江蘇省鹽城市2023-2024學年高三第一冊學情調(diào)研考試數(shù)學試題（附答案）

江蘇省鹽城市2023-2024學年高三第一學期學情調(diào)研考試數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合P＝{x|y＝}，Q＝{y|y＝}，則P∩Q＝()A.?B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)2.若復數(shù)z滿足zz＝2，則|z|為()A.1B.C.2D.43.若數(shù)列{an}滿足an＋1＝，n∈N*，則“a1＝2”是“{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.如圖，某炮兵從地平面A處發(fā)射一枚炮彈至地平面的另一處B，假設(shè)炮彈的初始速度為v0，發(fā)射方向與地平面所成角為α(0＜α＜)，根據(jù)物理知識可知，在不計空氣阻力的情況下，炮彈飛行過程中的水平距離x＝(v0cosα)t，豎直距離y＝(v0sinα)t－gt2，其中t為炮彈的飛行時間，g為重力加速度，對于給定的初始速度v0，要使炮彈落地點的水平距離AB最大，則發(fā)射角α應(yīng)為()A.B.C.D.5.若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)在(0，)上單調(diào)，則ω的取值范圍是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1]6.在各項為正數(shù)的無窮等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，若數(shù)列{}的前n項和為Sn，則()A.S2n＝B.S2n＞C.S2n＜D.以上均不對7.若x＞0，y＞1，則＋的最小值為()A.1B.4C.8D.128.已知a＝－2，b＝ln2，c＝1－，則()A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.a＞b＞cD.c＞b＞a二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯選的得0分．9.在復數(shù)范圍內(nèi)，方程x2＋x＋1＝0的兩根記為x1，x2，則()A.x1＋x2＝1B.x1x2＝1C.|x1－x2|＝D.x1－x2＝±10.在△ABC中，|＋|＝|－|＝4，·＝4，則()A.B＝B.A＝C.AC＝2D.△ABC的面積為411.已知數(shù)列{an}滿足an＋2an－1＝kn，n∈N*，n≥2，則()A.當k＝0且a1≠0時，{an}是等比數(shù)列B.當k＝1時，是等比數(shù)列C.當k＝－2時，是等差數(shù)列D.當k＝－3且a1＝－3時，是等比數(shù)列12.在△ABC中，若A＝nB(n∈N*)，則()A.對任意的n≥2，都有sinA＜nsinBB.對任意的n≥2，都有tanA＜ntanBC.存在n，使sinA＞nsinB成立D.存在n，使tanA＞ntanB成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若不等式x2－2x≤a對任意a∈[0，3]都成立，則實數(shù)x的取值范圍是________．14.在△ABC中，已知AB＝3，AC＝4，BC＝3，則·的值為________．15.若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有三個零點x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，x1＋2x3＝x2，則a＋b的最大值為________．16.若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，則稱點P為△ABC的勃羅卡點，α為△ABC的勃羅卡角．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若勃羅卡點P滿足＝＝，則∠ABC與勃羅卡角α的正切值分別為________、________．(第1空2分，第2空3分)四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex.(1)求g(x)的最小值；(2)求函數(shù)h(x)＝的值域．18.(本小題滿分12分)已知正項遞增等比數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且S3＝91，a1a3＝81.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記an的個位數(shù)為bn，求數(shù)列{anbn}的前2n項和T2n.19.(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋)在(0，π)內(nèi)恰有兩個零點，其中ω∈N*.(1)求ω的值；(2)若f(x)＝，求的值．20.(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足c＝2，(2a＋c)cosB＋bcosC＝0.(1)若A＝，求△ABC的面積；(2)若點D滿足＝2，△BCD的面積是2，求的值．21.(本小題滿分12分)“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”，“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》，用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．“大衍數(shù)列”{an}的前幾項分別是0，2，4，8，12，18，24，…，且{an}滿足an＝其中k∈N*.(1)求a2k(用k表示)；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝其中k∈N*，Tn是{bn}的前n項的積．求證：lnTn≤n2－n，n∈N*.22.(本小題滿分12分)已知f(x)＝ex(1－x).(1)求函數(shù)g(x)＝f(x)＋ex－e的最大值；(2)設(shè)f(x1)＝f(x2)＝t，x1≠x2，求證：x1＋x2＜2t－－1.

