7.4 三角函數(shù)應(yīng)用（五大題型）

7．4三角函數(shù)應(yīng)用課程標準學習目標（1）數(shù)學抽象：實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題；（2）數(shù)據(jù)分析：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數(shù)學關(guān)系來建立數(shù)學模（3）數(shù)學建模：體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學建模思想，提高學生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.（1）會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.（2）體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．知識點01函數(shù)中，，，的物理意義1、簡諧運動的振幅就是．2、簡諧運動的周期．3、簡諧運動的頻率．4、稱為相位．5、時的相位稱為初相．【即學即練1】已知正弦交流電（單位：）與時間（單位：）的函數(shù)關(guān)系為，求電流的峰值、周期、頻率和初相位．【解析】∵正弦交流電，∴電流的峰值是，周期是，頻率是，初相位是．知識點02三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實際問題通常涉及復雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．1、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值→解決實際問題．（2）建立數(shù)學模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)式．2、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實際問題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題．（3）整理一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進一步用函數(shù)模型來解決問題．3、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題時，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學關(guān)系，并利用相關(guān)知識來理解．【即學即練2】（2023·湖南·高一校聯(lián)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖是一個半徑為6m的筒車，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為3m，每2分鐘逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈.筒車上的一個盛水筒P（視為質(zhì)點）從水中浮現(xiàn)（圖中點A）時開始記時.建立如圖平面直角坐標系，將P到水面距離表示為時間的函數(shù)，則.【答案】【解析】由題意周期秒，所以角速度（rad/s），當經(jīng)過時間秒，質(zhì)點從運動到如圖所在位置，如圖，此時，因為水車半徑米，水車中心離水面距離米,所以，，所以P到水面距離，即，故答案為：題型一：三角函數(shù)模型在物理學中的應(yīng)用例1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知某彈簧振子的位移（單位：cm）與時間（單位：s）滿足，初始時將彈簧振子下壓至后松開，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)彈簧振子每10s往復振動5次，則在第45s時，彈簧振子的位移是cm.【答案】【解析】由題意，且最小正周期，即，故，所以，且，即，不妨令，故，當，則.故答案為：例2．（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，一臺發(fā)電機產(chǎn)生的電流是正弦式電流，即電壓U（單位：V）和時間t（單位：s）滿足.在一個周期內(nèi)，電壓的絕對值超過的時間為.（答案用分數(shù)表示）.【答案】s【解析】由已知，，，.在區(qū)間內(nèi)，令，或，可得，；同理令，可得，.綜上，電壓的絕對值超過的時間為（s）.故答案為：s．例3．（2023·北京西城·高一北京師大附中?？计谥校谋举|(zhì)上來講，聲音實際上是一種簡諧振動產(chǎn)生的機械波，也稱聲波.聲音兩個最主要的要素：響度和音調(diào)，分別由振動的振幅和頻率刻畫.其中最基本的聲波就是簡諧振動所產(chǎn)生的正弦波.純音是以某個固定頻率進行簡諧振動所產(chǎn)生的聲波，且純音的函數(shù)可以表示為：，其中，，則這個函數(shù)的頻率為（寫出表達式即可）（注：頻率是周期的倒數(shù)）一般說的，，，，，，又是什么呢？這些唱名是音調(diào)的一種記法，音調(diào)與頻率之間的關(guān)系為.已知標準音（也是純音）的音調(diào)為，那么標準音對應(yīng)的函數(shù)中.已知標準音和標準音的頻率比為，那么標準音的音調(diào)為.（取，，結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位）.【答案】【解析】已知：最小正周期，故周期為，故，當時，，則因為標準音的頻率和標準音的頻率比為，所以標準音的頻率為，設(shè)標準音的音調(diào)為，則，解得：，故答案為：，，變式1．（2023·高一課時練習）電流隨時間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時的電流為．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：.變式2．（2023·上海嘉定·高一上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┤鐖D，彈簧掛著的小球做上下振動，它在秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度厘米滿足下列關(guān)系：，，則每秒鐘小球能振動次.【答案】【解析】函數(shù)，的周期，故頻率為.所以每秒鐘小球能振動次.故答案為：.變式3．（2023·高一課時練習）如果音叉發(fā)出的聲波可以用函數(shù)描述，那么音叉聲波的頻率是.【答案】210【解析】由題可得音叉聲波的周期為，所以音叉聲波的頻率為.故答案為：210.【方法技巧與總結(jié)】處理物理學問題的策略（1）常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題．題型二：三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用例4．（2023·全國·高一隨堂練習）某地為發(fā)展旅游業(yè)，在旅游手冊中給出了當?shù)匾荒昝總€月的月平均氣溫表，根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)，試用近似地擬合出月平均氣溫y（單位：℃）與時間t（單位：月）的函數(shù)關(guān)系，并求出其周期和振幅，以及氣溫達到最大值和最小值的時間．（答案不唯一）【解析】不妨設(shè)，由圖象可知時，，當時，，結(jié)合圖象可知，，，又當時，，不妨令，故，周期為14，振幅為6，1月取得最小值15，8月取得最大值27.例5．