高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)五年級(jí)含詳解答案第10講：幾何計(jì)數(shù)

第10講：幾何計(jì)數(shù)

內(nèi)容概述

合理使用各種已學(xué)的計(jì)數(shù)方法來解決幾何計(jì)數(shù)問題；學(xué)會(huì)利用圖形的位置和形狀進(jìn)行恰當(dāng)?shù)?/p>

分類；掌握方格表中長方形個(gè)數(shù)的計(jì)算方法；注意利用圖形的對(duì)稱性來簡化計(jì)算。

典型問題

興趣篇

1.如圖10-1,線段A8、BC、CD、DE'的長度都是3厘米。請(qǐng)問：圖中一共有多少條線段?

這些線段的長度之和是多少厘米？

3厘米3厘米3厘米3厘米

BCDE

圖10-1圖10-2

2.小明把巧克力棒擺成了如圖10-2所示的形狀，其中每一條小短邊代表一個(gè)巧克力棒。請(qǐng)

問：

(1)一共有多少個(gè)巧克力棒？

(2)這些巧克力棒共構(gòu)成了多少個(gè)三角形？

(3)嘴饞的小明吃掉一個(gè)巧克力棒后(圖中兩端帶有小箭頭的小邊)，剩下的圖形中還有多

少個(gè)三角形？

3.如圖10-3,它是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形，基中某些相鄰的小正三角

形可以拼成較大的正三角形。圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有多少個(gè)？

4.如圖10-4和10-5,數(shù)一數(shù)，兩個(gè)圖形中分別有多少個(gè)三角形？

5.如圖10-6,在一個(gè)4*4的方格表中，共有多少個(gè)正方形?

圖10-6圖10-7

6.如圖10-7,數(shù)一數(shù)圖中共有多少線線段？多少個(gè)矩形?

7.如圖10-8,AB.CD、EF、MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少？

8.如圖10-9,125個(gè)黑色與白色小立方體相間排列拼成了一個(gè)大立方體，其中露在表面上的

黑色小立方體有多少個(gè)？

9如圖10-10,木板上釘著12枚釘子，排成三行四列的長方陣。用橡皮筋一共可以套出多少

個(gè)不同的三角形？

10.如圖10-11,在2x3的長方形中，每個(gè)小正方形的面積都1。請(qǐng)問：AB、C、D、E、尸、G

為頂點(diǎn)且面積為1的三角形共有多少個(gè)？

拓展篇

1.如圖10-12,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)三角形?

2.如圖10-13,數(shù)一數(shù)下面的三個(gè)圖形中分別有多少個(gè)三角形。

3.如圖10-14,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)三角形?

圖10-15

4.如圖10-15,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)長方形？（正方形是一種特殊的長方形）

DA

5.如圖10-16,四條邊長度都相等的四邊形稱為菱形。用16個(gè)同樣大小的菱形組成如圖的一

個(gè)大菱形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)菱形？

6.如圖10-17,這是一個(gè)長為9,寬為4的網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)正方形。請(qǐng)問:

(1)從中可以數(shù)出多個(gè)長方形？

(2)從中可以數(shù)出包含黑點(diǎn)的長方形有多少個(gè)？

7.如圖10-18,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)長方形?

圖10-19

8.如圖10-19,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)平行四邊形？

C

DB

9.如圖10-20,18個(gè)大小相同的小正三角形拼成了一個(gè)平行四邊形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少

個(gè)梯形？

10.如圖10-21,方格紙上放了20枚棋子，以這些棋子為頂點(diǎn)，可以連出多少個(gè)正方形？

11.一個(gè)平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個(gè)圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-22中，共有多少個(gè)不同的曲邊形？

12.如圖10-23,一個(gè)2x3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的面積都是1。以這些格點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以

連成多少個(gè)面積為1的三角形？

超越篇

1.圖10-24是一個(gè)等邊三角形的點(diǎn)陣。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫出多少個(gè)等腰三角形(包括

等邊三角形)？

2.如圖10-25,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角形？

圖10-24

3.如圖10-26,這是一個(gè)4x8的矩形網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)小正方形。請(qǐng)問:

(1)包含有兩個(gè)“★”的矩形共有多少個(gè)？

(2)至少包含一個(gè)“★”的矩形有多少個(gè)？

4.如圖10-27,在圖中的3x3正方形格子中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)。例如：A,B,C這3個(gè)點(diǎn)

都是格點(diǎn)。那么，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，且完全覆蓋了陰影部分小方格的三角形共有多少個(gè)？

5.如圖10-28,用12個(gè)點(diǎn)將圓周12等分。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的梯形共有多少個(gè)?

