概率論期末復(fù)習(xí)

概率論復(fù)習(xí)知識(shí)

第一章概率論的基本概念

頻率與概率

頻率的概念：設(shè)在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)了"A次，則稱〃八為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻數(shù)，比

值」里為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為了“(A),即/,,(A)=巳

nn

性質(zhì)：

設(shè)A”A2，A3,……是兩兩互斥事件，則p(A+4+.......+4)=p(4)+P(4)+.....+P(4)

概率的概念：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，s是它的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),稱之為事

件A的概率

性質(zhì)：

設(shè)4,4，4,……4是兩兩互斥事件，則P(A+&+.......+AJ邛(A)+P(A2)+.....+P(4)

例1,將15名新生隨機(jī)的平均的分配到三個(gè)班級(jí)去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。求

(1)求每一個(gè)班級(jí)個(gè)分配到一個(gè)優(yōu)秀生的概率；

(2)3名優(yōu)秀生分配到一個(gè)班級(jí)的概率；

解：15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)的分法總數(shù)為：

(10大5大5J105!55!5!5!5!

(1)：每個(gè)班級(jí)各分配到一個(gè)優(yōu)秀生的分法為

3!3*)=3!*烏

14人4人4)4!4!4!

于是所求概率為尸31端25

555!

(3)三名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的分法為;

12!

3*

2!5!5!

12!

3!

于是所求概率為2!5!5!_6

15!9?

5!5!5!

條件概率

1.條件概率的定義

設(shè)48是兩個(gè)事件，且尸(鹵＞0,則稱

P(A|B)=f(^)

P(B)

為在事件人發(fā)生的條件下,事件A的條件概率

2,條件概率的性質(zhì)

條件概率P(A|B)具備概率定義的三個(gè)條件

(1)，非負(fù)性：對(duì)于任意的事件B,P(A|B)>0

(2)規(guī)范性：P(S|A)=1

(3)可列可加性：設(shè)B-B2…….是兩兩互斥事件，側(cè)有

IA)=fp(B,IA)

|?|?=|

例1,設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問(wèn)現(xiàn)年20歲的

這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？

解設(shè)走｛能活20年以上｝,后｛能活25年以上｝

所求為PWA).

依題意，P(A)=O.8,P(B)R.4

產(chǎn)(取).=4妝=或=空=_1

尸(A)P(A)0.82

例2,某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005,患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95,正常人對(duì)這種試驗(yàn)反

應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04,現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大？

求解如下：設(shè)俏｛抽查的人患有癌癥｝,左｛試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性｝,

則C表示“抽查的人不患癌癥”

已知尸(。=0.005,尸()=0.995,

凡4|0=0.95,P(川)=0.04

求P(C\A).

由貝葉斯公式，可得

尸(&4)=P(C)P(AIC)

P(C)P(A｝C)+P(C)P(A\C)

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得P(C\A)=0.1066

例3在數(shù)字通訊中，由于隨機(jī)干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“0”時(shí)，收到信號(hào)“0”,“不清”,“1”的概率分別是0.7,0.2

和0.1；當(dāng)發(fā)信號(hào)“1”時(shí)，收到信號(hào)為“1”，“不清”和“0”的概率分別是0.9,0.1和0,如果整個(gè)發(fā)報(bào)

過(guò)程中“0”和“1”出現(xiàn)的概率分別是0.6和0.4,當(dāng)收到“不清”時(shí)，試推測(cè)原發(fā)信號(hào)是什么？

解設(shè)B=｛發(fā)出信號(hào)“0"｝,則B=｛發(fā)出信號(hào)"1”｝

A=｛收到信號(hào)“不清”｝

則B與4為。=｛收到信號(hào)“0”或“1”｝的一劃分

故受到信號(hào)為“不清”而原發(fā)信號(hào)為“0”的概率為：

P(B%.==P(AB)=P(8)P(AI8)二0.6x02=0.75

P(A)p(s)p(AIB)+P(B)P(AIB)06x0,2+04x0,1

而受到信號(hào)為“不清”而原發(fā)信號(hào)為“1”的概率為

P(BIA)=l—P(B|A)=1—0.75=0.25

因此，可以推測(cè)原發(fā)信號(hào)很可能(確切的說(shuō)有75%的可能)是“0”

