高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-探究向量關(guān)系式幾何意義先分析（含答案）

專(zhuān)題15探究向量關(guān)系式，幾何意義先分析【題型綜述】探究向量關(guān)系問(wèn)題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素向量關(guān)系存在，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化直線與圓錐曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)式，利用設(shè)而不求思想，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則向量關(guān)系存在存在；否則，向量關(guān)系不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.【典例指引】類(lèi)型一探究向量式是否為定值例1【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且＝－1(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】類(lèi)型二探究向量式是否成立例2.【2014高考湖南卷文第20題】如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.【解析】類(lèi)型三探究向量式成立的條件例3【2013年高考，天津卷理】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓的左右頂點(diǎn),是否存在過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，且,若存在，求k的值，不存在，說(shuō)明理由..【解析】類(lèi)型四利用向量探究曲線過(guò)定點(diǎn)例4.(2012福建理19)如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率。過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8。（Ⅰ）求橢圓的方程。（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)。試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由?！窘馕觥俊緮U(kuò)展鏈接】設(shè)圓錐曲線C的焦點(diǎn)F在x軸上，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，若，則.在圓錐曲線中，過(guò)焦點(diǎn)F不垂直于坐標(biāo)軸的弦為，其垂直平分線和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸交于，則.3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和（），過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則直線一定過(guò)或.4.如果平面內(nèi)有三點(diǎn)不共線，設(shè).【新題展示】1．【2019湖北恩施2月質(zhì)檢】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線：與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：存在實(shí)數(shù)，使得．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線為直線：，可求出，進(jìn)而可得拋物線方程；（2）先設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理，求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可證明結(jié)論成立．2．【2019黑龍江齊齊哈爾一模】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為3，直線與橢圓相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由！【思路引導(dǎo)】（1）由題意列出關(guān)于a，b的關(guān)系式，解得a，b即可．（2）將直線與橢圓聯(lián)立，將向量數(shù)量積的運(yùn)算用坐標(biāo)形式表示，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系確定k的取值范圍．3．【2019安徽江南十校3月檢測(cè)】設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，圓：，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸長(zhǎng)為4．平行軸的直線與橢圓和圓在軸右側(cè)的交點(diǎn)分別為，，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求得結(jié)果；（2）解法一：假設(shè)方程和坐標(biāo)，利用得到和的坐標(biāo)，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍；解法二：假設(shè)方程和坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步推導(dǎo)出坐標(biāo)，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍．4．【2019河北衡水中學(xué)摸底】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且求拋物線的方程；動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，△MNF2的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得+λ=4，求m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的焦距2c，當(dāng)y=c時(shí)，|MN|=|x1﹣x2|=，由題意得，△MNF2的面積為|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分類(lèi)討論：當(dāng)m=0時(shí)，利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性即可得出；m≠0時(shí)，直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計(jì)算即可得出．【詳細(xì)解析】2.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P（1，）是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過(guò)點(diǎn)F2，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得?=﹣恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì)得出a=c，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列方程組解出a，b得出橢圓方程；（2）設(shè)Q（m，0），討論直線l的斜率，求出A，B坐標(biāo)，列方程解出m．【詳細(xì)解析】3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F1（﹣，0），M（1，y）（y＞0）為橢圓上的一點(diǎn)，△MOF1的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)T在圓x2+y2=1上，是否存在過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線l交橢圓C于點(diǎn)B，使=（+）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由已知列式c=，，∴，得a2，b2即可；（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，=（+）=，得T（）代入圓C1，可得化為176k4﹣24k2﹣5=0可求得k．【詳細(xì)解析】4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，若，．（1）求橢圓的方程；（2）直線l過(guò)右焦點(diǎn)（不與x軸重合）且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P（x0，0），使得的值為定值？若存在，寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)（不必求出定值）；若不存在，說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的定義及勾股定理即可求得a=3，c=，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；（2）方法一：設(shè)直線l：x=my+，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，?=t則（4x02﹣36）m2+9x02﹣18x0+29=t（4m2+9），比較系數(shù)，即可求得x0=，在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P（，0），使得?的值為定值（﹣）；方法二：分類(lèi)討論，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x﹣），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，令?=t則（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18x0+29=9t且4x02﹣36=4t，即可求得x0=，此時(shí)t的值為﹣．