高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題：空間向量與立體幾何

高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題：空間向量與立體幾何

【】對于高中學(xué)生的我們，數(shù)學(xué)在生活中，考試科目里

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與立體幾何希望此文能給您帶來幫助。

本文題目：高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題：空間向量與立體幾何

空間向量與立體幾何

1.如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的菱

形，，，側(cè)棱,棱AA1與底面所成的角為，點(diǎn)F為DC1

的中點(diǎn).

(I)證明：OF〃平面;

(II)求三棱錐的體積.

2.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是

上任意一點(diǎn).

(1)求證：；

(2)當(dāng)面積的最小值是9時，證明平面.

3.如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，

PD平面ABCD,E、F分別是PB、AD的中點(diǎn)，PD=2.

⑴求證：BC

⑵求證：EF//平面PDC;

⑶求三棱錐BAEF的體積。

4.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左

視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角

梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積；

(II)求證：EM〃平面ABC;

5.如圖，AC是圓0的直徑，點(diǎn)B在圓0上，,交AC于

點(diǎn)M,平面，，AC=4,EA=3,FC=1.

(IM正明：EM

(II)求平面BEF與平面ABC所成的二面角的余弦值.

6.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，.

(1)求證：；

(2)設(shè)點(diǎn)在棱上，，若〃平面，求的值.

,為的中點(diǎn).

(I)求證：平面；

(II)求點(diǎn)到面的距離.

9.在三棱錐P-ABC中，APAC和4PBC都是邊長為2的等邊

三角形，AB=2,0,D分另U是AB,PB的中點(diǎn).

⑴求證:0D〃平面PAC;

⑵求證：P0平面ABC;

(3)求三棱錐P-ABC的體積.

11如圖所示，三棱柱中，，平面平面，

又，與相交于點(diǎn).

(I)求證：平面；

(II)求與平面所成角的正弦值；

12.如圖所示，直角梯形與等腰直角所在平面互相垂直，

為的中

點(diǎn)，，〃，.[

(I)求證：平面平面；來

(II)求證：〃平面；

(III)求四面體的體積.

13.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、

左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直

角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積；

(II)求證：EM〃平面ABC;

15.如圖所示，四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方

形，PA面ABCD,PA=2,過點(diǎn)A作AEPB,AFPC,連接EF.

(1)求證：PC面AEF；

⑵若面AEF交側(cè)棱PD于點(diǎn)G(圖中未標(biāo)出點(diǎn)G),求多面體

PAEFG的體積。

16.如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它

的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

(1)證明：平面；

⑵求三棱錐的體積；

⑶在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時的長.

18.

17.已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三

角形，平面平面，分別是的中點(diǎn).

(I)求平面平面；

(II)若是線段上一點(diǎn)，求三棱錐的體積.

18.如圖，在梯形中，

四邊形為矩形，平面平面，

(I)求證：平面；

(II)設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，

求二面角的余弦值.

19.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,.

(I)求證：BE//平面ADF；

(II)若矩形ABCD的一個邊AB二，EF二，則另一邊BC的長

為何值時，三棱錐F-BDE的體積為？

21.已知正四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，

高為.M為線段PC的中點(diǎn).

(I)求證：PA〃平面MDB;

(II)N為AP的中點(diǎn)，求CN與平面MBD所成角的正切值.

22.如圖，已知直四棱柱，底面為菱形，，

為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(I)求證：〃平面；

(II)當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r，平面，

并說明理由.

23.如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.

⑴證明：平面AB1C平面A1BC1;

(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B〃平面B1CD,求A1D：DC1

的值.

24.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是

上任意一■點(diǎn)。

⑴求證：；

⑵當(dāng)面積的最小值是9時，在線段上是否存在點(diǎn)，使與

平面所成角的正切值為2?若存在？求出的值，若不存在，

請說明理由

25.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是

上任意一■點(diǎn)。

⑴求證：；

⑵當(dāng)面積的最小值是9時，在線段上是否存在點(diǎn)，使與

平面所成角的正切值為2?若存在？求出的值，若不存在，

請說明理由

26.

如圖：在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,沿對角線BD把AABD

折起，使A移到A1點(diǎn)，過點(diǎn)A1作A10平面BCD,垂足。恰

好落在CD上.