6.一個(gè)平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個(gè)圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-29中，共有多少個(gè)不同的曲邊形？

圖10-29圖10-30

7.如圖10-30,木板上釘著16枚釘子，排成四行四列的方陣。用橡皮筋一共可以套出多少個(gè)

不同的等腰三角形？

8.如圖10-31,在3x3的方格表內(nèi)，每個(gè)小正方形的面積為1。請(qǐng)問:

(1)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)共可以連出多少個(gè)面積為4的三角形？

(2)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)共可以連出多少個(gè)面積為3的三角形？

⑶以格點(diǎn)為頂點(diǎn)共可以連出多少個(gè)面積為1.5的三角形？

圖10-31

第10講：幾何計(jì)數(shù)

內(nèi)容概述

合理使用各種已學(xué)的計(jì)數(shù)方法來解決幾何計(jì)數(shù)問題；學(xué)會(huì)利用圖形的位置和形狀進(jìn)行恰當(dāng)?shù)?/p>

分類；掌握方格表中長方形個(gè)數(shù)的計(jì)算方法；注意利用圖形的對(duì)稱性來簡化計(jì)算。

典型問題

興趣篇

1.如圖10-1,線段⑷?、BC、CD、￡>￡:的長度都是3厘米。請(qǐng)問：圖中一共有多少條線段？

這些線段的長度之和是多少厘米？

3厘米3厘米3厘米3厘米

RCDE

圖10-1圖10-2

【詳解】圖中一共有C；=10條線段。長度之和為（4xl+3x2+2x3+lx4）x3=60厘米。

2.小明把巧克力棒擺成了如圖10-2所示的形狀，其中每一條小短邊代表一個(gè)巧克力棒。請(qǐng)

問：

（1）一共有多少個(gè)巧克力棒？

（2）這些巧克力棒共構(gòu)成了多少個(gè)三角形？

（3）嘴饞的小明吃掉一個(gè)巧克力棒后（圖中兩端帶有小箭頭的小邊），剩下的圖形中還有多

少個(gè)三角形？

【詳解】（1）一共有30個(gè)巧克力棒；（2）由1個(gè)三角形組成的有16個(gè)三角形，由4個(gè)三南

形組成的有7個(gè)三角形，由9三角形組成的有3個(gè)三角形，由16個(gè)三角形組成的三

角形有1個(gè)。所以總共有16+7+3+1=27個(gè)。（3）一共有5個(gè)三角形的邊用到了這

根巧克力棒，所以剩下的圖形中還有27-5=22個(gè)三角形。

3.如圖10-3,它是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形，基中某些相鄰的小正三角

形可以拼成較大的正三角形。圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有多少個(gè)？

【詳解】只觀察包含“*”的各種大小的正三角形。由1個(gè)三角形組成的有1個(gè)，由4個(gè)三角

形組成的有4個(gè)，由9個(gè)三角形組成的有1個(gè)。那么總共有1+4+1=6個(gè)。

4.如圖104和10-5,數(shù)一數(shù)，兩個(gè)圖形中分別有多少個(gè)三角形？

【詳解】圖10-4中不包含中間的線的有5個(gè)三角形，加上中間那條線多了7個(gè)三角形，所

以一共5+7=12個(gè)。圖10-5中先觀察形如下圖1的形狀的三角形有5個(gè)，總共是

5x4=20個(gè)，再數(shù)該形狀之間的交叉的三角形有4個(gè)，再數(shù)下圖2的三角形有4個(gè)，

再教它們互相交叉的三角形有4個(gè)，所以總共有20+4+4+4=32個(gè)。

5.如圖10-6,在一個(gè)4x4的方格表中，共有多少個(gè)正方形?

圖10-6圖10-7

【詳解】先數(shù)面積為1的有16個(gè)，再數(shù)面積為4的有9個(gè)，再數(shù)面積為9的有4個(gè)，再數(shù)