例4要驗(yàn)收一批(100件)樂(lè)器。驗(yàn)收方案如下：白該批樂(lè)器中隨機(jī)地取3件測(cè)試(設(shè)3件樂(lè)器的測(cè)試是

相互獨(dú)立的)，如果3件中至少有一件在測(cè)試中被人為音色不純，側(cè)這批樂(lè)器就別拒絕接受。設(shè)一件音色不

純的樂(lè)器測(cè)試查出其為音色不純的概率為0.95；而一件音色純的樂(lè)器經(jīng)測(cè)試別誤認(rèn)為不純的概率為0.01.

如果已知這100件樂(lè)器中恰有4件是音色不純的。試問(wèn)這批樂(lè)器被接受的概率是多少？

解設(shè)H,=｛隨機(jī)地取出3件，恰有i件音色不純｝,

i=0,1,2,3.

A=｛這批樂(lè)器被接收）.則

（）

PA=P（AIHo）p（/zo）+P（AIH,）p（//,）

+P（AI42）P（"2）+P（AI4）尸（4）

其中「（"o）=與<>,P（77,）=

oo\oo

尸（"2）=等，尸（%）=導(dǎo)，

5ooJ1OQ

2

P（A\H0）=（0.99）3,p⑷,）=（0.99）（0.05）,

P（川％）=（0.99）（0.05）2,p（4i，J=（o.O5）5.

所以這批樂(lè)器被接收的概率為：

p（A）=P（AIH°）P（H°）+P（A"）戶身）

+P（AIHjP（H2）+P（AI”JP（43）

=旨.（0.99丫+娶i.（O.99y（0.05）

。100Goo

+^L（099X0.05）2+今（0.05丫=0.

8629

GooGoo

例5商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0,1,2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1,某顧客選

中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？

解設(shè)/:從一箱中任取4只檢查，結(jié)果都是好的.

50,51,應(yīng)分別表示事件每箱含0,1,2只次品

已知:PC50）=0.8,P（51）=0.1,尸（應(yīng)）=0.1

P（AIB0）=1P（AIBJ=與」P（4I?具=」

19

c2（>5<-20

由Bayes公式：

P（即A）=要理^

/=0

0.1X%

=---------------H——k?0.0848

0.8xl+0.lx%+0.1x%

第二章隨機(jī)變量及其分布

離散型隨機(jī)變量及其分布

三種常見(jiàn)分布

1、(0-1)分布：(也稱兩點(diǎn)分布)

隨機(jī)變量才只可能取。與1兩個(gè)值，其分布律為：

p{x=攵}=〃*(1-〃廣，攵=。1(0</?<1)

}-PP_

2.二項(xiàng)分布(p32)

以X表示n重伯努利分布事件A發(fā)生的次數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，我們來(lái)求它的分布律。

分布律P{X=k}=C：pk(l卞嗔)心......n)

E(X)=0*0*C,：*(1—P)"+1*C：*p(l—PL+.....〃*C：p"=npD(X)=np(1-p)

記作:X~b(n,p)

3..泊松分布(p36)

分布律P(X=k)=±1，Jt=0,1,2,……，E(x)=2D(X)=2

k\

記作X~4(/l)

其中丸>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為2的泊松分布,記作/1w(2).

例1一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)人=5的

泊松分布來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？

解：設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為4

已知才服從參數(shù)人=5的泊松分布.

設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品。件，

求滿足尸{才這?}〉0.95的最小的a.

也即0.05

或Y-^-<0.05

Jb]

k=m+\A,

查泊松分布表得￡立=0,032,V￡^1=0,068

11=10k!k!

于是得m+l=10,m=9件

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的定義

設(shè)X是一個(gè)r.v,稱

F(x)=P(X<x)(-oo<x<+8)

為X的分布函數(shù)，記作F(x).

X

XX

如果將才看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示才落在區(qū)間(一內(nèi)

概率.

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得xe(-8,+8),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有

尸(尤)=_["，〃=P(X<x)

則稱才為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為才的概率密度

函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度.

