甘肅省靖遠(yuǎn)二中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

甘肅省靖遠(yuǎn)二中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，若，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列 D．偶數(shù)項(xiàng)遞增，奇數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列2．在中，設(shè)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，則一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．已知向量滿(mǎn)足：，，，則（）A． B． C． D．4．四棱錐中，平面，底面是正方形，且，則直線與平面所成角為（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），然后把圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖形對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．7．在數(shù)列an中，an+1=an+a（n∈N*，a為常數(shù)），若平面上的三個(gè)不共線的非零向量OA、OB、OC滿(mǎn)足OC=a1A．1005 B．1006 C．2010 D．20128．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何的體積為（）立方單位．A． B．C． D．9．在中，，且，若，則（）A．2 B．1 C． D．10．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則_________.12．已知棱長(zhǎng)都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_______．13．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓，設(shè)，則陰影部分的面積是__________.14．一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)，一底角頂點(diǎn)，另一頂點(diǎn)的軌跡方程是___15．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列，有下列三個(gè)命題：（1）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；（2）若，則是等差數(shù)列：（3）若，則是等比數(shù)列這些命題中，真命題的序號(hào)是__________________________.16．函數(shù)的最小值為_(kāi)___________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1分）設(shè)數(shù)列{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3﹣a2=1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．18．如圖，在直三棱柱中，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求證：平面平面.19．如圖所示，是一個(gè)矩形花壇，其中米，米．現(xiàn)將矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求：在上，在上，對(duì)角線過(guò)點(diǎn)，且矩形的面積小于150平方米．（1）設(shè)長(zhǎng)為米，矩形的面積為平方米，試用解析式將表示成的函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形的面積最小？并求最小面積．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的方程是（，）．（1）當(dāng)，時(shí)，求曲線圍成的區(qū)域的面積；（2）若直線：與曲線交于軸上方的兩點(diǎn)，，且，求點(diǎn)到直線距離的最小值．21．設(shè)是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)題意，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系分析可得答案?！绢}目詳解】根據(jù)題意，，則，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)即即即即，數(shù)列是奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題涉及數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)函數(shù)的大小，反推變量的大小，是一道中檔題目。2、C【解題分析】

利用二倍角公式化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，利用余弦定理化角為邊的關(guān)系，即可推出三角形的形狀．【題目詳解】解：因?yàn)?，所以，即，由余弦定理可知：，所以．所以三角形是直角三角形．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的形狀的判斷，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．3、D【解題分析】

首先根據(jù)題中條件求出與的數(shù)量積，然后求解即可.【題目詳解】由題有，即，，所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的模，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

連接交于點(diǎn)，連接，證明平面，進(jìn)而可得到即是直線與平面所成角，根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【題目詳解】連接交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；連接，則即是直線與平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面角的求法，在幾何體中作出線面角，即可求解，屬于?？碱}型.5、B【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)間基本關(guān)系和各象限三角函數(shù)符號(hào)的情況即可得到正確選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，則，，所以，則可知角的終邊在第二象限.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查各象限三角函數(shù)符號(hào)的判定，屬基礎(chǔ)題.相關(guān)知識(shí)總結(jié)如下：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：.6、D【解題分析】

函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），的系數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，即為2，然后根據(jù)平移求出函數(shù)的解析式．【題目詳解】函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），得到，把圖象向左平移個(gè)單位，得到故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象變換．準(zhǔn)確理解變換規(guī)則是關(guān)鍵，屬于中檔題．7、A【解題分析】

利用等差數(shù)列的定義可知數(shù)列an為等差數(shù)列，由向量中三點(diǎn)共線的結(jié)論得出a1+【題目詳解】∵an+1=an∵三點(diǎn)A、B、C共線且該直線不過(guò)O點(diǎn)，OC=a1因此，S2010故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列求和，涉及等差數(shù)列的定義以及向量中三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8、D【解題分析】由三視圖可知幾何體是由一個(gè)四棱錐和半個(gè)圓柱組合而成的，所以所求的體積為，故選D.9、A【解題分析】

取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，即可得解.【題目詳解】取的中點(diǎn)，連接，在中，，且，所以，.故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查求向量的數(shù)量積，涉及平面向量的線性運(yùn)算，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.10、A【解題分析】