面積為16的有1個(gè)，總共有16+9+4+1=30個(gè)。

6.如圖10-7,數(shù)一數(shù)圖中共有多少線線段？多少個(gè)矩形？

【詳解】線段：水平方向有4xC；=40條線段，豎直方向有5xC：=30條線段，總共有

40+30=70條線段。矩形：水平方向選兩條線，豎直方向選兩條線即可以組成矩形

共有C；C：=60個(gè)矩形。

7.如圖10-8,AB.CD、EF、MV互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少？

【詳解】梯形的個(gè)數(shù)為=60個(gè)，三角形的個(gè)數(shù)為4xC；=40個(gè)，它們的差為20個(gè)。

8.如圖10-9,125個(gè)黑色與白色小立方體相間排列拼成了一個(gè)大立方體，其中露在表面上的

黑色小立方體有多少個(gè)？

【詳解】每條棱上都有兩個(gè)小立方體共12條棱,一共有2x12=24個(gè)，每一個(gè)面上除了棱

有4個(gè)小立方體，一共有4x6=24個(gè)?？偣灿?4+24=48個(gè)。

圖10-9圖10-10

9如圖10-10,木板上釘著12枚釘子，排成三行四列的長方陣。用橡皮筋一共可以套出多少

個(gè)不同的三角形？

【詳解】從12個(gè)釘子中選擇3個(gè)釘子組成三角形，一共有=220個(gè)，但是有3個(gè)點(diǎn)在同

一條直線上的情況，需要排除，水平方向共有3xC：=12個(gè)，豎直方向有1x4=4個(gè),

斜著有4個(gè)，這樣的話總共有220-12-4-4=200個(gè)。

10.如圖10-11,在2x3的長方形中，每個(gè)小正方形的面積都1。請(qǐng)問：A、B、C、￡＞、E、F、G

為頂點(diǎn)且面積為1的三角形共有多少個(gè)？

【詳解】有底為1,高為2的三角形有：

ADEA,拉)EB,AEFRNEFB,AFG4,"GB;MBZ),AABF,AA5G

底為2,高為I的三角形有：ADFC,AEGC。此外還有ABCfAACG。一共14個(gè)。

拓展篇

1.如圖10-12,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)三角形?

【詳解】先數(shù)由1個(gè)三角形組成的三角形一共25個(gè)，再數(shù)由4個(gè)三角形組成的大三角形一

共13個(gè)，再數(shù)由9個(gè)三角形組成的大三角形一共6個(gè)，再數(shù)由16個(gè)三角形組成的大

三角形一共3個(gè)，再數(shù)由25個(gè)三角形組成的大三角形一共1個(gè)。所以一共有

25+13+6+3+1=4>個(gè)三角形。

2.如圖10-13,數(shù)--數(shù)下面的三個(gè)圖形中分別有多少個(gè)三角形。

【詳解】（1）圖中有兩個(gè)五邊形，對(duì)于外圍的五邊形，三角形三個(gè)頂點(diǎn)全在外圍五邊形上的

三角形一共有=10個(gè)。再看內(nèi)部的五邊形，組成的三角形中其中一個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)部

五邊形頂點(diǎn)上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在外圍五邊形上的三角形一共有4*5=20個(gè)。還有5個(gè)

三角形屬于有兩個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)部五邊形上，另一個(gè)頂點(diǎn)在外圍五邊形上。這樣一共有

10+20+5=35個(gè)。（2）包含少的那一條線段的三角形的個(gè)數(shù)一共有6個(gè)，這樣的話

三角形的總數(shù)為35-6=29個(gè)。（3）包含新加線段的三角形左邊右邊各6個(gè)，所以

一共有三角形35+2x6=47個(gè)。

3.如圖10-14,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)三角形？

【詳解】如上題，本題應(yīng)該有35x2=70個(gè)，但是內(nèi)部五邊形中每一條線又與外部五邊形連

接著3個(gè)三角形，這樣的話多出3x5=15個(gè)三角形。一共70+15=85個(gè)三南形。

4.如圖10-15,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)長方形？（正方形是一種特殊的長方形）

【詳解】諸如像和的長方形一共有12個(gè)，再算上底下的長方形一共有15個(gè)

長方形，但是還有兩個(gè)長方形如下圖長方形43CD和長方形A3FE。一共17個(gè)

ED

5.如圖10-16,四條邊長度都相等的四邊形稱為菱形。用16個(gè)同樣大小的菱形組成如圖的一

個(gè)大菱形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)菱形？

【詳解】把這個(gè)圖扶正了就相當(dāng)于數(shù)一數(shù)有多少個(gè)正方形，先數(shù)一個(gè)小正方形組成的，共

16個(gè)，再數(shù)4個(gè)小正方形組成的，共9個(gè)，再數(shù)9個(gè)小正方形組成的，共4個(gè)，最

后數(shù)16個(gè)小正方形組成的，共1個(gè)。加起來，一共30個(gè)。

6.如圖10-17,這是一個(gè)長為9,寬為4的網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)正方形。請(qǐng)問：

（1）從中可以數(shù)出多個(gè)長方形？

（2）從中可以數(shù)出包含黑點(diǎn)的長方形有多少個(gè)？

【詳解】（1）兩條水平線和兩條豎直的線組成一個(gè)長方形，這樣的話就從10條豎直的線中

取兩條，從5條水平的線中取兩條即可，即CjxC；=450個(gè)。（2）同樣的道理，兩

條豎直的線應(yīng)該為黑點(diǎn)左邊一條，黑點(diǎn)右邊一條；兩條水平的線應(yīng)該為黑點(diǎn)上邊一

條，黑點(diǎn)下邊一條，即=144個(gè)含黑點(diǎn)的長方形。

7.如圖10-18,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)長方形?