概率密度的性質(zhì)

1./U)>0

2,[f(x)dx=l

J-oc

3,對(duì)于任意實(shí)數(shù)xl,,(xl<A2),

P(X]WX4/)='f(x)dx

三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量

1.均勻分布(P43)

-1,

,、----,a<x<b

f(zx)=-\h-a

.0,其它

則稱才在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記作

x~ugH)

2,指數(shù)分布(p44)

概率密度E(X)=。

1一二D(X)=6>2

0

啟(、——e,x>O,

y(x)=Io

o,其它，

其中e>o為常數(shù)，則稱才服從參數(shù)為0的指數(shù)分布.

若才服從參數(shù)為8的指數(shù)分布，則其分布函數(shù)為

\-e-x'e,x>0

F(x)=p{x<x}=<

0,其它

3.正態(tài)分布

若連續(xù)型r.v/的概率密度為

2

/(x)=*e2/,_00<x<00E(X)=〃D(X)=(T

飛2兀o

其中〃和CT（CT>0）都是常數(shù)，則稱才服從參數(shù)為〃和b的正態(tài)分布或高斯分布.

記為X?N（〃@2）

匚夕”=備￥=1

函數(shù)f（x）在（-00,川上單調(diào)增加，在（小+8］上單調(diào)減少，在X=4取得最大值；

定理1,若X~%（〃02）,則2=上幺~%（0,1）.

（T

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn)，設(shè)X~N（0/），.若數(shù)Za滿足條件P{x>za}=a,o〈a<in

P{X<Z_a"a

則稱點(diǎn)Za為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn).:P（X>Z1_a}=l-anP（X<石_"}書(shū)則z{_a=Za

例1,某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即7:00,7:15,7:30,7:45等時(shí)刻有汽車到

達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間才是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量，試求他候車時(shí)間少于5分鐘

的概率.

解：以7:00為起點(diǎn)0,以分為單位依題意，才?〃（0,30）

~.、—,0<x<30

/（幻=彳30

0,其它

從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即7:00,7:15,7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，為使候車時(shí)間

才少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：

P{10<X<15}+P{25<X<30}=C京+=1

即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.

例2,公共汽車車門(mén)的高度是按男子與車門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X?

M170,62）,問(wèn)車門(mén)高度應(yīng)如何確定？

解：設(shè)車門(mén)高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求PgA）近0.01或P（X<A）20.99,下面我們來(lái)求滿足上

式的最小的方.

求滿足P（爪h）>0.99的最小的h

因?yàn)镴-M170.62）,所以X770?N（oj）

6

故心㈤”（立1四<3）=0（"瑪

666

查表得。⑵33）=0.9901>0.99

/z-170

因m=而r-------=2.33,

6

即/F170+13.98弋184。設(shè)計(jì)車門(mén)高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門(mén)碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01.

第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

例1設(shè)才具有概率密度人（X），求丫=X?的概率密度.

解y和才的分布函數(shù)分別為Fy（y）和G（x）,注意到y(tǒng)=x2?o,楣y<0時(shí)，弓（y）=0

2

當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=P（Y<y）=P（X<y）

=P（-萬(wàn)4X4歷=尸x（V7）-丹（-77）

求導(dǎo)可得以>）=*=［蘇L（4）+/x（-6）］3'>0

內(nèi)［o,j<o

1--

若fx（%）=~r=e2，—00<x<+8.

Y27r

則Y=X2的概率密度為：

14--A

加，）=E”,y>o

0,y<0

定理設(shè)才是一個(gè)取值于區(qū)間［a,b］,具有概率密度f(wàn)G）的連續(xù)型r.v,又設(shè)y電<Z）處處可導(dǎo)，且對(duì)

于任意x,恒有g(shù)'（%）>?；蚝阌術(shù)'（X）<0,則片式才是一個(gè)連續(xù)型r.%它的概率密度為：

加(y)］障,a<y<p

/r(y)=-

0,其它

其中，a=ming(x),0=maxg(x),x=h(力是y=g(x)的反函數(shù).

a<^x<ba<x<b

例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

,-40<X<7T

reg/

0其它

求y=sinX的概率密度

解當(dāng)O〈y<l時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=P(sinX<y)