⑴求證：BC

⑵求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值.

27.如圖的幾何體中，平面，平面，△為等邊三角形，，

為的中點(diǎn).

⑴求證：平面；

⑵求證：平面平面.

28一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.

⑴請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；

(2)證明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E,判斷DE是否

平行于平面AB1C1,并證明你的結(jié)論.

29.一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.

⑴請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；

(2)證明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E,判斷DE是否

平行于平面AB1C1,并證明你的結(jié)論.

30.如圖，已知矩形的邊與正方形所在平面垂直，，，

是線段的中點(diǎn)。

(1)求異面直線與直線所成的角的大小；

⑵求多面體的表面積。

31.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD,ABAD,點(diǎn)E在

線段AD上，且CE〃AB。

⑴求證：CE平面PAD；

⑵若PA二AB=1,AD=3,CD=,CDA=45,求四棱錐P-ABCD的

體積

32.如下圖(圖1)等腰梯形PBCD,A為PD上一點(diǎn)，且ABPD,

AB=BC,AD=2BC,沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為的二面

角，連結(jié)PC、PD,在AD上取一點(diǎn)E使得3AE=ED,連結(jié)PE

得到如下圖(圖2)的一個幾何體.

⑴求證：平面PAB平面PCD；

⑵求PE與平面PBC所成角的正弦值.

33.如圖，在直三棱柱中，90,,是的中點(diǎn).

(I)求異面直線與所成的角；

(II)若為上一點(diǎn)，且，求二面角的大小.

解法一：

(I)異面直線與所成的角為.6分

(II)所求二面角為.

34.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是

上任意一■點(diǎn)。

⑴求證：；

⑵當(dāng)面積的最小值是9時，在線段上是否存在點(diǎn)，使與

平面所成角的正切值為2?若存在？求出的值，若不存在，

請說明理由

35.如圖，PA平面ABCD,ABCD是矩

形，PA=AB=1,，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC

上移動。

⑴求三棱錐E-PAD的體積；

⑵當(dāng)E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時，試判斷EF與平面PAC的

位置關(guān)系，并說明理由；

(3)證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEAF。

36.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD上平面ABCD,AB〃DC,

△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8,AB二2DC二。

(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD；

(II)求三棱錐CPAB的體積

答案

1.如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的菱

形，，，側(cè)棱,棱AA1與底面所成的角為，點(diǎn)F為DC1

的中點(diǎn).

⑴證明：OF//平面；

(II)求三棱錐的體積.

解：(I)四邊形ABCD為菱形且，

是的中點(diǎn)........................2分

又點(diǎn)F為的中點(diǎn)，在

中，，.......................................4分

平面，平面，平面..........6分

(II)四邊形ABCD為菱形，

,又，

且平面，

平面，

平面，

平面平面..........................8分

在平面內(nèi)過作，則，

是與底面所成的

角，.....................................10分

在，

故三棱錐底面上的高為，又，

所以，三棱錐的體積.

2.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是

上任意一■點(diǎn).

(1)求證：；

(2)當(dāng)面積的最小值是9時，證明平面.

.解：(1)證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)。因為四邊形是

菱形，

所以。又因為平面，平面

為上任意一點(diǎn)，平面，所以----------------------------

----------7分

⑵連.由(I),知平面，平面，所以.

在面積最小時，最小，則.

,解得--------------------10分

由且得平面則，

又由得，而，故平面--

3.如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，

PD平面ABCD,E、F分別是PB、AD的中點(diǎn)，PD=2.

⑴求證：BC

⑵求證：EF//平面PDC;

⑶求三棱錐BAEF的體積。

解證：（I）???四邊形ABCD是正方形

BCDC

又PD面ABCD,BC面ABCD

BCPD,又PDDC=D

BC面PDC從而BCPC---------------------------------4分

（II）取PC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,GD,則

四邊形EFGD是平行四邊形。EF//GD,

又

EF//平面PDC.----------------------------------8分

（川）取8。中點(diǎn)0,連接E0,則E0//PD,

PD平面ABCD,E0底面ABCD,

------------12分

4.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左

視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角

梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積；

(II)求證：EM〃平面ABC;

(I)VEA平面ABC,EAAB,又ABAC,AB平面ACDE

6分

TM為BD的中點(diǎn)，MG〃CD且MG=12CD,于是MG〃AE,且

MG=AE,

所以四邊形AGME為平行四邊形，EM〃AG,EM〃平面ABC

5.如圖，AC是圓0的直徑，點(diǎn)B在圓0上，,交AC于

點(diǎn)M,平面，，AC=4,EA=3,FC=1.

