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2024屆湖北省鄂州、隨州、孝感數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和,且,,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A. B. C. D.與均為的最大值2.在公比為2的等比數(shù)列中,,則等于()A.4 B.8 C.12 D.243.設(shè),,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.4.已知在中,為線段上一點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若,,則()A. B.2 C. D.6.如圖所示,在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2、3、4的密封的長(zhǎng)方體裝置中放一個(gè)單位正方體禮盒,現(xiàn)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則正確的是()A.的坐標(biāo)為 B.的坐標(biāo)為C.的長(zhǎng)為 D.的長(zhǎng)為7.在《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.如圖,若四棱錐P﹣ABCD為陽(yáng)馬,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD,E為棱PA的中點(diǎn),則異面直線AB與CE所成角的正弦值為()A. B. C. D.8.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,公差,,若成等比數(shù)列,則的最小值為()A. B.2 C. D.9.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列,定義向量,,.下列命題中真命題是()A.若對(duì)任意的,都有成立,則數(shù)列是等差數(shù)列B.若對(duì)任意的,都有成立,則數(shù)列是等比數(shù)列C.若對(duì)任意的,都有成立,則數(shù)列是等差數(shù)列D.若對(duì)任意的,都有成立,則數(shù)列是等比數(shù)列10.在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,且=3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若=x+(1-x),則x的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則角________.12.在數(shù)列中,,,則__________.13.在中,角所對(duì)的邊分別為,,則____14.若圓:與圓:相交于,兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直,則公共弦的長(zhǎng)度是______.15.如圖中,,,,M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn),,D為垂足,則的最小值為_(kāi)_____;16.在平行四邊形中,=,邊,的長(zhǎng)分別為2,1.若,分別是邊,上的點(diǎn),且滿足,則的取值范圍是______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的長(zhǎng).18.如圖,在平面四邊形中,已知,,在上取點(diǎn),使得,連接,若,。(1)求的值;(2)求的長(zhǎng)。19.已知在四棱錐中,底面是矩形,平面,,分別是,的中點(diǎn),與平面所成的角的正切值是;(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.20.兩地相距千米,汽車從地勻速行駛到地,速度不超過(guò)千米小時(shí),已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(單位:元)由可變部分和固定部分兩部分組成:可變部分與速度的平方成正比,比例系數(shù)為,固定部分為元,(1)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為速度(千米小時(shí))的函效:并求出當(dāng)時(shí),汽車應(yīng)以多大速度行駛,才能使得全程運(yùn)輸成本最??;(2)隨著汽車的折舊,運(yùn)輸成本會(huì)發(fā)生一些變化,那么當(dāng),此時(shí)汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大,才會(huì)使得運(yùn)輸成本最小,21.某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算該項(xiàng)目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為:,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價(jià)值為元,若該項(xiàng)目不獲利,政府將給予補(bǔ)貼.(1)當(dāng)時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤(rùn);如果不獲利,則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合,,分析出錯(cuò)誤結(jié)論.【題目詳解】由于,,所以,,,所以,與均為的最大值.而,所以,所以C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查分析與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,可求出,則答案可求解.【題目詳解】等比數(shù)列的公比為2,由,即,所以舍所以故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】試題分析:本題是選擇題,可采用逐一檢驗(yàn),利用特殊值法進(jìn)行檢驗(yàn),很快問(wèn)題得以解決.解:∵a>b,c>d;∴設(shè)a=1,b=-1,c=-2,d=-5,選項(xiàng)A,1-(-2)>-1-(-5),不成立;選項(xiàng)B,1(-2)>(-1)(-5),不成立;取選項(xiàng)C,,不成立,故選D考點(diǎn):不等式的性質(zhì)點(diǎn)評(píng):本題主要考查了基本不等式,基本不等式在考綱中是C級(jí)要求,本題屬于基礎(chǔ)題4、C【解題分析】
