專題3.1 平面直角坐標系【九大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題3.1平面直角坐標系【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【題型1判斷點所在的象限】 1【題型2坐標軸上點的坐標特征】 2【題型3點到坐標軸的距離】 2【題型4平行與坐標軸點的坐標特征】 3【題型5坐標確定位置】 3【題型6點在坐標系中的平移】 5【題型7圖形在坐標系中的平移】 6【題型8圖形在格點中的平移變換】 7【題型9坐標軸中的軸對稱】 9【知識點1平面直角坐標系的相關概念】建立平面直角坐標系的方法：在同一平面內(nèi)畫；兩條有公共原點且垂直的數(shù)軸．各部分名稱：水平數(shù)軸叫x軸（橫軸），豎直數(shù)軸叫y軸（縱軸），x軸一般取向右為正方向，y軸一般取象上為正方向，兩軸交點叫坐標系的原點．它既屬于x軸，又屬于y軸．

（3）建立了坐標系的平面叫做坐標平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐標軸上的點不屬于任何一個象限．（4）坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應的關系．【題型1判斷點所在的象限】【例1】（2022春?洪山區(qū)期末）已知點P（x，y）在第四象限，則點Q（﹣x﹣3，﹣y）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-1】（2022春?長沙期末）已知點P（﹣a，b），ab＞0，a+b＜0，則點P在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-2】（2022春?青山區(qū)期末）已知，點A的坐標為（m﹣1，2m﹣3），則點A一定不會在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-3】（2022春?晉州市期中）對任意實數(shù)x，點P（x，x2+3x）一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【知識點2坐標軸上點的坐標特征】在平面直角坐標系中，x軸上的點縱坐標為0，y軸上的點橫坐標為0，坐標原點橫縱坐標均為0.【題型2坐標軸上點的坐標特征】【例2】（2022春?隴縣期中）在平面直角坐標系中，點M（m﹣3，m+1）在x軸上，則點P（m﹣1，1﹣m）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2-1】（2022春?海淀區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，點P的坐標為（2m﹣4，m+1），若點P在y軸上，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【變式2-2】（2022春?倉山區(qū)校級期中）已知點A（﹣3，2m+3）在x軸上，點B（n﹣4，4）在y軸上，則點C（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2-3】（2022春?東莞市期中）已知點P（2a﹣4，a+1），若點P在坐標軸上，則點P的坐標為．【知識點3點到坐標軸的距離】在平面直角坐標系中，點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的絕對值.【題型3點到坐標軸的距離】【例3】（2022春?巴南區(qū)期末）已知點P在x軸的下方，若點P到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離是4，則點P的橫坐標與縱坐標的和為．【變式3-1】（2021秋?城固縣期末）已知點M（a，b）在第一象限，點M到x軸的距離等于它到y(tǒng)軸距離的2倍，且點M到兩坐標軸的距離之和為6，則點M的坐標為．【變式3-2】（2022春?云陽縣期中）坐標平面內(nèi)有一點A（x，y），且點A到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離恰為到x軸距離的2倍．若xy＜0，則點A的坐標為（）A．（6，﹣3） B．（﹣6，3） C．（3，﹣6）或（﹣3，6） D．（6，﹣3）或（﹣6，3）【變式3-3】（2021秋?陽山縣期末）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（3a﹣5，a+1）．若點A到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，且點A在y軸的右側(cè)，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【知識點4平行與坐標軸點的坐標特征】在平面直角坐標系中，與x軸平行的直線上的所有點的縱坐標相同，與y軸平行的直線上的所有點的橫坐標相同.【題型4平行與坐標軸點的坐標特征】【例4】（2022春?東莞市期末）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，2），AB平行于x軸，若AB＝4，則點B的坐標為（）A．（7，2） B．（1，5） C．（1，5）或（1，﹣1） D．（7，2）或（﹣1，2）【變式4-1】（2022春?