（0<X<工或工<X<7i）

22

=P（0</<arcsinj^+P（〃-arcsiny<X<7T）

,nyr（arcsin>y+1-^-arcs-y2

=r^dX+^dx=）

J）乃2Jr-arcsiny乃冗

2

.dFY（y）—：-0<y<1

而/“歷二十一求導(dǎo)得："（y）=仆「于-

）[0,其它

第三章多位隨機(jī)變量及其分布

二維隨機(jī)變量

隨機(jī)點(diǎn)（X,Y）落在矩形域[X]<X<％2，月內(nèi)的概率為

p（x（<X<x2,y1<y<y2）

=/,y2）一產(chǎn)（乙，yi）一廠（x，y2）+/（再，M）

2.0<F（x9y）<1,且

對(duì)任意固定的yG/?,F（-oo,y）=0,

對(duì)任意固定的xwR,F（x,-oo）=0,

F（-oo,-oo）=0,F（+oo,4-oo）=1.

3.F（x,y）=F（x+0,y）,F（x,y）=F（x,y+0）.

二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度具有性質(zhì)

f（x,y）>0

￡^f（x,y）dxdy=l

（JJ7（x,y）dxdy=1）

R-

3.設(shè)G是xOy平面上的區(qū)域，則有

P{（X,r）eG}=JJ7（x,y^dxdy;

G

4.在f（x,。的連續(xù)點(diǎn)，/（x,y）=""（X’）’）

dxdy

例1設(shè)（％D的概率密度是

/（%，y）={蠹；"四

求概率P{YWX}

解:P{Y<X}=y)dxdy=2￡JxJe~(2x+y)dy

y<x

=2e-2xdx[e-ydy=2(e-2x-e-3x)dx

1

=-

3

—.條件分布

定義i設(shè)(%?)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j,若戶｛y=打｝>o,則稱

P{X=x,Y^y}

P{后xiyj}=iiPa

P{Y=y:}P?i

為在y=x;條件下隨機(jī)變量小的條件分布律.作為條件的那個(gè)工匕認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另

一r.P的概率分布.

P{后xi\1^yj}>0,z=1,2,3,4

±P{X=xilY=yj}=l

/=!

定義2設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為(y),若對(duì)于固定的y,

人(丁)>0,則稱

f(x,y)q

「/、-為社丫=y的條件下x的條件概率密度.記為

A(y)

稱「=「尤為在y=y的條件下，的條件分

fxw(xIy)=fxw(xIy)dxx

A(y)——/r(y)

布函數(shù)。記為：

P｛X=y｝或Fxw(xly)即:

P[X<x\Y=y}=FxlY(x\y)=l^^-dx

例1設(shè)(4D的概率密度是，歸上0<X<8,0<><8

〃x,y)=jy

0,其它

求P｛?1|片y｝.

解：尸｛xziiy=)，｝=j'"x"(xly)dx為此需求出入卜(皿，)

由于人(y)=[f(x,y)dx

IT"］口0<y<oo

于是對(duì)好篇⑴y)=,=.,%>0

故對(duì)y>0,P{X>\|片y}=/^—dx==6"

三兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

例2設(shè)才和？的聯(lián)合密度為f(x,D,求全不，的概率密度.

解：多加的分布函數(shù)是：

Fz(z)=P{Z<z}=P[X+Y<z}=JJ/U，y)dxdy

D

這里積分區(qū)域》{(x,力：x+yWz}

它是直線x+y=z及其左下方的半平面.

%(“)=JJf(%y)dxdy化成累次積分,得

x+y<z

Fz⑶=Ir/(X，y)dx]dy

固定Z和必對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換，令x=u-y,得

匕(z)=^t^f(u-y,y)du]dy=^[^f(u-y,y)dy]du

故Fz(z)=口￡/(?-y,y)dy]du

由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系，即得全的概率密度為：

/z(z)=^(z)=￡/(z-y,y)dy

由1和F的對(duì)稱性，/z(Z)又可寫(xiě)成

fz(z)=Fz⑶=j/(x,z-x)dx

以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.

特別地，當(dāng)才和y獨(dú)立,設(shè)(XD關(guān)于X,y的邊緣密度分別為fxB,W),則上述兩式化為:

[/z(z)=J/x(z-y)fY(y)dy

(x)fY(z-x)dx

下面我們用卷積公式來(lái)求全不？的概率密度.

