湖南省名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

機(jī)密★啟用前2023年下學(xué)期高一12月聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)（）A.0 B. C.0或 D.0或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得出兩種情況，再分別檢驗(yàn)即得.【詳解】由集合，因，則或，當(dāng)時，，此時，與元素互異性矛盾，舍去；當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足．故．故選：B．2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由，得或，因此“若，則”是假命題，“若，則”是假命題，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D3.下列四個函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一次函數(shù)和冪函數(shù)等基本初等函數(shù)性質(zhì)可判斷BD，利用指數(shù)型和對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷AC，可得出結(jié)論.【詳解】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，故A錯誤；易知在上單調(diào)遞增，故B正確；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；易知在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：B.4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即．故選：D．5.近年來，“北斗”指路、“天宮”覽勝、“墨子”傳信、“嫦娥”問月……中國航天碩果累累，令國人備感自豪.這些航天器的發(fā)射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（單位：m/s），是燃料燃燒時產(chǎn)生的噴氣速度（單位：m/s），是火箭起飛時的總質(zhì)量（單位：kg），m是火箭自身的質(zhì)量（單位：kg）.小婷同學(xué)所在社團(tuán)向有關(guān)部門申請，準(zhǔn)備制作一個試驗(yàn)火箭，得到批準(zhǔn)后，她們利用的某民用燃料燃燒時產(chǎn)生的噴氣速度為50m/s，火箭自身的質(zhì)量為4kg，燃料的質(zhì)量為5kg，在不計空氣阻力等因素影響的理想狀態(tài)下發(fā)射，至燃料燃盡時，該試驗(yàn)火箭的理想速度大約為（）（，）A.40m/s B.36m/s C.78m/s D.95m/s【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件確定kg，kg，m/s，按公式直接運(yùn)算即可.【詳解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故選：A.6.已知函數(shù)，則方程在下列哪個區(qū)間上必有實(shí)數(shù)根（）A. B. C. D.不能確定【答案】B【解析】【分析】由題意，易知在上都單調(diào)遞增，進(jìn)而可判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可求解.【詳解】易知函數(shù)在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)不間斷，由零點(diǎn)的存在性定理知，函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，即方程在必有實(shí)數(shù)根．故選：B．7.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的對應(yīng)關(guān)系求出參數(shù)，再解另一個不等式即可.【詳解】由題設(shè)知方程有兩根2和3，故由韋達(dá)定理得則，因此，解得．故選：A．8.設(shè)偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，若對所有的及任意的都滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，令，列出不等式組，即可求解.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在上是增函數(shù)，且，所以的最大值為2，由對所有的及任意的都滿足，則只需，即對任意的恒成立，令，則滿足，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為D.終邊在直線上的角的集合是【答案】AC【解析】【分析】由弧度制與角度的互化可得A正確；根據(jù)象限角的定義可得B錯誤；由弧長公式可求得C正確；利用終邊相同的角的集合即可得D錯誤.【詳解】對于正確；對于：角也是第一象限角，不是銳角，錯誤；對于C：在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為正確；對于D：終邊在上的角的集合是，D錯誤.故選：AC.10.在下列四組函數(shù)中，與不表示同一函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)不表示同一函數(shù)；對于C中，的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)不是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)，兩函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，所以兩函數(shù)是同一函數(shù)．故選：ABC．11.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A. B. C.1.5 D.2.3【答案】ABC【解析】【分析】畫出圖象，不等式化為，分、和，三種情況討論，結(jié)合圖象，即可求得的取值范圍.【詳解】由函數(shù)，畫出圖象，如圖所示，又由不等式，可得，當(dāng)時，，此時不等式無解；當(dāng)時，由，可得，若不等式恰有1個整數(shù)解，則整數(shù)解為，因?yàn)椋傻?；?dāng)時，由，可得，若不等式恰有1個整數(shù)解，只需．綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：ABC．12.下列結(jié)論中正確的是（）A.若函數(shù)，且，則B.若為奇函數(shù)，則的解集為C.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，則不等式的解集是D.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的取值范圍是或【答案】AD【解析】【分析】求得，根據(jù)，可判定A正確；因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性不確定，可判定B錯誤；求得不等式的解集為，得到，可判定C錯誤；根據(jù)題意，列出不等式組，求得的范圍，可判定D正確．【詳解】對于A中，由，可得，又由，解得，所以A正確；對于B中，由為奇函數(shù)，但函數(shù)的單調(diào)性不確定，所以B錯誤；對于C中，由，可得，則，所以不等式解集為，所以C錯誤；對于D中，由定義域?yàn)?，則滿足，解得或，所以D正確．故選：AD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域是__________．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【詳解】解：函數(shù)中，令，解得，所以的定義域是，．故答案為：，．14.若，則的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，所以最大值為．故答案為：.15.若定義運(yùn)算則函數(shù)的值域是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義運(yùn)算，寫出分段函數(shù)解析式，再分段求出函數(shù)值的范圍，最后取并集即得.【詳解】依題意，由，得，由解得，因此當(dāng)時，即函數(shù)取值集合為；當(dāng)時，即函數(shù)的取值集合為.故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?16.已知在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先將分式函數(shù)用常數(shù)分離法轉(zhuǎn)化成簡分式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得．故答案：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17.求值：（1）；（2）．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】解：由指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.【小問2詳解】解：由對數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：.18.已知為銳角，且滿足.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二次方程解得，由齊次式化弦為切代入可得；（2）利用“”的變換，將式子變形為齊二次弦式再化弦為切求解即得.【小問1詳解】由，有，解得或，又由為銳角，可得，故有，則有；【小問2詳解】由，有.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域；（2）已知函數(shù)的一個零點(diǎn)為2，求函數(shù)的其余零點(diǎn)．【答案】（1）（2）0，4【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，即可求解函數(shù)的值域；（2）由題意可得，解出m，進(jìn)而得函數(shù)解析式，令，解方程即可求解.【小問1詳解】易知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，將函數(shù)圖象向右平移3個長度單位可得的圖象，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?；【小?詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)的一個零點(diǎn)為2，所以，解得．所以，令，得或，解得．所以函數(shù)的其余零點(diǎn)為0，4．20.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減．（1）求的解析式；（2）若，，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性列式求解即可；(2)根據(jù)題意分離變量得到在恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以解析式為．【小問2詳解】由，可得，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值1．所以a的取值范圍為．21.已知是一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）若兩根同號，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求使得的值為整數(shù)的整數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）一元二次方程兩個不相等的實(shí)數(shù)根．則，兩根同號則，解不等式組可得；（2）變形為，由韋達(dá)定理代入整理可得，由整數(shù)要求得，進(jìn)而求解驗(yàn)證值可解.【小問1詳解】由題意得即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，方程有兩個實(shí)數(shù)根，可知，于是，由，則，則，即要使的值為正整數(shù)，且為整數(shù)，則，則有，化簡得，則，令，此時為整數(shù)，則滿足題意．故使得的值為整數(shù)的整數(shù)的值為.22.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍．