2024屆重慶江津長壽綦江等七校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆重慶江津長壽綦江等七校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)矩形的長為，寬為，其比滿足∶＝，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中．下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù)，與標準值0.618比較，正確結(jié)論是A．甲批次的總體平均數(shù)與標準值更接近B．乙批次的總體平均數(shù)與標準值更接近C．兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度相同D．兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度不能確定2．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．5．若正實數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C． D．6．若，則等于（）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列，若，則()A． B． C．4 D．8．半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是（）A．2 B．0 C．-2 D．49．若直線經(jīng)過A(1,0),B(2,3)兩點，則直線A．135° B．120° C．60° D．45°10．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，那么目標函數(shù)的最大值是（）A．0 B．1 C． D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期___________.12．若復(fù)數(shù)z滿足z?2i=z2+1（其中i13．已知數(shù)列的前n項和，則________.14．若直線與圓相切，則________.15．若等差數(shù)列的前項和，且，則______________.16．已知是以為首項，為公差的等差數(shù)列，是其前項和，則數(shù)列的最小項為第___項三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓經(jīng)過（2，5），（﹣2，1）兩點，并且圓心在直線yx上.（1）求圓的標準方程；（2）求圓上的點到直線3x﹣4y+23＝0的最小距離.18．已知正項數(shù)列的前項和為，對任意，點都在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項和；（3）已知數(shù)列滿足，若對任意，存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.19．已知等比數(shù)列的各項為正數(shù)，為其前項的和，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前項的和．20．（2012年蘇州17）如圖，在中，已知為線段上的一點，且．（1）若，求的值；（2）若，且，求的最大值．21．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.6132、A【解題分析】

設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【題目詳解】設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【題目點撥】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，是基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的．4、A【解題分析】

出現(xiàn)面積，可轉(zhuǎn)化為觀察，和余弦定理很相似，但是有差別，差別就是條件是形式，而余弦定理中是形式，但是我們可以注意到：,所以可以完成本題.【題目詳解】由，所以在三角形中,再由正弦定理所以答案選擇A.【題目點撥】本題很靈活，在常數(shù)4的處理問題上有點巧妙，然后再借助余弦定理及正弦定理，難度較大.5、D【解題分析】

將變成，可得，展開后利用基本不等式求解即可．【題目詳解】，，，，當且僅當，取等號，故選D．【題目點撥】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.6、B【解題分析】試題分析：，.考點：三角恒等變形、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系．7、D【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式求得公比，進而求得的值.【題目詳解】∵，∴.故選：D.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

將轉(zhuǎn)化為，利用向量數(shù)量積運算化簡，然后利用基本不等式求得表達式的最小值.【題目詳解】畫出圖像如下圖所示，,等號在，即為的中點時成立.故選C.【題目點撥】本小題主要考查平面向量加法運算，考查平面向量的數(shù)量積運算，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.9、C【解題分析】

利用斜率公式求出直線AB，根據(jù)斜率值求出直線AB的傾斜角.【題目詳解】直線AB的斜率為kAB=3-02-1【題目點撥】本題考查直線的傾斜角的求解，考查直線斜率公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解題分析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，再平移目標函數(shù)所在的直線，找到最優(yōu)點，將最優(yōu)點的坐標代入目標函數(shù)求最值.【題目詳解】畫出可行域（如圖），平移直線，當目標直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，．故選：D【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃求最值問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)表達式，由此求得函數(shù)的最小正周期.【題目詳解】依題意，故函數(shù)的周期.故填：.【題目點撥】本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解題分析】設(shè)z=a+bi,a,b∈R，則由z?2則-2b=a2+b2+12a=013、【解題分析】

先利用求出，在利用裂項求和即可.【題目詳解】解：當時，，當時，，綜上，，，，故答案為：.【題目點撥】本題考查和的關(guān)系求通項公式，以及裂項求和，是基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由于直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，即，由于，所以.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意建立和的方程組，解出這兩個量，即可求出的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列中項的計算，解題的關(guān)鍵就是要建立首項和公差的方程組，利用這兩個基本量來求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先求，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可【題目詳解】由題當時最小故答案為8【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16（2）1【解題分析】

（1）先求出圓心的坐標和圓的半徑，即得圓的標準方程；（2）求出圓心到直線3x﹣4y+23＝0的距離即得解.【題目詳解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）中點為（0，3），經(jīng)過A（2，5），B（﹣2，1）的直線的斜率為，所以線段AB中垂線方程為，聯(lián)立直線方程y解得圓心坐標為（2，1），所以圓的半徑.所以圓的標準方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.（2）圓的圓心為（2，1），半徑r＝4.圓心到直線3x﹣4y+23＝0的距離d.則圓上的點到直線3x﹣4y+23＝0的最小距離為d﹣r＝1.【題目點撥】本題主要考查圓的標準方程的求法和圓上的點到直線的距離的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）將點代入函數(shù)的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和；（3）利用分組求和法與裂項法求出數(shù)列的前項和，由題意得出，判斷出數(shù)列各項的符號，得出數(shù)列的最大值為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，然后解不等式可得出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）將點代入函數(shù)的解析式得到.當時，，即，解得；當時，由得，上述兩式相減得，得，即.所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，；（2），，因此，①，②由①②得，所以；（3）．令為的前項和，則.因為，，，，當時，，令，，令，則，當時，，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，，則，即，那么當時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時，則.因此，數(shù)列的最大值為.又，函數(shù)單調(diào)遞增，此時，函數(shù)的最大值為．因為對任意的，存在，.所以，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題考查利用等比數(shù)列前項和求數(shù)列通項，同時也考查了錯位相減法求和以及數(shù)列不等式恒成立問題，解題時要充分利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大項或最小項的值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.19、（Ⅰ）（Ⅱ），【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)正項等比數(shù)列的公比為且，由已知列式求得首項與公比，則數(shù)列的通項公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由數(shù)列的分組求和即可．【題目詳解】（Ⅰ）由題意知，等比數(shù)列的公比，且，所以，解得，或（舍去），則所求數(shù)列的通項公式為.（Ⅱ）由題意得，故【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前項和公式的應(yīng)用，同時考查了待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式和分組求和法求數(shù)列的和．20、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：(1)利用平面向量基本定理可得．(2)利用題意可得，則的最大值為．試題解析：（1），而，∴．（2）∴當時，的最大值為．21、（1）;（2）見解析.【解題分析】【試題分析】（1）借助題設(shè)中的數(shù)列遞