例3若才和y獨(dú)立，具有共同的概率密度

/“)=《fl,0<什x》<l求年開(kāi)y的概率密度.

0,其它

解由卷積公式心（Z）=1九Wy（Z-X）dX

為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域

[04x41也即f0<x<l

[0<z-x<l[z-l<x<z

/z（z）=「/x（x）4（z—x）dx｛（z-x）暫時(shí)固定｝

J-oc

故當(dāng)zwo或ZN2時(shí)，/z（Z）=O

當(dāng)04x<1時(shí),(z)=fdz=z

f7

當(dāng)IKZ<2時(shí)，

fz^-^dz=1-z

z,0<z<1

于是/z（z）=,2-z,l<z<2

0,其它

例4若才和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，具有相同的分布M0.1）,求的概率密度.

解由卷積公式

仁_幻2

/z（Z）=ffMf(z-x)dx=dx

J-00xY

=——e4e2dx

24〃

令/=%一三，得

2

1工

啟Z）=萬(wàn)e4

V2^V2

可見(jiàn)Z=2+K服從正態(tài)分布M0,2）.

四."=max（X9及Mmin（X?的分布

設(shè)X,F是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為雙（x）和“（。，我們來(lái)求，=max（%D及

N=min（%D的分布函數(shù).

1.M=maxUY）的分布函數(shù)MWZ=｛，￡

阿（z）=PG儂z）=尸（/z,收z）

由于才和y相互獨(dú)立,于是得到"=max（X。的分布函數(shù)為:

EM⑵=P(X<z)P(Y<z)BP：EM(Z)=FX(Z)FY(Z)

2.V=min(4D的分布函數(shù)

m(z)=尸(聯(lián)z)=l-PGV>z)=l-P(?z,r>z)

由于才和1相互獨(dú)立,于是得到N=minU?的分布函數(shù)為:

EN(z)=1-P(x>z)P(y>z)即有EN(Z)=1-[1-&(z)][l-4⑶]

用與二維時(shí)完全類似的方法，可得

gnaxGH,…，Xn)的分布函數(shù)為：

即(z)=FxR)Fx?).……Fx”⑵

iV^nin(21,???,Xri)的分布函數(shù)是

FN(Z)=1-[1-FXl(z)][l-FX2(Z)].……[1-Fx“(z)]

例5設(shè)X,y相互獨(dú)立且服從U[-oo,+oo],求方程t2+tx+Y=0有實(shí)根的概率，并求當(dāng)bf00時(shí)這概

率的極限.

解：x,y相互獨(dú)立且服從u[-4勿，所以X,y的聯(lián)合密度為

~^r,\x\<b,\y\<b

/a,y)=｛微它

方程J+氏+丫=o有實(shí)根的概率為

X2^2

P{X2-4Y>0}=P[Y<—}=JJf(x,y)dxdy,其中。：y4彳

ry=x2/4、rx=b

2

ix=6Iy=b/4<b(>b)

當(dāng)bW4時(shí),

P{X2-4r>0}=y)dxdy=奈\\dxdy

D\4bD\

1心

=—73+

4b2

當(dāng)〃>4時(shí)，

P{X2-4r>0}=^f(x,y)dxdy=奈\\dxdy

D2做D2

白｛〃+[仇。_2揚(yáng))+/后—dx}=1--"

43庭

1

C因EJT而Trt：p{x2e-4ywo}={-2'--。---.(Kf><4

1--彳=4>4

3、傷

可見(jiàn)：limF{X2-4r>0}=lim(l一一=1

b—8183JO

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

定義1設(shè)才是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是：

P{X=xk}=pk,A=1.2,-

若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)fzp,

hlk=l

的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即

E(X)=￡&0請(qǐng)注意：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又

Jt=l

稱為均值.

例1：有兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，他們的壽命X*(k=1,2)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為：

14

,/、—e0x>0,八

f(x)=<00n>O

0x<0,

若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N的數(shù)學(xué)期望.