圖10-19

【詳解】如圖，下方陰影部分中一共有長方形C：xC：=90個(gè)；右方的陰影中一共有長方形

C；xC；=63個(gè)。其中右下方3x2長方形中的長方形被重復(fù)計(jì)算了，共有C：xC；=18

個(gè)。所以圖中一共包含長方形90+63-18=135個(gè)。

8.如圖10-19,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)平行四邊形？

【詳解】首先，如下圖，平行四邊形ABCD、平行四邊形ABDE、平行四邊形AFBD是三個(gè)方

向上的平行四邊形，又因?yàn)檎麄€(gè)圖形是一個(gè)等邊三角形，由圖形的對(duì)稱性，知道

三個(gè)方向上的平行四邊形個(gè)數(shù)是相等的。

接下來，不妨取與平行四邊形ABCD方向相同的所有平行四邊形為研究對(duì)象，分別

延長其四條邊，觀察到各邊的延長線都與大等邊三角形的底邊交于一點(diǎn)?？梢钥?/p>

出，底邊上的4個(gè)點(diǎn)可以唯一地確定一個(gè)平行四邊形。同時(shí)，當(dāng)平行四邊形最靠

下的一個(gè)點(diǎn)落在等邊三角形的底邊上時(shí)，平行四邊形四條邊的延長線與三角形底

邊只有3個(gè)交點(diǎn)，也即底邊上的3個(gè)點(diǎn)同樣對(duì)應(yīng)一個(gè)平行四邊形。因此圖中與ABCD

方向相同的平行四邊形總數(shù)為：C；+C：=15（個(gè)）

因此圖中平行四邊形總數(shù)為15x3=45（個(gè)）

另一方面，我們也可以這樣考慮：

如果將大三角形再往下延長一層，那么底邊上的點(diǎn)就從5個(gè)變成6個(gè)。同時(shí)，所有

與平行四邊形ABCD方向相同的平行四邊形各邊延長線都會(huì)與新的底邊交于4個(gè)

點(diǎn)，因此，新的底邊上的四個(gè)點(diǎn)的選取方法和原圖中與平行四邊形ABCD方向相同

的平行四邊形是---對(duì)應(yīng)的。因此圖中與ABCD方向相同的平行四邊形總數(shù)為：錯(cuò)

誤!未找到引用源。（個(gè)）

9.如圖10-20,18個(gè)大小相同的小正三角形拼成了一個(gè)平行四邊形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少

個(gè)梯形？

【詳解】先把該圖形分成左右兩個(gè)完全一樣的部分，任意拿出一部分?jǐn)?shù)一數(shù)里面有多少個(gè)梯

形，我們發(fā)現(xiàn)是18個(gè)?？偣灿?8*2=36個(gè)。但是中間還有20個(gè)梯形同時(shí)覆蓋了左

右兩個(gè)部分。這樣的話總共有36+20=56個(gè)。

總共9+4+2+4+2=21個(gè)。

11.一個(gè)平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個(gè)圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-22中，共有多少個(gè)不同的曲邊形？

圖10-22圖10-23

【詳解】五角星把圓分成五段弧，所有的曲邊形按照?qǐng)A的段數(shù)分，一段弧組成的曲邊形有

5x2=10個(gè)，兩段弧組成的曲邊形有=10個(gè)，三段弧組成的曲邊形有C：=10個(gè)，

四段弧組成的曲邊形有C；=5個(gè)，五段弧組成的曲邊形有1個(gè)（圓）。綜上，總共

10x3+5+1=36個(gè)。

12.如圖10-23,一個(gè)2x3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的面積都是1。以這些格點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以

連成多少個(gè)面積為1的三角形？

【詳解】如下第一個(gè)圖，水平方向底為2,豎直方向高為1的三角形一共有4x8=32個(gè)：如

下第二個(gè)圖，水平方向高為1,豎直方向底為2的三角形一共有3x6=18個(gè)；我們

還漏了幾個(gè)，如下第三個(gè)圖水平方向底為1,豎直方向高為2而且兩條邊不在格點(diǎn)