【詳細(xì)解析】5.如圖已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N．（1）求橢圓C的方程；（2）求?的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得橢圓方程；（2）設(shè)M（m，n），由對(duì)稱(chēng)性可得N（m，﹣n），代入橢圓方程，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的二次函數(shù)，配方，結(jié)合橢圓的范圍，可得最小值，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)，可得圓的方程．【詳細(xì)解析】6.已知橢圓的離心率，以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線x+y﹣2=0相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)于直線l：y=x+m和點(diǎn)Q（0，3），橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)A與B關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，且3?=32，若存在實(shí)數(shù)m的值，若不存在，說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率，得b=c，寫(xiě)出以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程，再由點(diǎn)到直線的距離列式求得b，c的值，結(jié)合隱含條件求得a，則橢圓方程可求；（2）由題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=﹣x+n．聯(lián)立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△＞0解得n的范圍．再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線AB之中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線AB，再由點(diǎn)P在直線l上求得m的范圍，最后由3?=32求得m的值．【詳細(xì)解析】7.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，T為橢圓上一點(diǎn)，直線TA、TB的斜率之積為﹣．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的動(dòng)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，求?+?的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）求得直線TA，TB的斜率，由?=﹣，即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線PQ方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)，求函數(shù)的單調(diào)性，即可求得?+?的取值范圍．【詳細(xì)解析】8.已知拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值；（2）過(guò)A，B分別作拋物線E的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，求的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形OACB面積的最小值；（2）求導(dǎo)，利用點(diǎn)斜式方程，求得求得切線l1，l2的方程，聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得的值．【詳細(xì)解析】9.已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：+=1（a＞b＞0）有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切．（1）求m的值與橢圓E的方程；（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求?的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）先利用點(diǎn)A在圓上求出m，再利用直線PF1與圓C相切求出直線PF1與的方程以及c，再利用點(diǎn)A在橢圓上求出2a，即可求出橢圓E的方程；（2）先把用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來(lái)，再利用Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以及基本不等式即可求出的取值范圍．【詳細(xì)解析】10.若橢圓E1：與橢圓E2：滿足，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似，m叫相似比．若橢圓M1與橢圓相似且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）作斜率不為零的直線l與橢圓M1交于不同兩點(diǎn)A、B，F(xiàn)為橢圓M1的右焦點(diǎn)，直線AF、BF分別交橢圓M1于點(diǎn)G、H，設(shè)，，求λ1+λ2的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由“橢圓相似”的性質(zhì)分析可得，，解可得a2、b2的值，代入橢圓的方程即可得答案；（2）設(shè)直線l的斜率為k，以及A、B、G、H的坐標(biāo)，可以表示、的坐標(biāo)，分“AG與x軸不垂直”和“AG與x軸垂直”兩種情況，求出直線AG的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系的分析可得λ1+λ2范圍，即可得答案．【詳細(xì)解析】11.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓F1、F2，M是C上一點(diǎn)，|MF1|=2，且||||=2．（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A、B時(shí)，線段AB上取點(diǎn)Q，且Q滿足||||=||||，證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線的方程．【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得a=2c，且∠F1MF2=60°，由余弦定理求出c=1，即可求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓C的方程可求；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+（1﹣4k），代入橢圓方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知向量等式即可證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線方程．【詳細(xì)解析】12.如圖，橢圓E：，點(diǎn)P（0，1）在短軸CD上，且（1）求橢圓E的方程及離心率；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由已知可得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（0，﹣b），（0，b）．結(jié)合?=﹣2列式求得b，則橢圓方程可求，進(jìn)一步求出c可得橢圓的離心率；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，B橫坐標(biāo)的和與積?+λ?，可知當(dāng)λ=2時(shí)，?+λ?=﹣7為定值．當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，仍有?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7，故存在常數(shù)λ=2，使得?+λ?為定值﹣7．【詳細(xì)解析】【題型綜述】探究向量關(guān)系問(wèn)題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素向量關(guān)系存在，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化直線與圓錐曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)式，利用設(shè)而不求思想，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則向量關(guān)系存在存在；否則，向量關(guān)系不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.【典例指引】類(lèi)型一探究向量式是否為定值例1【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且＝－1(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.類(lèi)型二探究向量式是否成立例2.【2014高考湖南卷文第20題】如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.是,聯(lián)立直線與橢圓可得,因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),所以,化簡(jiǎn)可得,因此,于是,即,所以,綜上不存在符合題目條件的直線.學(xué)&科網(wǎng)類(lèi)型三探究向量式成立的條件例3【2013年高考，天津卷理】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓的左右頂點(diǎn),是否存在過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，且,若存在，求k的值，不存在，說(shuō)明理由..