（2023·全國·高一隨堂練習）某昆蟲種群數(shù)量1月1日低到700只，其數(shù)量隨著時間變化逐漸增加，到當年7月1日高達900只，其數(shù)量在這兩個值之間按正弦曲線規(guī)律改變．(1)求出這種昆蟲種群數(shù)量y（單位：只）關(guān)于時間t（單位：月）的函數(shù)解析式；(2)畫出這個函數(shù)的圖象．【解析】（1）設(shè)，由題意，解得，且，解得，又因為當時，取最小值，所以，即，可取，所以；（2）列表：t014710120y700800900800作出函數(shù)圖象如下：例6．（2023·全國·高一隨堂練習）北京天安門廣場的國旗每天是在日出時隨太陽升起，在日落時降旗．請根據(jù)年鑒或其他參考資料，統(tǒng)計過去一年不同日期的日出和日落時間．(1)在同一直角坐標系中，以日期為橫軸，畫出散點圖，并用曲線去擬合這些數(shù)據(jù)，同時找到函數(shù)模型；(2)某同學準備在五一長假時去看升旗，他應(yīng)當幾點到達天安門廣場？【解析】（1）日期1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日6月1日日出時間6:506:406:306:206:106:05日落時間5:305:405:506:006:057:00日期7月1日8月1日9月1日10月1日11月1日12月1日日出時間6:006:106:206:306:406:50日落時間7:107:006:506:406:306:20散點圖如下：該圖象近似看作正弦型函數(shù)的模型.（2）從所得表格可以看出，在五月份的時候，日出時間在6：10，而天安門升旗時間是日出的時候，所以某同學想看升旗的話，應(yīng)該在6：10前到達天安門廣場.變式4．（2023·高一課時練習）如圖，某動物種群數(shù)量在某年1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間呈正弦型曲線變化．(1)求出種群數(shù)量y關(guān)于時間t的函數(shù)表達式；（其中t以年初以來的月份為計量單位，如1月用表示）(2)估計當年3月1日該動物種群數(shù)量．【解析】（1）設(shè)這群數(shù)量關(guān)于時間的解析式，則，解得，又由，可得，所以，因為時，可得，即，解得，又因為，所以，所以.（2）由，當時，，即當年3月1日該動物種群的數(shù)列約為.變式5．（2023·高一課時練習）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象，一般來說，早潮叫潮，晚潮叫汐．某觀測站通過長時間的觀測，發(fā)現(xiàn)潮汐的漲落規(guī)律和函數(shù)圖象基本一致且周期為，其中x為時間，為水深．當時，海水上漲至最高，最高為5米．(1)求函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)在上的簡圖；(2)求海水持續(xù)上漲的時間區(qū)間．【解析】（1）由函數(shù)的周期為，可得，當時時，海水上漲至最高，且最高為5米，可得，所以，且，即，可得，即，因為，所以，所以，因為，可得，列表：500描點并連線，得到函數(shù)的圖象，如圖所示，（2）由（1）知，函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，海水持續(xù)上漲的時間區(qū)間，即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以海水持續(xù)上漲的時間區(qū)間為.變式6．（2023·高一課時練習）已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間（，單位：時）的函數(shù)，記作：，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：（時）03691215182124（米）經(jīng)長期觀察，的曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）中的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的10：00至20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函數(shù)解析式為：.（2）由題意知，當時才可對沖浪者開放，所以，所以，所以，，即，.又因為，故可令得，或，或.所以在規(guī)定時間10：00至20：00之間，有5個小時可供沖浪者活動，即上午10：00至下午3：00.變式7．（2023·四川眉山·高一?？计谥校┖Ｋ苋赵碌囊?，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表：時刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）經(jīng)長期觀測，這個港口的水深與時間的關(guān)系，可近似用函數(shù)來描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙（船底與洋底的距離），該貨船在一天內(nèi)什么時間段能安全進出港口？【解析】（1）由表格知，，則，，函數(shù)的周期，則，即有，又，即，而，則，所以．（2）貨船需要的安全水深為米，則當時就可以進港，由，得，解得，即，而，因此當時，；當時，，所以貨船應(yīng)在0時至4時或12時至16時進出港.【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟題型三：數(shù)據(jù)擬合問題例7．（2023·高一課時練習）某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：（小時）03691215182124（米根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進港，若欲于當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16小時.例8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數(shù)學興趣小組進行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米）該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．【解析】（1）畫出散點圖，連線如下圖所示：設(shè)，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的．例9．（2023·高一課時練習）下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均氣溫(℉)．月份123456平均氣溫月份789101112平均氣溫以月份為x軸，x＝月份－1，平均氣溫為y軸建立直角坐標系．(1)描出散點圖；(2)用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；(3)這個函數(shù)的周期是多少？(4)估計這個正弦曲線的振幅A；(5)下面四個函數(shù)模型中哪一個最適合這些數(shù)據(jù)？①＝cos；②＝cos；③＝cos；④＝sin．【解析】(1)作出散點圖如圖所示：(2)如圖所示：(3)1月份的氣溫最低，為℉，7月份氣溫最高，為℉，據(jù)圖知，，．(4)2A＝最高氣溫－最低氣溫＝－＝，所以A＝．(5)月份，不妨取，，代入①，得，①不適合；代入②，得，②不適合；同理④不適合，③適合．變式8．（2023·福建福州·高一福建省長樂第一中學?？