(IM正明：EM

(II)求平面BEF與平面ABC所成的二面角的余弦值.

,即(也可由勾股定理證得).

,平面.

而平面，

.6分

⑵延長交于，連，過作，連結(jié).

由⑴知平面，平面，

而，平面.

平面，

為平面與平面所成的

二面角的平面角.8分

在中，，，

由，得.

,貝U.

是等腰直角三角形，.

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

6.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，.

⑴求證：；

(2)設(shè)點(diǎn)在棱上，,若〃平面,求的值.

(1)證明：由題意知則

-------------6分

⑵過作//交于連結(jié)，

//,〃平面.

又丁〃平面，平面〃平面，〃.

又丁

,即一

7.圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的菱

形，，，側(cè)棱,棱AA1與底面所成的角為，點(diǎn)F為DC1

的中點(diǎn).

(I)證明：OF//平面;

(II)求三棱錐的體積.

解：(I)四邊形ABCD為菱形且，

是的中點(diǎn)......................2分

又點(diǎn)F為的中點(diǎn)，在

中，，.......................................4分

平面，平面，平面..........6分

(II)四邊形ABCD為菱形，

,又，

且平面，

平面，

平面，

平面平面..........................8分

在平面內(nèi)過作，則，

是與底面所成的

角，.....................................10分

在，

故三棱錐底面上的高為，又，

所以，三棱錐的體積

8.已知四棱錐的底面為菱形，且，

,為的中點(diǎn).

(I)求證：平面；

(II)求點(diǎn)到面的距離.

(I)證明：連接

為等腰直角三角形

為的中點(diǎn)

2分

又

是等邊三角形

,4分

又

,即

6分

(II)設(shè)點(diǎn)到面的距離為

8分

,到面的距離

10分

點(diǎn)到面的距離為

9.在三棱錐P-ABC中，APAC和4PBC都是邊長為2的等邊

三角形，AB=2,0,D分別是AB,PB的中點(diǎn).

⑴求證:0D〃平面PAC;

⑵求證:P0平面ABC;

⑶求三棱錐P-ABC的體積.

(1)分別為的中點(diǎn)，〃

又平面，平面

〃平面.4分

⑵如圖，連結(jié)

,為中點(diǎn)，，

同理，，.6分

又，，.

平面.8分

⑶由⑵可知垂直平面

為三棱錐的高，且

11如圖所示，三棱柱中，，平面平面，

又，與相交于點(diǎn).

(I)求證：平面；

(II)求與平面所成角的正弦值；

【解】(I)由題知，，

所以為正三角形，所以,1分［

又因為，且

所以為正三角形，2分

又平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn),

所以3分

又平面平面，且平面平面，4分

且平面5分

所以平面6分

(II)K解法一X連結(jié)交于，取中點(diǎn)，連結(jié)一

則，又平面

所以平面，，7分

所以直線與平面所成角為.8分

而在等邊中，，所以，，

同理可知，，

在中，10分

所以中，，.

所以與平面所成角的正弦值為.12分

K解法二不由于，平面，所以平面，7分

所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，

由平面，所以到平面的距離即，8分

也所以與平面所成角的正弦值為，9分

而在等邊中，，所以，

同理可知，，所以，10分

又易證平面，所以，

也所以，11分

所以

即與平面所成南的正弦值為.

12.如圖所示，直角梯形與等腰直角所在平面互相垂直,

為的中

點(diǎn)，，〃，.[

(I)求證：平面平面；

(II)求證：〃平面；

(III)求四面體的體積.

解：(I),.?面面，面面，，

面,2分

又二面，平面平面.4分

(II)取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，

又「，，6分

四邊形是平行四邊形，〃，

又丁面且面，〃面.8分

(III)二?，面面二，面.