=，由已知得=8，解得.學(xué)&科網(wǎng)類(lèi)型四利用向量探究曲線過(guò)定點(diǎn)例4.(2012福建理19)如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率。過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8。（Ⅰ）求橢圓的方程。（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)。試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。(法3)由得，∵動(dòng)直線與橢圓有且只要一個(gè)交點(diǎn)，∴且△=0，即，化簡(jiǎn)得①此時(shí)==，==，∴(,),由得(4，).學(xué)&科網(wǎng)假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由圖形對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)必在軸上,【擴(kuò)展鏈接】設(shè)圓錐曲線C的焦點(diǎn)F在x軸上，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，若，則.在圓錐曲線中，過(guò)焦點(diǎn)F不垂直于坐標(biāo)軸的弦為，其垂直平分線和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸交于，則.3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和（），過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則直線一定過(guò)或.4.如果平面內(nèi)有三點(diǎn)不共線，設(shè).【新題展示】1．【2019湖北恩施2月質(zhì)檢】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線：與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：存在實(shí)數(shù)，使得．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線為直線：，可求出，進(jìn)而可得拋物線方程；（2）先設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理，求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可證明結(jié)論成立．【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€：的準(zhǔn)線為直線：，所以，解得．所以拋物線的方程為．（2）易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，據(jù)此可設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立整理得，故因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，所以．則直線的方程為，得，得，即．令，得，得．所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．所以點(diǎn)在直線上，所以不妨令．因?yàn)?，所以，所以，所以．所以存在?shí)數(shù)，使得，命題得證．2．【2019黑龍江齊齊哈爾一?！恳阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為3，直線與橢圓相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由！【思路引導(dǎo)】（1）由題意列出關(guān)于a，b的關(guān)系式，解得a，b即可．（2）將直線與橢圓聯(lián)立，將向量數(shù)量積的運(yùn)算用坐標(biāo)形式表示，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系確定k的取值范圍．【解析】（1）在中，令，得，解得．由垂徑長(zhǎng)（即過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)）為3，得，所以．①因?yàn)橹本€：與橢圓相切，則．②將②代入①，得．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，．由（1）知，則直線的方程為．聯(lián)立得，則恒成立．所以，，．因?yàn)椋裕矗?，得，得，即，解得；∴直線存在，且的取值范圍是．3．【2019安徽江南十校3月檢測(cè)】設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，圓：，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸長(zhǎng)為4．平行軸的直線與橢圓和圓在軸右側(cè)的交點(diǎn)分別為，，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求得結(jié)果；（2）解法一：假設(shè)方程和坐標(biāo)，利用得到和的坐標(biāo)，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍；解法二：假設(shè)方程和坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步推導(dǎo)出坐標(biāo)，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍．【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意得，解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解法一：設(shè)且，，，，設(shè)，共線，得，同理得解法二：設(shè)，，聯(lián)立得：，，令得又由，令得又軸4．【2019河北衡水中學(xué)摸底】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且求拋物線的方程；動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，即有，即，則，解得，則拋物線的方程為；在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，可得x軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，得，恒成立．，設(shè)直線DA、DB的斜率分別為，，則由得，，，聯(lián)立，得，故存在滿足題意，綜上，在x軸上存在一點(diǎn)，使得x軸平分，即與向量共線．【同步訓(xùn)練】1．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，△MNF2的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得+λ=4，求m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的焦距2c，當(dāng)y=c時(shí)，|MN|=|x1﹣x2|=，由題意得，△MNF2的面積為|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分類(lèi)討論：當(dāng)m=0時(shí)，利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性即可得出；m≠0時(shí)，直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計(jì)算即可得出．（2）當(dāng)m=0時(shí)，則P（0，0），由橢圓的對(duì)稱(chēng)性得，∴m=0時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ，使得+λ=4，當(dāng)m≠0時(shí)，由+λ=4，得，∵A、B、p三點(diǎn)共線，∴1+λ=4，?λ=3?設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x2學(xué)&科網(wǎng)3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，?m2k2+m2﹣k2﹣4=0，顯然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．學(xué)&科網(wǎng)綜上所述，m的取值范圍為（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}2.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P（1，）是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過(guò)點(diǎn)F2，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得?=﹣恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì)得出a=c，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列方程組解出a，b得出橢圓方程；（2）設(shè)Q（m，0），討論直線l的斜率，求出A，B坐標(biāo)，列方程解出m．3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F1（﹣，0），M（1，y）（y＞0）為橢圓上的一點(diǎn)，△MOF1的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)T在圓x2+y2=1上，是否存在過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線l交橢圓C于點(diǎn)B，使=（+）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由已知列式c=，，∴，得a2，b2即可；（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，=（+）=，得T（）代入圓C1，可得化為176k4﹣24k2﹣5=0可求得k．