解X*(k=l,2)的分布函數(shù)為

X

尸(x)=1-e。x>0

0x<0

N=min{X1,X2}的分布函數(shù)為：

產(chǎn)而“幻=1一[1一尸(刈2=I1°X>0

0x<0

于是N的概率密度為：

-eox>0

/minW=b

0x<0

■KO802xa

E(N)=!/in(x)公=J*eedx=-

期望的特征：

X離散型

E(Y)=E[g(X)]=普

jg(x)/(x)dx,X連續(xù)型

⑴若(X,丫)是二維連續(xù)型，概率密度為/(x,y),則有

4-X4-CO

E(Z)=E[g(X,y)]=JJg(x,y)/(x,y)dxdy

-0O-C0

⑵若(X,y)是二維離散型，概率分布為P{X=Xi,Y=力}=p4,j=1,2…)則有

E(Z)=E[g(X,y)]=ZZg(x,，X)P?

j=\i=l

這里假定上兩式右邊的積分或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.

例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

冗

、Asin(x+y)0<x<—

/(x,y)=j2

0其它

⑴求系數(shù)A,(2)求E(X),E(XY).

乃/2乃/2]

解(2)E(X)=Jjx—sin(x+y)dxdy=—

oo2'

+OC+00

E(XY)=J\xyf(x,y)dxdy

—CO-QO

=jjxy—sin(x+y)dxdy=—-1

0o22

例3：一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車

就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相

互獨(dú)立)

解引入隨機(jī)變量

jo在第i站沒(méi)有人下車in

，"［1在第i站有人下車一……

易知X=X,+X2+---+XIO

按題意

P{X,=0}=篇)，P{X,.=1}=1-高…2,…10

由此

進(jìn)而E[X)=￡,(%,+X2+???+%)=￡(X,)+￡(%,)+???+￡*(X10)

20

I]=8.784次

第二節(jié)方差

一、方差的定義

設(shè)才是一個(gè)隨機(jī)變量，若瓦(不￡(萬(wàn)］2存在，稱瓦(乃￡(乃］2為了的方差，記為D(X)或Var(X),即

D(X)=Var(X)=瓦f￡(乃］2

方差的算術(shù)平方根師行稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差

記為。(X),它與X具有相同的量綱。

二、方差的計(jì)算

由定義知，方差是隨機(jī)變量才的函數(shù)屋第=［乃￡(乃］2的數(shù)學(xué)期望.

￡［X*-E(X)］%,

D(X)=］匿

￡［x-E(X)F/(x)dx,

計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式：〃(力=雙柒)-［雙方］2

三、方差的性質(zhì)

I.設(shè)。是常數(shù)，則〃(。=0；

2.若C是常數(shù)，則D(CX)=C2D5;

3.設(shè)才與，是兩個(gè)隨機(jī)變量，則

D{X+Y)=。(乃+”(D+2￡{[六￡(萬(wàn)][>￡(，

4.Z?(J)=OOP{￥=0=1,這里C=E(X)

例4：設(shè)活塞的直徑(以cm計(jì))X~NQ2.40,0.032),氣缸的直徑y(tǒng)~N(22.50,0.042),X和Y相互

獨(dú)立。任取一活塞，任取一氣缸，求活塞能裝進(jìn)氣缸的概率

解：按題意需求尸{X<■},即求P{x-y<0}.

由于X-y~7V(-0.10,0.0025)

故有：

p{x<r}=P{x-Y<0}

?,(x-y)-(-o.io)一0一(—0.10)、

_/=V/=~}

VO.002570.0025

=①=①(2)=0.9772

0.05

四、切比雪夫不等式

定理設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=〃，方差D(X)=cr2,則對(duì)于任意正數(shù)￡,有不等式：

P{lX-E(X)INe}或P{lX—E(X)lve}Nl-M

￡2￡2

由切比雪夫不等式可以看出，若b?越小，則事件{|乃的概率越大，即隨機(jī)變量才集中在

期望附近的可能性越大.

證：設(shè)X的概率密度為/(x),則有：

P{\Xj/(x)dx

|X-〃I"

MJ...1f?x)dx

|x-“2&

IF2

MyJ(x-f(x)dx=—r

P\\X-E(X)\>s}<^-

￡,■

例5：已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式

估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.

解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為％依題意,E(X)=7300,D(X)=7002

所求為P(5200<X<9400)

因?yàn)椋篜(5200<X<9400)=P(-2100<X-E(X)<2100)

=P{\X-E{X)<|2100}

由切比雪夫不等式

P[\X-E{X}I42100}Q(X)1_8

-(2100)2210099

即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.