就是四面體的高，且二2.10分

二=2二2,//,

13.如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、

左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直

角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。

(I)求該幾何體的體積；

(II)求證：EM〃平面ABC;

(I)VEA平面ABC,EAAB,又ABAC,AB平面ACDE

6分

?.?M為BD的中點(diǎn)，MG〃CD且MG=12CD,于是MG〃AE,且

MG=AE,

所以四邊形AGME為平行四邊形，EM〃AG,EM〃平面ABC.19.

(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.(I)求證：

平面

(II)若求與所成角的余弦值；

(III)當(dāng)平面與平面垂直時，求的長.

證明：(I)因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.

又因為PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.

(11)設(shè)ACBD=O.因為BAD=60,PA=PB=2,所以B0=1,A0=C0=.

如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則

P(0,,2),A(0,,0),B(1,0,0),C(0,,0).

所以

設(shè)PB與AC所成角為,則.

(III)由(II)知設(shè)P(0,-,t)(t0),則

設(shè)平面PBC的法向量，則

所以令則所以

同理，平面PDC的法向量

因為平面PCB平面PDC,所以二0,即解得所以PA二

EF=SE=(10分)

15.如圖所示，四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方

形，PA面ABCD,PA=2,過點(diǎn)A作AEPB,AFPC,連接EF.

(1)求證：PC面AEF；

⑵若面AEF交側(cè)棱PD于點(diǎn)G(圖中未標(biāo)出點(diǎn)G),求多面體

PAEFG的體積。

解析：(1)證明：PA面ABCD,BC在面內(nèi)，PABC

BABC,BCBA=B,BC面PAB,又TAE在面PAB內(nèi)BCAE

AEPB,BCPB=B,,AE面PBC又?.'PC在面PBC內(nèi)AEPC,AEPC,

AEAF=A,PC面AEF.5分

(2)PC面AEF,AGPC,AGDCPCDC=CAG面PDC,VGF在面PDC

內(nèi)AGGFZiAGF是直角三角形，由⑴可知4AEF是直角三角

形，AE=AG=,EF=GF=,又AF二，PF二，

16.如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它

的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

⑴證明：平面；

⑵求三棱錐的體積；

⑶在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時的長.

18.

解：(1)因為平面，所以，

又，所以平面，所以.

由三視圖可得，在中，，為中點(diǎn)，所以，

所以平面，4分

(2)由三視圖可得,

由(1)知，平面,

又三棱錐的體積即為三棱錐的體積，

所以，所求三棱錐的體積.8分

⑶取的中點(diǎn)，連接并延長至，使得，點(diǎn)即為所求.

因為為中點(diǎn)，所以，

因為平面，平面，所以平面，

連接，，四邊形的對角線互相平分，

所以為平行四邊形，所以，又平面，

所以在直角中，.12分

17.已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三

角形，平面平面，分別是的中點(diǎn).

(I)求平面平面；

(II)若是線段上一點(diǎn)，求三棱錐的體積.

(I)證■明：，

平面PAD,(6分)

VEF//CD,平面PAD,

平面EFG,平面EFG平面PAD；

(IDM：VCD//EF,CD//平面EFG,故CD上的點(diǎn)M到平面

EFG的距離

等于D到平面EFG的距離，,

,平面EFGH平面PAD于EH,

D到平面EFG的距離即三角形EHD的高，等于

18.如圖，在梯形中，

四邊形為矩形，平面平面，

(I)求證：平面；

(II)設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，

求二面角的余弦值.

(1)證明：

則，，則得

,面平面，

面平面

平面.7分

(II)過作交于點(diǎn)，連，

則為二面角的平面角，在中，，，則二面角的余弦值

為.

19.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,.

(I)求證:BE//平面ADF；

(II)若矩形ABCD的一個邊AB二，EF二，則另一邊BC的長

為何值時，三棱錐F-BDE的體積為?

解(I)過點(diǎn)E作CD的平行線交DF于點(diǎn)M,連接AM.

因為CE//DF,所以四邊形CEMD是平行四邊形.可得EM二CD

且EM//CD,于是四邊形BEMA也是平行四邊形，所以有

BE//AM,而直線BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF.6分

(II)由EF二，EM二AB二，得FM二3且.

由可得FD=4,從而得DE=2.8分

因為，，所以平面CDFE.