4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，若，．（1）求橢圓的方程；（2）直線l過(guò)右焦點(diǎn)（不與x軸重合）且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P（x0，0），使得的值為定值？若存在，寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)（不必求出定值）；若不存在，說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的定義及勾股定理即可求得a=3，c=，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；（2）方法一：設(shè)直線l：x=my+，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，?=t則（4x02﹣36）m2+9x02﹣18x0+29=t（4m2+9），比較系數(shù)，即可求得x0=，在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P（，0），使得?的值為定值（﹣）；方法二：分類(lèi)討論，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x﹣），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，令?=t則（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18x0+29=9t且4x02﹣36=4t，即可求得x0=，此時(shí)t的值為﹣．解法二：當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l方程為：y=k（x﹣），代入橢圓方程并消元整理得：（9k2+4）x2﹣18k2x+45k2﹣36=0…①設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則是方程①的兩個(gè)解，由韋達(dá)定理得：x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2（x1x2﹣（x1+x2）+5）=﹣，?=（x1﹣x0，y1）?（x2﹣x0，y2）=（x1﹣x0）（x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2，=，學(xué)&科網(wǎng)令?=t則（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18x0+29=9t且4x02﹣36=4t，解得：x0=，此時(shí)t的值為﹣，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l的方程為：x=，代入橢圓方程解得：A（，﹣），B（，），?=（﹣，﹣）?（﹣，）=﹣=﹣，∴當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，?也為定值﹣，綜上，在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P（，0），使得?的值為定值（﹣）．5.如圖已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N．（1）求橢圓C的方程；（2）求?的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得橢圓方程；（2）設(shè)M（m，n），由對(duì)稱(chēng)性可得N（m，﹣n），代入橢圓方程，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的二次函數(shù)，配方，結(jié)合橢圓的范圍，可得最小值，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)，可得圓的方程．6.已知橢圓的離心率，以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線x+y﹣2=0相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)于直線l：y=x+m和點(diǎn)Q（0，3），橢圓C上是否存在不同的兩點(diǎn)A與B關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，且3?=32，若存在實(shí)數(shù)m的值，若不存在，說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率，得b=c，寫(xiě)出以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程，再由點(diǎn)到直線的距離列式求得b，c的值，結(jié)合隱含條件求得a，則橢圓方程可求；（2）由題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=﹣x+n．聯(lián)立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△＞0解得n的范圍．再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線AB之中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線AB，再由點(diǎn)P在直線l上求得m的范圍，最后由3?=32求得m的值．（2）由題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=﹣x+n．聯(lián)立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△=（﹣4n）2﹣12（2n2﹣2）=24﹣8n2＞0，解得．，，學(xué)&科網(wǎng)設(shè)直線AB之中點(diǎn)為P（x0，y0），則，由點(diǎn)P在直線AB上得：，又點(diǎn)P在直線l上，∴，則…①．又，，∴=，解得：或m=﹣1…②學(xué)&科網(wǎng)綜合①②，知m的值為．7.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，T為橢圓上一點(diǎn)，直線TA、TB的斜率之積為﹣．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的動(dòng)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，求?+?的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）求得直線TA，TB的斜率，由?=﹣，即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線PQ方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)，求函數(shù)的單調(diào)性，即可求得?+?的取值范圍．==﹣20+．…（8分）﹣20＜?+?≤﹣，…（10分）學(xué)&科網(wǎng)當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)?+?的值為﹣20，綜上所述?+?的取值范圍為[﹣20，﹣]．…（12分）8.已知拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值；（2）過(guò)A，B分別作拋物線E的切線l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，求的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形OACB面積的最小值；（2）求導(dǎo)，利用點(diǎn)斜式方程，求得求得切線l1，l2的方程，聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得的值．9.已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：+=1（a＞b＞0）有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切．（1）求m的值與橢圓E的方程；（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求?的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）先利用點(diǎn)A在圓上求出m，再利用直線PF1與圓C相切求出直線PF1與的方程以及c，再利用點(diǎn)A在橢圓上求出2a，即可求出橢圓E的方程；（2）先把用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來(lái)，再利用Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以及基本不等式即可求出的取值范圍．（2），設(shè)Q（x，y），，．∵，即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2≥2|x|?|3y|，∴﹣18≤6xy≤18．學(xué)&科網(wǎng)則（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范圍是[0，36]．∴x+3y的取值范圍是[﹣6，6]∴x+3y﹣6的范圍只：[﹣12，0]．即的取值范圍是[﹣12，0]．10.若橢圓E1：與橢圓E2：滿足，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似，m叫相似比．若橢圓M1與橢圓相似且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）作斜率不為零的直線l與橢