例6：在每次試驗(yàn)中，事件4發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：〃需要多么大時(shí)，才能使得

在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?

解：設(shè)才為〃次試驗(yàn)中，事件4出現(xiàn)的次數(shù)，則/以〃，0.75)

M2)=0.75A力(2)=0.75X0.25爐0.1875”

所求為滿足尸(0.74〈上〈0.76)20.90的最小的n?

n

產(chǎn)(0.74<—<0.76)可改寫(xiě)為

產(chǎn)(0.74水/0.76〃)=凡-0.01水上0.75水0.01〃)=P{\X-E(X)\〈0.01〃}

在切比雪夫不等式中取￡=0.01〃，則

P(0,74<-<0,76)=|<0.01/7)

n

D(X),0.1875〃?1875

>1_-、)=1--------------r=1-----------

-(0.0In)20.000In2n

依題意，取”照20.9解得

n

?>-1.875..=18750

1-0.9

即〃取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為

0.90.

第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

一、協(xié)方差

1.定義量E{[六E(?]|>E⑺"稱為隨機(jī)變量才和？的協(xié)方差，記為CoNXD,即

Cov(X,l)=f{[/?￡?)][F￡⑺])

2.簡(jiǎn)單性質(zhì)

(l)Cbr(Xy)=Cov(KJ)

⑵G”(a4帥=abCov(XDa,b是常數(shù)

⑶D=Cov(Xl,Y)+Cov(Xi,Y)

3.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式：由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得

Cov[X,Y)=E{[.六EU)]|>E⑺]}

=￡(切-瓜比￡(力-E(DE(X)+E(乃E(D

=￡(肋-￡(萬(wàn)￡(力

即：Cov{X,n=￡(ZZ)-E5ES

可見(jiàn)，若才與y獨(dú)立，Cov(X,D=0.

二、相關(guān)系數(shù)

定義：設(shè)D(萬(wàn)〉0,〃(乃>0,稱

Cov(x,y)

PXY=/

4D(X)D(Y)

為隨機(jī)變量才和？的相關(guān)系數(shù).

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

2.才和，獨(dú)立時(shí)，夕=0,但其逆不真.

由于當(dāng)才和y獨(dú)立時(shí)，cov(x,r)=o,故:

Co*x,y)

P=,==on

j￡>(X)￡>(Y)

但由于0=0,并不一定能推出才和y獨(dú)立.

3折|=1存在常數(shù)冬。(好0),使尸｛上a+b21=1,即才和y以概率1線性相關(guān).

例7：公共汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分，30分，55分發(fā)車，該乘客不知發(fā)車時(shí)間，在每小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)刻

隨機(jī)到達(dá)車站，求該乘客候車時(shí)間的期望值。

解：X表示乘車時(shí)間，Y表示候車時(shí)間

l/60,0<x<60

X~U(0,60)/(%)={0,其它

f10-X,0<X<10/y\

l30-XJ0<X<3096\A)

55-X,30<X<55

75-X,55<X<60

E(y)=「g(x)/(x)dx

J=(10—x)dx+￡：(3O-x)4x+^(55—x)dx+(70—x)dx

=10分20秒

例8一袋中有n張卡片，分別記有號(hào)碼1,2,3....n,從中又放回地抽取k張來(lái)，以X表示所得號(hào)碼之和,

求E(X)和D(X)

解：*,"抽取第漲卡片的號(hào)碼"，=1,2,-《

乂,々=1,2,-雄湘互獨(dú)立，令X=X1+Xz+…+X*

Xi123-n

Pk_L，_L_L

nnnn

E(X)=-(l+2+...+n)=-^

n2

E(X)可(X,)=kg

1=12

D(X)=E(X2)+[E(X)f=~Y'2~~+0-=-?"⑵史吐1)-(，；+1)-=

4n6412

D(X)=XD(X,)=^^

例9設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=-00<x<00,

(1)證明E(X)=0,D(X)=2；

(2)證明X與|X|不相互獨(dú)立；

(3)證明X與|X|不相關(guān)。

解：⑴E(X)=￡〃(*心=口夕％=0

E(X2)=￡x2f(x)dx=x2e~xdx

=[-x2e-x]^+2^xe-xdx

=2[-xe-x]\^+2「e-'dx

=2

故O(X)=E(X2)_[E(X)(=2

證明⑵X與|X|不相互獨(dú)立，因?yàn)槿谓ox>0

P(X<xf\X\<x)=P(|X|<x)^P(X<x)P(|X|<x)