所以，.10分

因為，，所以.

綜上，當(dāng)時，三棱錐F-BDE的體積為.

20.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,.

(I)求證:BE//平面ADF；

(II)若矩形ABCD的一個邊AB二，EF二，則另一邊BC的長

為何值時，三棱錐F-BDE的體積為？

解(I)過點(diǎn)E作CD的平行線交DF于點(diǎn)M,連接AM.

因為CE//DF,所以四邊形CEMD是平行四邊形.可得EM二CD

且EM//CD,于是四邊形BEMA也是平行四邊形，所以有

BE//AM,而直線BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF.6分

(II)由EF二，EM二AB二，得FM二3且.

由可得FD=4,從而得DE=2.8分

因為，，所以平面CDFE.

所以，.10分

因為，，所以.

綜上，當(dāng)時，三棱錐F-BDE的體積為.

21.已知正四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，

高為.M為線段PC的中點(diǎn).

(I)求證：PA〃平面MDB;

(II)N為AP的中點(diǎn)，求CN與平面MBD所成角的正切值.

本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識，

同時考查空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。

(I)證明：在四棱錐P-ABCD中，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)0,連結(jié)

0M,P0.由條件可得P0=，AC=2,PA=PC=2,C0=A0=.

因為在APAC中，M為PC的中點(diǎn)，0為AC的中點(diǎn)，

所以0M為APAC的中位線，得OM〃AP,

又因為AP平面MDB,0M平面MDB,

所以PA〃平面MDB.6分

(II)解：設(shè)NCMO二E,由題意得BP二BC二2,且CPN=90.

因為M為PC的中點(diǎn)，所以PCBM,

同理PCDM,故PC平面BMD.

所以直線CN在平面BMD內(nèi)的射影為直線0M,MEC為直線CN

與平面BMD所成的角，

又因為0M〃PA,所以PNC=MEC.

在RtZ\CPN中，CP=2,NP=1,所以tanPNC二,

故直線CN與平面BMD所成角的正切值為2

22.如圖，已知直四棱柱，底面為菱形，，

為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(I)求證：〃平面；

(II)當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r，平面，

并說明理由.

(I)證明：連接，由題意可知點(diǎn)為的中點(diǎn).因為點(diǎn)為的

中點(diǎn).

在中，.2分

又面，，.6分

(II)當(dāng)時，.7分

四邊形為菱形，且，

四棱柱為直四棱柱，四邊形為矩形.

又，，

四邊形為正方形，10分

在直四棱柱中，，，

四邊形為菱形，.

,，又，.13分

23.如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.

⑴證明：平面AB1C平面A1BC1;

⑵設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B〃平面B1CD,求A1D：DC1

的值.

解：⑴證明：因為側(cè)面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1.

又B1CA1B,且A1BBC1二B,所以B1C平面A1BC1.又B1C平面

AB1C,所以平面AB1C平面A1BC1.

(2)設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E,連結(jié)DE,則DE是平面A1BC1與平

面B1CD的交線.

因為A1B〃平面B1CD,

所以A1B〃DE.

又E是BC1的中點(diǎn),

所以D為A1C1的中點(diǎn),

即A1D：DC1=1.

24.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是

上任意一■點(diǎn)。

⑴求證：；

⑵當(dāng)面積的最小值是9時，在線段上是否存在點(diǎn)，使與

平面所成角的正切值為2?若存在？求出的值，若不存在，

請說明理由

解：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)。

因為四邊形是菱形，所以。

又因為平面，平面

為上任意一點(diǎn)，平面，所以-----------------7分

⑵連.由（I）,知平面，平面，所以.

在面積最小時，最小，則.

,解得---------------10分

由且得平面則，

又由得，而，故平面

作交于點(diǎn)，則平面，所以就是與平面所成角.

在直角三角形中，

所以，設(shè)，則。

由得。

由得，即---------------14分

25.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是

上任意一■點(diǎn)。

⑴求證：；

⑵當(dāng)面積的最小值是9時，在線段上是否存在點(diǎn)，使與

平面所成角的正切值為2?若存在？求出的值，若不存在，

請說明理由

解：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)。

因為四邊形是菱形，所以。

又因為平面，平面

為上任意一點(diǎn)，平面，所以--------------7分

⑵連.由（I）,知平面，平面，所以.