數(shù)學答案及評分標準1.D2.B3.A4.B5.D6.B7.C8.C9.BC10.ABC11.ACD12.AD13.[0，2]14.－815.16.17.解：(1)∵f(x)＋g(x)＝ex,①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∵g(x)為偶函數(shù)，∴g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝e－x,②由①②得f(x)＝(ex－e－x)，g(x)＝(ex＋e－x)，(2分)由基本不等式得ex＋e－x≥2＝2,當且僅當x＝0時取等號，故[g(x)]min＝1.(5分)(2)h(x)＝＝＝＝1－，(6分)h(x)的定義域為(－∞，＋∞)，設(shè)t＝e2x＋1，y＝1－，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得t的取值范圍是(1，＋∞)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍是(0，2)，故1－的取值范圍是(－1，1)，故函數(shù)h(x)的值域為(－1，1).(10分)注：h(x)＝的解析式化簡為1－得1分；值域(－1，1)兩個邊界值對1個得2分；其他方法參照評分．18.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.∵數(shù)列{an}為正項遞增的等比數(shù)列，∴a1>0，q>1，則S3＝a1(1＋q＋q2)＝91，a1a3＝q2＝81，(3分)解得故an＝9n－1.(5分)(2)當n為奇數(shù)時，an的個位數(shù)為1，bn＝1，(6分)當n為偶數(shù)時，an的個位數(shù)為9，bn＝9，(7分)故T2n＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a2nb2n＝(a1b1＋a3b3＋…＋a2n－1b2n－1)＋(a2b2＋a4b4＋…＋a2nb2n)＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋9(a2＋a4＋…＋a2n)(9分)＝＋9[]＝(81n－1).(12分)19.解：(1)由f(x)＝0，得ωx＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝，(3分)因為f(x)在(0，π)內(nèi)恰有兩個零點，且ω∈N*，所以<π≤，所以ω＝2.(6分)(2)由f(x)＝，得sin(2x＋)＝，設(shè)x－＝θ，則sin(2θ＋＋)＝，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝，(10分)所以|sinθ|＝，即|sin(x－)|＝.(12分)20.解：(1)由(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，得2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0，即2sinAcosB＋sinA＝0，∵A，B∈(0，π)，∴cosB＝－，B＝.(2分)又A＝，所以C＝，由＝得b＝，∵sin＝sin(－)＝，∴b＝6＋2，(5分)∴S△ABC＝(6＋2)·2·＝6＋2.(6分)(2)∵＝2，S△BCD＝2，∴S△ABC＝6，∴·2·a·＝6，得a＝12，(9分)令∠ADB＝θ，則＝，＝，∴＝＝3，∴＝6.(12分)21.(1)解：a2＝a1＋2，a3＝a2＋2，a4＝a3＋4，a5＝a4＋4，…，a2k－2＝a2k－3＋2k－2，a2k－1＝a2k－2＋2k－2，a2k＝a2k－1＋2k，將以上各式累加得a2k＝2k＋2[2＋4＋6＋…＋(2k－2)]＝2k＋2··＝2k2，k≥2，當k＝1時，a2k＝2k2也成立，故a2k＝2k2，k∈N*.(6分)注：也可由遞推公式先得到a2k＝a2k－2＋4k－2，再累加得a2k＝2k2.(2)證明：由(1)可知，當n是偶數(shù)時，an＝，當n是奇數(shù)時，an＝，所以bn＝n2.(8分)以下先證明：當x>0時，lnx≤x－1.設(shè)f(x)＝x－1－lnx，則f′(x)＝1－＝，令得x>1，令得0<x<1，故f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)≥f(1)＝0，∴l(xiāng)nx≤x－1，(10分)∴l(xiāng)nn≤n－1，n∈N*，∴l(xiāng)nTn＝ln(12·22·32…·n2)＝2ln(1·2·3…·n)＝2(ln1＋ln2＋…＋lnn)≤2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，即lnTn≤n2－n，n∈N*.(12分)22.(1)解：g(x)＝ex(1－x)＋ex－e，g′(x)＝－xex＋e，(1分)當x≤0時，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，當x>0時，設(shè)φ(x)＝g′(x)，φ′(x)＝－(x＋1)ex<0，∴g′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又g′(1)＝0，所以當x∈(0，1)，g′(x)>0，∴g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，當x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，綜上，g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當x＝1時，[g(x)]max＝0.(4分)(另解：g(x)＝－(ex－e)(x－1)，當x≠1時，g(x)<0，而g(1)＝0，所以當x＝1時，[g(x)]max＝0).(2)證明：f′(x)＝－xex，當x<0時，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，當x>0時，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當x＝0時，[f(x)]max＝1，當x<1時，f(x)>0，當x>1時，f(x)<0且單調(diào)遞減，所以0<t<1.不妨令x1<0<x2<1，設(shè)h(x)＝－ex＋e，由(1)可知，f(x)≤h(x)，當且僅當x＝1時取等號，設(shè)h(x′2)＝t，則x′2＝1－∈(0，1)，t＝h(x′2)>f(x′2)，所以t＝f(x2)>f(x′2)，由f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減可知，x2<x′2，即x2<1－.(*)(8分)記p(x)＝x＋1，x≤0，設(shè)F(x)＝f(x)－p(x)＝ex(1－x)－x－1，x≤0，(10分)F′(x)＝－xex－，記m(x)＝F′(x)，則m′(x)＝－(x＋1)ex，當x∈(－∞，－1)時，m′(x)>0，F(xiàn)′