連接，證得，結(jié)合向量減法運(yùn)算，求得.【題目詳解】連接，由于是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，所以是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量相等的概念，考查向量減法的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由題意可得：點(diǎn)睛：熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，特別是要注意公式中的符號(hào)問(wèn)題；注意公式的變形應(yīng)用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)化解題過(guò)程的關(guān)鍵所在．12、【解題分析】

根據(jù)側(cè)面積求出正四棱錐的棱長(zhǎng)，畫(huà)出組合體的截面圖，根據(jù)三角形的相似求得四棱錐內(nèi)切球的半徑，于是可得內(nèi)切球的表面積．【題目詳解】設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，解得．于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖△PMN的內(nèi)切圓，其中，．∴．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由∽，得，即，解得，∴內(nèi)切球的表面積為．【題目點(diǎn)撥】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．13、【解題分析】

：設(shè)兩個(gè)半圓交于點(diǎn),連接,可得直角扇形的面積等于以為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和，平分,可得陰影部分的面積.【題目詳解】解：設(shè)兩個(gè)半圓交于點(diǎn)，連接,,∴直角扇形的面積等于以為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和，由對(duì)稱(chēng)性可得：平分,故陰影部分的面積是：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形的計(jì)算公式，相對(duì)不難.14、【解題分析】

設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用|AB|＝|AC|，建立方程，根據(jù)A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，則三點(diǎn)不共線且B，C不重合，即可求得結(jié)論．【題目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由得，化簡(jiǎn)得.∵A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三角形∴三點(diǎn)不共線且B，C不重合因此頂點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、（1）、（2）、（3）【解題分析】

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和形式，逐一判斷即可.【題目詳解】既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是非零常數(shù)列，故（1）正確.等差數(shù)列的前項(xiàng)和是二次函數(shù)形式，且不含常數(shù)，故（2）正確.等比數(shù)列的前項(xiàng)和是常數(shù)加上常數(shù)乘以的形式，故（3）正確.故答案為：（1），（2），（3）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，同時(shí)考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解題分析】

將函數(shù)構(gòu)造成的形式，用換元法令，在定義域上根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最小值，之后可得原函數(shù)最小值?！绢}目詳解】由題得，，令，則函數(shù)在遞增，可得的最小值為，則的最小值為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了換元法，以及函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）an=2×【解題分析】試題分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列{an}的公比q，利用條件a1=4，a3﹣a4（4）數(shù)列{an+bn}是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加得來(lái)的，所以可以采用拆項(xiàng)分組的方法，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題來(lái)解決.試題解析：解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1=4，a3﹣a4=1，得：4q4﹣4q﹣1=4，即q4﹣q﹣6=4．解得q=3或q=﹣4，∵q＞4，∴q=﹣4不合題意，舍去，故q=3．∴an=4×3n﹣1；（4）∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1，公差d=4的等差數(shù)列，∴bn=4n﹣1，∴Sn=（a1+a4++an）+（b1+b4++bn）=+=3n﹣1+n4．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列.18、(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【解題分析】

（1）利用中位線定理可得∥，從而得證；（2）先證明，從而有平面，進(jìn)而可得平面平面．【題目詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以∥．因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面．?）在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，且是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫绢}目點(diǎn)撥】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.19、（1）,;（2）,.【解題分析】

（1）由可得，，∴．由，且，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?）令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為米時(shí)，矩形花壇的面積最小，最小面積為96平方米．考點(diǎn)：1.分式不等式；2.均值不等式.20、(1)4；(2)．【解題分析】

（1）當(dāng)，時(shí)，曲線的方程是，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行討論，得到四條直線圍成一個(gè)菱形，并求出面積為4；（2）對(duì)進(jìn)行討論，化簡(jiǎn)曲線方程，并與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由得到的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求得.【題目詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，曲線的方程是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，曲線圍成的區(qū)域?yàn)榱庑?，其面積為；（2）當(dāng)，時(shí)，有，聯(lián)立直線可得，當(dāng)，時(shí)，有，聯(lián)立直線可得，由可得，即有，化為，點(diǎn)到直線距離，由題意可得，，，即，可得，，可得當(dāng)，