在面積最小時，最小，則.

,解得--------------10分

由且得平面則，［

又由得，而，故平面

作交于點(diǎn)，則平面，所以就是與平面所成角.

在直角三角形中，

所以，設(shè)，則。

由得。

由得，即

26.

如圖：在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,沿對角線BD把AABD

折起，使A移到A1點(diǎn)，過點(diǎn)A1作A10平面BCD,垂足。恰

好落在CD上.

（1）求證：BC

⑵求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值.

解：⑴因為A10平面BCD,BC平面BCD,BCA10,

因為BCCD,A10CD=0,BC面A1CD.

因為A1D面A1CD,BCA1D.(6分)

⑵連結(jié)B0,則A1B0是直線A1B與平面BCD所成的角.

因為A1DBC,A1DA1B,A1BBC=B,A1D面A1BC.A1C面A1BC,

A1DA1C.

在RtZkDAIC中,A1D=3,CD=5,A1C=4.

根據(jù)SZkA1CD=12A1DA1C=12A10CD,得到A10=125,

在RtAA1OB中，sinA1BO=A10A1B=1255=1225.

所以直線A1B與平面BCD所成角的正弦值為1225.(12分)

27.如圖的幾何體中，平面，平面，△為等邊三角形，，

為的中點(diǎn).

⑴求證：平面；

⑵求證：平面平面.

(1)證明：取的中點(diǎn)，連結(jié).

,/為的中點(diǎn)，且.

二?平面，平面，

，.又，.

四邊形為平行四邊形，則.

二?平面，平面，平面.7分

(2)證明：為等邊三角形，為的中點(diǎn)，

V平面，，.

，又，

平面.

?平面，平面平面.

28一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.

⑴請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；

(2)證明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E,判斷DE是否

平行于平面AB1C1,并證明你的結(jié)論.

29.一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示.

⑴請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；

(2)證明:A1C平面AB1C1;

⑶若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E,判斷DE是否

平行于平面AB1C1,并證明你的結(jié)論.

解：(1)幾何體的直觀圖如圖.

四邊形BB1C1C是矩形，BB1=CC1=3,BC=1,四邊形AA1C1C

是邊長為3的正方形，且垂直于底面BB1C1C,其體積

V=12133=324分

⑵證明：VACB=90,BCAC.

;三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，BCCC1.

VACCC1=C,BC平面ACC1A1,

BCA1C.VB1C1/7BC,B1C1A1C.

???四邊形ACC1A1為正方形，A1CAC1.

VB1C1AC1=C1,

A1C平面AB1C1.8分

⑶當(dāng)E為棱AB的中點(diǎn)時，

DE〃平面AB1C1.

證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,FD,DE,

VD,E,F分別為CC1,AB,BB1的中點(diǎn),EF〃AB1.

〈ABI平面AB1C1,EF平面AB1C1,

EF〃平面AB1C1.

同理可得FD〃平面AB1C1,

又EFFD=F,平面DEF〃平面AB1C1.

而DE平面DEF,DE〃平面AB1C1.12分

30.如圖，已知矩形的邊與正方形所在平面垂直，，，

是線段的中點(diǎn)。

（1）求異面直線與直線所成的角的大小；

⑵求多面體的表面積。

解：（1）因為，所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)

角），2分

連結(jié)，在中，所以，

又，所以，所以是等邊三角形，

5分

所以，即異面直線與所成的角為；6分

(2)8分

10分

31.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD,ABAD,點(diǎn)E在

線段AD上，且CE〃AB。

⑴求證：CE平面PAD；

⑵若PA二AB=1,AD=3,CD=,CDA=45,求四棱錐P-ABCD的

體積

【解析】（1）證明：因為PA平面ABCD,CE平面ABCD,所以

PACE,

因為ABAD,CE〃AB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.

⑵解：由⑴可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.

又因為AB=CE=1,AB#CE,所以四邊形ABCE為矩形，所以

二二,又PA平面ABCD,PA=1,

所以四棱錐P-ABCD的體積等于

32.如下圖（圖1）等腰梯形PBCD,A為PD上一點(diǎn)，且ABPD,

AB=BC,AD=2BC,沿著AB折疊使得二