而增大∴當x取最大值23時，P有最大值，最大值為595元．此時購進A、B、C種玩具分別為23套、16套、11套．…………………12分1E1EBAOFGCD32解〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2.………2分在△GAB和△EBC中，∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2；∴△GAB≌△EBC(ASA)…………5分∴AG=BE.…………6分〔2〕解：當點E位于線段AB中點時，∠AEF=∠CEB.……7分理由如下：假設當點E位于線段AB中點時，那么AE=BE,由〔1〕可知，AG=BE∴AG=AE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°.…………8分又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF(SAS)，∴∠AGF=∠AEF.…10分由〔1〕知，△GAB≌△EBC∴∠AGF=∠CEB,∴∠AEF=∠CEB.……12分21、〔此題總分值12分〕解：〔1〕如果點A或點B為直角頂點，那么點Ｐ的橫坐標為-2或4.易得，．…………………4分〔2〕如果點P為直角頂點，那么線段AB為斜邊，AB=6，AB的中點為，連結PC，那么PC=3.……………6分設P點的坐標為，作于點D，那么，即，…8分整理得．解得，.相應地，.，．…11分綜上，在直線上存在四個點P：，，，，使為直角三角形．………