專題2.5 勾股定理與線段長(zhǎng)（壓軸題專項(xiàng)講練）（浙教版）（原卷版）

專題2.5勾股定理與線段長(zhǎng)【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F．（1）如圖1，若AB＝13，BC＝10，求AF的長(zhǎng)度；（2）如圖2，若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BD＝5，由勾股定理計(jì)算可得AD的長(zhǎng)，由等腰直角三角形性質(zhì)得DF＝5，最后由線段的差可得結(jié)論；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代換可得結(jié)論．【解題過程】解：（1）如圖1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=ABRt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）證明：如圖2，在BF上取一點(diǎn)H，使BH＝EF，連接CF、CH，在△CHB和△AEF中，∵BH=EF∠CBH=∠AFE=45°∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，F(xiàn)D⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．1．（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和4，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為（）A．5 B．25 C．7 D．5或72．（2021秋?蘇州期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸交于原點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．5-1 B．5-2 C．3-1 3．（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，作Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2AC；以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交斜邊AB于點(diǎn)D；以B為圓心，以BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E．若BC＝6，則CE＝（）A．9﹣35 B．35-6 C．35-3 D．354．（2021秋?鹽田區(qū)校級(jí)期末）如圖，在2×2的網(wǎng)格中，有一個(gè)格點(diǎn)△ABC，若每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則△ABC的邊AB上的高為（）A．22 B．55 C．510 5．（2021秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC邊上的高AD＝8，則△ABC的面積為（）A．72 B．84 C．36或84 D．72或846．（2021秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，則點(diǎn)A到BC的距離是．7．（2021秋?乾縣期末）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝6，BC＝8，CD＝10，則AD＝．8．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，△ABC的兩條角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，連接CO，則CO的長(zhǎng)為．9．（2021秋?徐匯區(qū)期末）如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，則AB＝．10．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足為D．求AD，BD的長(zhǎng)．11．（2020秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AB＝1，BC=3，CD＝2，求AD12．（2021秋?靖江市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝25，BC＝28，AC＝17，求△ABC的面積．13．（2021春?鐵西區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接DC，若DC⊥BC，求AB的長(zhǎng)．14．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求AF的長(zhǎng)．15．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．（1）求證：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE16．（2021秋?石景山區(qū)期末）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求CD的長(zhǎng)．17．（2021春?歙縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，已知四邊形的周長(zhǎng)為42，求四邊形ABCD的面積．18．（2021秋?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點(diǎn)，且CE＝1，AE=26，BE＝4，點(diǎn)F為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF（1）求AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AF的長(zhǎng)．19．（2021秋?南陽(yáng)期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求BC邊的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t