首先,由已知條件可知,再有,這樣可用表示出.【題目詳解】∵,∴,,∴,∴.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量基本定理,解題時(shí)用向量加減法表示出,然后用基底表示即可.5、C【解題分析】
由函數(shù)的解析式,求得,,進(jìn)而得到,,結(jié)合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【題目詳解】由題意,函數(shù),令,即,即,所以,令,即,即,所以,又因?yàn)?,,即,,所以,,即,,平方可得,,兩式相加可得,所?故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式,三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用,以及函數(shù)的解析式的應(yīng)用,其中解答中合理應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換的公式進(jìn)行運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.6、D【解題分析】
根據(jù)坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)分析即可.【題目詳解】由所建坐標(biāo)系可得:,,,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用,考查空間中距離的求法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】
由異面直線所成角的定義及求法,得到為所求,連接,由為直角三角形,即可求解.【題目詳解】在四棱錐中,,可得即為異面直線與所成角,連接,則為直角三角形,不妨設(shè),則,所以,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了異面直線所成角的作法及求法,其中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】
由成等比數(shù)列可得數(shù)列的公差,再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可得為關(guān)于的式子,再利用對(duì)勾函數(shù)求最小值.【題目詳解】∵成等比數(shù)列,∴,解得:,∴,令,令,其中的整數(shù),∵函數(shù)在遞減,在遞增,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量運(yùn)算、函數(shù)的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意為整數(shù),如果利用基本不等式求解,等號(hào)是取不到的.9、A【解題分析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示,得到,利用累乘法,求得,從而可作出判定,得到答案.【題目詳解】由題意知,向量,,,當(dāng)時(shí),可得,即,所以,所以數(shù)列表示首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.當(dāng),可得,即,所以,所以數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的平行關(guān)系的坐標(biāo)表示,等差數(shù)列的定義,以及“累乘法”求解通項(xiàng)公式的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】
根據(jù)所給的數(shù)量關(guān)系,寫出要求向量的表示式,注意共線的向量之間的三分之一關(guān)系,根據(jù)表示的關(guān)系式和所給的關(guān)系式進(jìn)行比較,得到結(jié)果.【題目詳解】如圖.依題意,設(shè)=λ,其中1<λ<,則有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且不共線,于是有x=1-λ∈,即x的取值范圍是.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的基本定理,是一個(gè)基礎(chǔ)題,這種題目可以出現(xiàn)在解答題目中,也可以單獨(dú)出現(xiàn),注意表示向量時(shí),一般從向量的起點(diǎn)出發(fā),繞著圖形的邊到終點(diǎn).二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】
根據(jù)得,利用余弦定理即可得解.【題目詳解】由題:,,,由余弦定理可得:,.故答案為:【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)余弦定理求解三角形的內(nèi)角,關(guān)鍵在于熟練掌握余弦定理公式,準(zhǔn)確計(jì)算求解.12、16【解題分析】
依次代入即可求得結(jié)果.【題目詳解】令,則;令,則;令,則;令,則本題正確結(jié)果:【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列中的項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】
利用正弦定理將邊角關(guān)系式中的邊都化成角,再結(jié)合兩角和差公式進(jìn)行整理,從而得到.【題目詳解】由正弦定理可得:即:本題正確結(jié)果:【題目點(diǎn)撥】本題考查李用正弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系式的化簡(jiǎn)問(wèn)題,屬于常規(guī)題.14、【解題分析】