延津縣期中）在平面直角坐標系中，點A（﹣2，1），B（2，3），C（a，b），若BC∥x軸，AC∥y軸，則點C的坐標為（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣3） C．（2，1） D．（﹣2，3）【變式4-2】（2022春?涪陵區(qū)期末）在平面直角坐標系中，若點P和點Q的坐標分別為P（﹣2，m），Q（﹣2，1），點P在點Q的上方，線段PQ＝5，則m的值為（）A．6 B．5 C．4 D．7【變式4-3】（2022春?硚口區(qū)期中）如圖，已知點A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD∥AB交y軸于點D．點P（m，n）為線段CD上（端點除外）一點，則m與n滿足的等量關系式是（）A．m+2n＝﹣5 B．2m+n＝﹣10 C．m﹣n＝﹣5 D．2m﹣n＝﹣6【題型5坐標確定位置】【例5】（2022春?中山市期中）中國象棋具有悠久的歷史，戰(zhàn)國時期，就有了關于象棋的正式記載，如圖是中國象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣2，0）表示“士”的位置，那么“將”的位置應表示為（）A．（﹣2，3） B．（0，﹣5） C．（﹣3，1） D．（﹣4，2）【變式5-1】（2021秋?渠縣校級期中）在大型愛國主義電影《長津湖》中，我軍繳獲了敵人防御工程的坐標地圖碎片（如圖），若一號暗堡坐標為（1，2），四號暗堡坐標為（﹣3，2），指揮部坐標為（0，0），則敵人指揮部可能在（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【變式5-2】（2022春?朝陽區(qū)期末）為更好的開展古樹名木的系統(tǒng)保護工作，某公園對園內(nèi)的6棵百年古樹都利用坐標確定了位置，并且定期巡視．（1）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy，使得古樹A、B的位置分別表示為A（1，2），B（0，﹣1）；（2）在（1）建立的平面直角坐標系xOy中，①表示古樹C的位置的坐標為；②標出另外三棵古樹D（﹣1，﹣2），E（1，0），F(xiàn)（1，1）的位置；③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→（0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→（﹣1，﹣2）”表示園林工人巡視古樹的一種路線，請你用這種形式畫出園林工人從原點O出發(fā)巡視6棵古樹的路線（畫出一條即可）．【變式5-3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖1，將射線OX按逆時針方向旋轉(zhuǎn)β角（0°≤β＜360°），得到射線OY，如果點P為射線OY上的一點，且OP＝m，那么我們規(guī)定用（m，β）表示點P在平面內(nèi)的位置，并記為P（m，β）．例如，圖2中，如果OM＝5，∠XOM＝110，那么點M在平面內(nèi)的位置，記為M（5，110°），根據(jù)圖形，解答下列問題：（1）如圖3，點N在平面內(nèi)的位置記為N（6，30°），那么ON＝，∠XON＝．（2）如果點A、B在平面內(nèi)的位置分別記為A（4，30°），B（3，210°），則A、B兩點間的距離為．【知識點5點在坐標系中的平移】向右平移a個單位平面直角坐標內(nèi)點的平移規(guī)律，設a>0，向右平移a個單位（1）一次平移：P（x，y）P'（x＋a，y）向下平移b個單位P（x，y）P'（x，y－b向下平移b個單位P（x，P（x，y）P（x－a，y＋b）向左平移a個單位再向上平移b個單位（2）二次平移：再向上平移b個單位【題型6點在坐標系中的平移】【例6】（2022春?洪湖市期中）在平面直角坐標系中，將點（1，﹣4）平移到點（﹣3，﹣2），經(jīng)過的平移變換為（）A．先向左平移4個單位長度，再向下平移6個單位長度 B．先向右平移4個單位長度，再向上平移6個單位長度 C．先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度 D．先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度【變式6-1】（2022春?武侯區(qū)期末）在平面直角坐標系中，將點M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2個單位長度得到點M'，若點M'在x軸上，則點M的坐標是（）A．（2，﹣2） B．（14，2） C．（﹣2，-103） D．（8，【變式6-2】（2022春?碑林區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，將點P（a，b）向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到點Q．若點Q位于第四象限，則a，b的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＜2 C．a(chǎn)＞1，b＜0 D．a(chǎn)＞﹣3，b＜2【變式6-3】（2021秋?蘇州期末）在平面直角坐標系中，把點P（a﹣1，5）向左平移3個單位得到點Q（2﹣2b，5），則2a+4b+3的值為．【知識點6圖形在坐標系中的平移】在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．）