⑶E(XIXI)=匚xIx\^e-Mdx=0

Cov(X,\XI)=E(XIXl)-f(X)E(lX1)=0

Cov(X,Y)

PXY='r■---/??=()

Jr?(X).j￡>(y)

第五章大數(shù)定理及中心極限定理

第一節(jié)大數(shù)定理

一、大數(shù)定律

定理1(切比雪夫定理的特殊情況)

設(shè)隨機(jī)變量X"X2-,X”…相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:

E(X*)=〃,O(X*)=o-2a=1,2,3,........n)

做前〃個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均x=>!■之x?則對(duì)任意的￡>o,有

V

1>1

limP{IX-//1<^}=limP{I-yX.-//1<^}=1

n—><x>n-^oc

11;=1

于

詛

11"J-

/EX

J1I1之

EI』

〃

I--=一

n〃

V/二

D

1\1,

三

J-理2

-=一=

〃

八

〃7

由切比雪夫不等式:

1V

上式中令〃->8得

limP｛l-yX.-p\<￡]=\

說(shuō)明：

1、定理中｛1上￡乂,-〃1<￡｝是指一個(gè)隨機(jī)事件，當(dāng)〃―8時(shí)，這個(gè)事件的概率趨于L

2、定理以數(shù)學(xué)形式證明了隨機(jī)變量X「…X”的算術(shù)平均又=接近數(shù)學(xué)期望E(X*)=〃

?,=i

a=1,2，這種接近說(shuō)明其具有的穩(wěn)定性.

這種穩(wěn)定性的含義說(shuō)明算術(shù)平均值是依概率收斂的意義下逼近某一常數(shù).

定理2(貝努里大數(shù)定律)

設(shè)nA是〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件4發(fā)生的次數(shù)，p是事件4在每次試驗(yàn)中發(fā)生

的概率，則對(duì)于任意正數(shù)￡〉0,有

limP{\^--p\<s}=1或limP{\^--p\>s]=Q

"—〃n—>oo〃

定理3(辛欽大數(shù)定律)

設(shè)隨機(jī)變量序列組，龍，…相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(?)=〃，i=l,2,則對(duì)于任意正

數(shù)￡,有：

"T8〃普

第二節(jié)中心極限定理

一、中心極限定理

定理4(獨(dú)立同分布下的中心極限定理)

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…X”,…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：

E(XQ=//,D(X*)=b2(&=1,2,…),則隨機(jī)變量之和

的標(biāo)準(zhǔn)化變量，%=u匕=—的分布函數(shù)工(X)對(duì)于任意X滿足

k=\Tno

lim工(x)=limP<1=1________<__x__=￡e*2dt=①(x)

n—>oon—>oo(j4n

1、定理表明，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和￡小,,當(dāng)九充分大時(shí)，隨機(jī)變量之和與其標(biāo)準(zhǔn)化變量分別有

￡=1

”近的也2匕一〃〃近似地

Yx?N(昨,3;-^-7=——?N((),l).

*=1k5Mb

_近似地Y-n近似地

2、獨(dú)立同分布中心極限定理的另一種形式可寫(xiě)為G?NReTn)或巴律?N(0,l)

(JNn

i〃

其中又=-1x.

〃k=\

定理5(李雅普諾夫(Liapounov)定理)

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,X〃…相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差：

Egik，O(X?)=bJ,(氏=1,2,…)

記：B：=￡或

k=l

若存在正數(shù)5,使得當(dāng)8時(shí),

一￡小“〃廣}-0

則隨機(jī)變量之和fxq的標(biāo)準(zhǔn)化變量:

k=]

fXk-E（￡Xk）fx「沙卜

7_A=l

乙”—一y的分布函數(shù)入a)對(duì)于任意工滿足

B”

X。

1-t2/2J4.

kTk=