專題06 二次函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用問題（復(fù)習(xí)講義）（原卷版）-二輪要點(diǎn)歸納與典例解析

專題06二次函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用問題復(fù)習(xí)講義【要點(diǎn)歸納|典例解析】類型一：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．二次函數(shù)的概念：一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。拋物線叫做二次函數(shù)的一般式。2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與性質(zhì)yyxO（1）對(duì)稱軸：（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（3）與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）（4）增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減??；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小。3.二次函數(shù)的解析式三種形式。（1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0).已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。（3）交點(diǎn)式已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式。4．根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號(hào)（1）a確定開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下。（2）b——對(duì)稱軸與a左同右異。（3）拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c）5．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。拋物線y=ax2+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，拋物線便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；<0時(shí)，一元二次方程有不等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。6．函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.圖像平移步驟（1）配方為：，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸，左加右減；對(duì)y軸，上加下減。7.二次函數(shù)的對(duì)稱性二次函數(shù)是軸對(duì)稱圖形，有這樣一個(gè)結(jié)論：當(dāng)橫坐標(biāo)為x1,x2其對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，那么對(duì)稱軸類型二：二次函數(shù)最值問題二次函數(shù)最值問題的重要性毋庸置疑，其貫穿了整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)必須攻克的極為重要的問題之一。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是二次函數(shù)最值問題的典型代表，其問題類型通常包括不含參數(shù)和含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值逆向性問題以及可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的問題，在此類問題的解決過程中，涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想與方法。中考中多涉及到含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，很多學(xué)生不習(xí)慣數(shù)形結(jié)合及分類討論思想的運(yùn)用，極易導(dǎo)致解題失誤或錯(cuò)誤類型一：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.（2020廣西河池）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是A． B． C． D．2.（2020年陜西省）已知拋物線，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是（）．A．B．C．D．3.（2020?呼和浩特）二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝ax+a在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．4.（2020湖北孝感中考模擬）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，反比例函數(shù)y＝eq\f(b,x)與一次函數(shù)y＝cx＋a在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖像是(),A),B),C),D)5.（2020廣西梧州）已知，關(guān)于的一元二次方程的解為，，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．6.（2020廣西賀州）已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，，正確的是（填寫序號(hào)）．7.（2020甘肅中考）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，對(duì)于下列說法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤8.(2020黑龍江大慶)如圖拋物線y＝(p>0),點(diǎn)F(0,p),直線l:y＝－p,已知拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離相等,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分別為A1,B1,連接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,則△A1OB1的面積＝______(只用a,b表示).9.（2020江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過點(diǎn)A(m，3)，B(n，3)兩點(diǎn)，若線段AB的長不大于4，則代數(shù)式a2＋a＋1的最小值是．10.（2020北京市）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)A，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B，點(diǎn)B在拋物線上．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）求拋物線的對(duì)稱軸；（3）已知點(diǎn)，．若拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．11.（2020云南中考）已知k是常數(shù)，拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的對(duì)稱軸是y軸，并且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求k的值；（2）若點(diǎn)P在物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y(tǒng)軸的距離是2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．類型二：二次函數(shù)最值問題12.（2020·樂山）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，是以點(diǎn)（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連結(jié).則線段的最大值是（）A． B． C．D．13.（2020·無錫）如圖，在中，AB=AC=5，BC=，為邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)除外)，以為一邊作正方形，連接，則面積的最大值為.14.（2020·樂山）如圖，點(diǎn)是雙曲線：（）上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線：于點(diǎn)，連結(jié)，.當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)在的上方時(shí)，△面積的最大值是.15.(2020·臺(tái)州)如圖,直線l1∥l2∥l3,A,B,C分別為直線l1,l2,l3上的動(dòng)點(diǎn),連接AB,BC,AC,線段AC交直線l2于點(diǎn)D.設(shè)直線l1,l2之間的距離為m,直線l2,l3之間的距離為n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且,則m+n的最大值為________.16.（2020·涼山）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=AB，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作PQ⊥EP，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為.17.（2020江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過點(diǎn)A(m，3)，B(n，3)兩點(diǎn)，若線段AB的長不大于4，則代數(shù)式a2＋a＋1的最小值是．18.(2020·臺(tái)州)已知函數(shù)y＝x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2,4).(1)求b,c滿足的關(guān)系式;(2)設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,n),當(dāng)b的值變化時(shí),求n關(guān)于m的函數(shù)解析式;(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,當(dāng)－5≤x≤1時(shí),函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.19.如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸交拋物線與另一個(gè)點(diǎn)D，作軸，垂足為點(diǎn)E．雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D，連接MD，BD．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點(diǎn)，當(dāng)M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長最小時(shí)，求出點(diǎn)N，F(xiàn)的坐標(biāo)；(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，的度數(shù)最大？（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）類型三：二次函數(shù)中特殊圖形存在性問題20.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝3，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M為線段BC上方拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21.如圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)是軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．求拋物線的函數(shù)表達(dá)式:若拋物線與拋物線在軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍．如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說明理由．22.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A(，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H.(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH＝HP時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)直線PF為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AQ＋EQ的最小值.23.已知拋物線與x軸分別交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖1，設(shè)，當(dāng)k為何值時(shí)，.②如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形是否與相似？若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說明理由．類型四：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用24.（2020貴州省畢節(jié)市）某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康，某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入．已知某種士特產(chǎn)每袋成本10元．試銷階段每袋的銷售價(jià)x（元）與該士特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的關(guān)系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，試求：（1）日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元25..某政府工作報(bào)告中強(qiáng)調(diào)，2020年著重推進(jìn)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，做優(yōu)做響湘蓮等特色農(nóng)產(chǎn)品品牌．小亮調(diào)查了一家湘潭特產(chǎn)店兩種湘蓮禮盒一個(gè)月的銷售情況，A種湘蓮禮盒進(jìn)價(jià)72元/盒，售價(jià)120元/盒，B種湘蓮禮盒進(jìn)價(jià)40元/盒，售價(jià)80元/盒，這兩種湘蓮禮盒這個(gè)月平均每天的銷售總額為2800元，平均每天的總利潤為1280元．（1）求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒？（2）小亮調(diào)査發(fā)現(xiàn)，種湘蓮禮盒售價(jià)每降3元可多賣1盒．若種湘蓮禮盒的售價(jià)和銷量不變，當(dāng)種湘蓮禮盒降價(jià)多少元/盒時(shí)，這