【題型7圖形在坐標系中的平移】【例7】（2022春?膠州市期末）如圖，△ABC的頂點坐標A（2，3），B（1，1），C（4，2），將△ABC先向左平移3個單位，再向下平移1個單位，得到△A'B'C'，則BC邊上一點D（m，n）的對應點D'的坐標是（）A．（m+3，n+1） B．（m﹣3，n﹣1） C．（﹣1，2） D．（3﹣m，1﹣n）【變式7-1】（2022?青島二模）如圖，線段AB經(jīng)過平移得到線段A'B'，其中點A，B的對應點分別為點A'，B'，這四個點都在格點上．若線段A'B'有一個點P'（a，b），則點P'在AB上的對應點P的坐標為（）A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）【變式7-2】（2022春?濱城區(qū)期中）如圖，第一象限內(nèi)有兩點P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），將線段PQ平移，使點P、Q分別落在兩條坐標軸上，則點P平移后的對應點的坐標是（）A．（﹣2，0） B．（0，3） C．（0，3）或（﹣4，0） D．（0，3）或（﹣2，0）【變式7-3】（2022春?如東縣期中）三角形ABC在經(jīng)過某次平移后，頂點A（﹣1，m+2）的對應點為A（2，m﹣3），若此三角形內(nèi)任意一點P（a，b）經(jīng)過此次平移后對應點P1（c，d）．則a+b﹣c﹣d的值為（）A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2【題型8圖形在格點中的平移變換】【例8】（2021春?撫遠市期末）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4），線段MN的位置如圖所示，其中點M的坐標為（﹣3，﹣1），點N的坐標為（3，﹣2）．（1）將線段MN平移得到線段AB，其中點M的對應點為A，點N的對應點為B．①點M平移到點A的過程可以是：先向平移個單位長度，再向平移個單位長度；②點B的坐標為；（2）在（1）的條件下，若點C的坐標為（4，0），連接AC，BC，求△ABC的面積．【變式8-1】（2022春?長沙期末）如圖，△ABC的頂點A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到△A'B'C'，且點C的對應點坐標是C'．（1）畫出△A'B'C'，并直接寫出點C'的坐標；（2）若△ABC內(nèi)有一點P（a，b）經(jīng)過以上平移后的對應點為P'，直接寫出點P'的坐標；（3）求△ABC的面積．【變式8-2】（2022春?江岸區(qū)校級月考）如圖，三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過某種平移得到的，點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′分別對應，且這六個點都在格點上，觀察各點以及各點坐標之間的關系，解答下列問題：（1）分別寫出點B和點B′的坐標，并說明三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的；（2）連接BC′，直接寫出∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關系；（3）若點M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對應點為點N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【變式8-3】（2021春?安陽縣期中）在平面直角坐標系中，三角形ABC經(jīng)過平移得到三角形A'B'C'，位置如圖所示．（1）分別寫出點A，A'的坐標：A，A'．（2）請說明三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的．（3）若點M（m，4﹣n）是三角形ABC內(nèi)部一點，則平移后對應點M'的坐標為（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．【題型9坐標軸中的軸對稱】【例9】（2022秋?花都區(qū)期末）剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為（2m，﹣n），其關于y軸對稱的點F的坐標（3﹣n，﹣m+1），則（m﹣n）2022的值為（）A．32022 B．﹣1 C．1 D．0【分析】利用軸對稱的性質(zhì)構建方程組，求出m，n，可得結論．【解答】解：∵E（2m，﹣n），F(xiàn)（3﹣n，﹣m+1）關于y軸對稱，∴-n=-m+12m=n-3解得，m=-4n=-5∴（m﹣n）2022＝（﹣4+5）2022＝1，故選：C．【變式9-1】（2022秋?文山市期末）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點坐標為A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）（1）求Rt△ABC的面積；（2）在圖中作出△ABC關于x軸對稱的圖形△DEF，并寫出D，E，F(xiàn)的坐標．【分析】（1）直接根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）先找出△ABC各頂點關于x軸對稱的對應點，然后順次連接各點即可．【解答】解：（1）