提優(yōu)題型十一 綜合探究題 復(fù)習(xí)講義（原卷版）

題型十一綜合探究題（復(fù)習(xí)講義）【考點(diǎn)總結(jié)|典例分析】命題內(nèi)容及趨勢(shì)：

(1)從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的函數(shù)類題型：

(2)以直角坐標(biāo)系為載體的幾何類題型：(3)以“幾何變換”為主體的幾何類題型：

(4)以“存在型探索性問題”為主體的綜合探究題：

(5)以“動(dòng)點(diǎn)問題”為主的綜合探究題：

二、需要注意的問題及建義：

(1)在復(fù)習(xí)中要更多關(guān)注“幾何變換”，強(qiáng)化對(duì)圖形變換的理解。

加強(qiáng)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱多種變換的研究，對(duì)不同層次的學(xué)生進(jìn)行分層拔高，使每一個(gè)學(xué)生都有較大的提升空間。

(2)讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，經(jīng)歷問題解決的整個(gè)過程。

復(fù)習(xí)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)”來分析圖形，要多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀、審題、獲取信息，養(yǎng)成多角度、多側(cè)面分析問題的習(xí)慣，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。(3)要特別重視“函數(shù)圖像變換型”問題教學(xué)的研究。

通過開展“函數(shù)圖像變化”的專題教學(xué)，樹立函數(shù)圖像間相互轉(zhuǎn)換的思維，盡量減少學(xué)生對(duì)函數(shù)“數(shù)形”認(rèn)知的欠缺，比如，平時(shí)滲透拋物線的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)某個(gè)函數(shù)圖像經(jīng)過變換出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)圖像時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從圖形間的相互聯(lián)系中尋找切入點(diǎn)，排除識(shí)圖的干擾，對(duì)圖像所蘊(yùn)含的信息進(jìn)行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進(jìn)行到底。此類試題考查的思路是從知識(shí)轉(zhuǎn)向能力，從傳統(tǒng)應(yīng)用轉(zhuǎn)向信息構(gòu)建，這就提醒我們課堂上重要的不是講解，而是點(diǎn)撥、引導(dǎo)、提升，一定要從重視知識(shí)積累轉(zhuǎn)向問題探究的過程，關(guān)注學(xué)生自主探究能力的培養(yǎng)。

(4)突出數(shù)學(xué)核心概念、思想、方法的考查。

中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，也勢(shì)必會(huì)成為考查綜合應(yīng)用能力的重要載體，這包括方程、不等式、函數(shù)，以及基本幾何圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)知識(shí)之間橫縱向的聯(lián)系，也包括中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要數(shù)學(xué)思想。如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想很化歸與轉(zhuǎn)換思想。而數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)的具體表現(xiàn)，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、歸納法和割補(bǔ)法。

1.(2022·重慶市A卷)如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；

(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點(diǎn)H是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)K是線段PF上一點(diǎn)，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ.在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK⊥PF時(shí)，請(qǐng)直接寫出PQBC的值．

2.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長(zhǎng)EF交CD邊于G點(diǎn)．求證：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長(zhǎng)EF交BC邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)H，且FH=CH，求AE的長(zhǎng)．

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點(diǎn)，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點(diǎn)P，求PC的長(zhǎng)．

3.(2022·重慶市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．

(1)如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且GF的延長(zhǎng)線過點(diǎn)B，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長(zhǎng)；

(2)如圖2，EF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求證：AM+AF=2AE；

(3)如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE，H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH，連接B'G，直接寫出線段4.(2021·四川省達(dá)州市)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，則DECF的值為______；

(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，則CEBD的值為______；

【類比探究】

(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DE?AB=CF?AD；

【拓展延伸】

(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△CBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．

①求DECF的值；

②連接5.(2020·湖北省宜昌市)菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，0°<∠ABO≤60°，點(diǎn)G是射線OD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作GE//DC交射線OC于點(diǎn)E，以O(shè)E，OG為鄰邊作矩形EOGF．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，求證：DF=FC；

(2)若延長(zhǎng)AD與邊GF交于點(diǎn)H，將△GDH沿直線AD翻折180°得到△MDH．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EG上時(shí)，求證：四邊形EOGF為正方形；

②如圖3，當(dāng)tan∠ABO為定值m時(shí)，設(shè)DG=k?DO，k為大于0的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)k>2時(shí)，點(diǎn)M在矩形EOGF的外部，求m的值．6.（2021·山西中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．7.（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．8.（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．9.（2021·浙江中考真題）（推理）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是