圖上的三角形有2x6=12個(gè)：如下第四個(gè)圖豎直方向底為1,水平方向高為2而且

兩條邊不在格點(diǎn)圖上的三角形有2*4=8個(gè)。總共32+18+12+8=70個(gè)。

超越篇

1.圖10-24是一個(gè)等邊三角形的點(diǎn)陣。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫出多少個(gè)等腰三角形（包括

等邊三角形）？

【詳解】先計(jì)算腰的長為1的等腰三角形，一個(gè)菱形中有4個(gè)，一共有9個(gè)菱形，但是重復(fù)

計(jì)算了9個(gè)，一共4x9-9=27個(gè)。再計(jì)算腰長為菱形長對(duì)角線的等腰三角形，如下

圖1,一共有5個(gè)；再計(jì)算腰長為2的等腰三角形，一共有3個(gè)，再計(jì)算腰長為3

的等腰三角形，一共有1個(gè)。我們還漏了三個(gè)，如下圖2?？偣?7+5+3+1+3=39

個(gè)。

2.如圖10-25,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角形？

【詳解】如下圖1,先數(shù)出一共有21個(gè)三甬形；如下圖2,再加1條線，多增加21個(gè)三角

形；如下圖3,再加I條線，多增加12個(gè)三角形；最后再把最后一條線加上，又多

了13個(gè)三角形。則總共21+21+12+13=67個(gè)三角形。

圖10-24圖10-25

3.如圖10-26,這是一個(gè)4x8的矩形網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)小正方形。請(qǐng)問：

（1）包含有兩個(gè)“★”的矩形共有多少個(gè)？

（2）至少包含一個(gè)“★”的矩形有多少個(gè)？

【詳解】（1）按照長方形四條邊的選取來計(jì)算有cJCGC=30個(gè)。

（2）包含左邊的★的長方形有C；C：C：C：=72個(gè)，包含右邊的★的長方形有

C：C；C；C；=120個(gè)。所以至少包含一個(gè)的矩形有120+72—30=162個(gè)。

4.如圖10-27,在圖中的3x3正方形格子中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)。例如：A,氏C這3個(gè)點(diǎn)

都是格點(diǎn)。那么，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，且完全覆蓋了陰影部分小方格的三角形共有多少個(gè)？

【詳解】能覆蓋陰影部分三角形的有三種:

5.如圖10-28,用12個(gè)點(diǎn)將圓周12等分。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的梯形共有多少個(gè)？

【詳解】分兩類考慮，首先，如下左圖，連接相鄰兩點(diǎn)作為最短線段作出平行線。

這樣的話共有6條平行線，從中選2條就可以組成梯形，但是其中有3個(gè)矩形。

這樣作為一組的話一個(gè)圓上共有12個(gè)點(diǎn)，每兩個(gè)相鄰點(diǎn)就組成一組這樣的平行線，

共有6組（對(duì)稱的不算），這樣的話，共有（金-3）x6=72個(gè)：

其次，如上右圖，兩點(diǎn)相連（中間隔1點(diǎn)）作為最短線段作出平行線。

跟上一類同樣的接法，共有（《-2）x6=48個(gè)。而如果兩點(diǎn)相連（中間隔2）作為

最短線段作出平行線就與第一類情況相同。同樣的道理，隔3個(gè)點(diǎn)，隔4個(gè)點(diǎn)也

是重復(fù)情況。

綜上，總共有72+48=120個(gè)。

6.一個(gè)平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個(gè)圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-29中，共有多少個(gè)不同的曲邊形？

【詳解】(1)包含90。的弧的有：

，，，，，，

各有4個(gè),總共4*8=3'2個(gè)。

(2)包含180。的弧的有：

，，，(2

各4個(gè)，共16個(gè)

，，各2個(gè)，共6個(gè)。

(［3)包含270。的弧的二有：

,、一--/各4個(gè)，共8個(gè)

(4)包含360。的弧的有1個(gè)。

所以一共32+16+6+8+1=63個(gè)。

???

???

???

???

圖10-29圖10-30

7.如圖10-30,木板上釘著16枚釘子，排成四行四列的方陣.用橡皮筋一共可以套出多少個(gè)

不同的等腰三角形？

這樣的等腰三角形有9x4=36個(gè);

這樣的等腰三角形有24個(gè);

這樣的等腰三角形有16個(gè);