根據(jù)兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直,得出是直角三角形,求出,然后兩圓相減求出公共弦的直線方程,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離,進(jìn)而求出公共弦長(zhǎng).【題目詳解】由題意,圓圓心坐標(biāo),半徑,圓圓心坐標(biāo),半徑,因?yàn)閮蓤A相交于點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直,所以是直角三角形,,所以,由兩點(diǎn)間距離公式,,所以,解得,所以圓:,兩圓方程相減,得,即,所以公共弦:,圓心到公共弦的距離,故公共弦長(zhǎng)故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長(zhǎng)的求法和點(diǎn)到直線的距離公式,考查學(xué)生的分析能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示出的值,然后利用換元法求解出對(duì)應(yīng)的最小值即可.【題目詳解】如圖所示,設(shè),所以,根據(jù)條件可知:,所以,設(shè),,,所以,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),有最小值,最小值為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值,著重考查邏輯推理和運(yùn)算求解的能力,屬于較難題(1)利用換元法求解最值時(shí)注意,換元后新元的取值范圍;(2)三角函數(shù)中的一組“萬(wàn)能公式”:,.16、【解題分析】
以A為原點(diǎn)AB為軸建立直角坐標(biāo)系,表示出MN的坐標(biāo),利用向量乘法公式得到表達(dá)式,最后計(jì)算取值范圍.【題目詳解】以A為原點(diǎn)AB為軸建立直角坐標(biāo)系平行四邊形中,=,邊,的長(zhǎng)分別為2,1設(shè)則當(dāng)時(shí),有最大值5當(dāng)時(shí),有最小值2故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量運(yùn)算和向量乘法的最大最小值,通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的方法簡(jiǎn)化了技巧,是解決向量復(fù)雜問(wèn)題的常用方法.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】
(1)根據(jù)離心率可得的關(guān)系,將點(diǎn)代入橢圓方程,可得橢圓方程;(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,可得弦長(zhǎng).【題目詳解】(1),又,,即橢圓方程是,代入點(diǎn),可得,橢圓方程是.(2)設(shè)直線方程是,聯(lián)立橢圓方程代入可得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓方程和直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及弦長(zhǎng)公式,屬于簡(jiǎn)單題.18、(1);(2).【解題分析】試題分析:(1)在中,直接由正弦定理求出;(2)在中,,,可求出,在中,直接由余弦定理可求得.試題解析:(1)在中,據(jù)正弦定理,有.∵,,,∴.(2)由平面幾何知識(shí),可知,在中,∵,,∴.∴.在中,據(jù)余弦定理,有∴點(diǎn)睛:此題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,利用正弦、余弦定理可以很好得解決了三角形的邊角關(guān)系,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.在中,涉及三邊三角,知三(除已知三角外)求三,可解出三角形,當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí),運(yùn)用正弦定理求解;當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí),運(yùn)用余弦定理求解.19、(1)見(jiàn)證明;(2)【解題分析】
(1)取的中點(diǎn),連接,通過(guò)證明四邊形是平行四邊形,證得,從而證得平面.(2)連接,證得為與平面所成角.根據(jù)的值求得的長(zhǎng),作出二面角的平面角并證明,解直角三角形求得二面角的正切值.【題目詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.∵是中點(diǎn)∴又是的中點(diǎn),∴∴,從而四邊形是平行四邊形,故又平面,平面,∴(2)∵平面,∴是在平面內(nèi)的射影為與平面所成角,四邊形為矩形,∵,∴,∴過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于,連接,∵平面據(jù)三垂線定理知.∴是二面角的平面角易知道為等腰直角三角形,∴∴=∴二面角的正切值為【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面角的定義和應(yīng)用,考查面面角的正切值的求法,考查邏輯推理能力和空間想象能力,屬于中檔題.20、(1),當(dāng)汽車以的速度行駛,能使得全稱運(yùn)輸成本最??;(2).【解題分析】
(1)計(jì)算出汽車的行駛時(shí)間為小時(shí),可得出全程運(yùn)輸成本為,其中,代入,,利用基本不等式求解;(2)注意到時(shí),利用基本不等式取不到等號(hào),轉(zhuǎn)而利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解.【題目詳解】(1)由題意可知,汽車從地到地所用時(shí)間為小時(shí),全程成本為,.當(dāng),時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,汽車應(yīng)以的速度行駛,能使得全程行駛成本最??;(2)當(dāng),時(shí),,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),有最小值,所以,汽車應(yīng)以的速度行駛,才能使得全程運(yùn)輸成本最小.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵就是建立函數(shù)模型,得出函數(shù)解析式,并通過(guò)基本不等式進(jìn)行求解,考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力,屬于中等題.21、(1)不能獲利,政府每月至少補(bǔ)貼元;(2)每月處理量為噸時(shí),平均成本最低.【解題分析】
(1)利用:(生物的柴油總價(jià)值)(對(duì)應(yīng)段的月處理成本)利潤(rùn),根據(jù)利潤(rùn)
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