茧A段練習）某港門的水深y(米)是時間x(，單位：小時)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.x(時)03691215182124y(米)（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于米時是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，則在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間(忽略進出所用的時間)？【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達式為；（2）由題意，水深，即，，，，，1，，或，；所以，該船在至或至能安全進港．若欲于當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過16小時．變式9．（2023·吉林長春·高一長春市第八中學?？计谀╅L春某日氣溫是時間t(，單位：小時)的函數(shù)，下面是某天不同時間的氣溫預報數(shù)據(jù)：t(時)03691215182124根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成余弦型函數(shù)的圖象.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試求(，，)的表達式；（2）大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲3倍于室內(nèi)銷售的利潤，但對室外溫度要求是氣溫不能低于.根據(jù)（1）中所得模型，一個24小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在什么時間段(用區(qū)間表示)將該種商品放在室外銷售，單日室外銷售時間最長不能超過多長時間？(忽略商品搬運時間及其它非主要因素，理想狀態(tài)下哦，奧力給!)【解析】（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)知，，解得，；由，解得，所以；由時，即，解得，即，；所以，；由，解得；所以，，；（2）令，得，即，；解得，；當時，，所以一個24小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在，時間段將該種商品放在室外銷售，且單日室外銷售時間最長不能超過（小時）．變式10．（2023·江西宜春·高一統(tǒng)考期末）某地農(nóng)業(yè)檢測部門統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增．下表是今年前四個月的統(tǒng)計情況：月份1月份2月份3月份4月份收購價格（元/斤）6765養(yǎng)殖成本（元/斤）344．65現(xiàn)打算從以下兩個函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系．（1）請你選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個函數(shù)模型解析式；（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有沒有可能虧損？【解析】（1）對于模型①，由點及可得函數(shù)周期滿足，即，所以，又函數(shù)最大值為，最小值為，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；對于模型②，圖象過點，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）設(shè)，，若時則盈利，若則虧損；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；這說明第8，9，11，12這四個月收購價格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損．所以今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來的月份里有可能虧損．【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問題的關(guān)鍵在于如何把實際問題三角函數(shù)模型化，而散點圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對→作散點圖→確定擬合函數(shù)→解決實際問題．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用例10．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標號為號的個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要.若甲、乙兩人分別坐在號和號座艙里且t=0時，1號座艙位于距離地面最近的位置，當時，兩人距離地面的高度差（單位：）取最大值時，時間的值是.【答案】10【解析】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系，設(shè)時，游客甲位于點，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，由題意可得，.如圖，甲、乙兩人的位置分別用點表示，則，經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點相對于點始終落后，此時乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差，因為，所以，所以得，即開始轉(zhuǎn)動分鐘時，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為.故答案為：.例11．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期中）一半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米．已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每60秒轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點從水面浮現(xiàn)時（圖中點位置）開始計時，則P點離開水面的高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為．【答案】【解析】P點離開水面的高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式可設(shè)為由題給條件可得，，解之得水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每60秒轉(zhuǎn)動一圈，則運動周期為60秒，則，又，，則則故答案為：例12．（2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學?？茧A段練習）如圖是一個半徑為2米的水車，水車圓心距離水面1米.水車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每12秒轉(zhuǎn)一圈，當水車上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間，設(shè)水車所在平面與水面的交線為，以過點且平行于的直線為軸，以過點且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)點距離水面的高度（單位：米）關(guān)于時間（單位：秒）的函數(shù)為，則.【答案】【解析】設(shè)，由函數(shù)的物理意義可知：，由可得，所以，因為則，，又因為的最小正周期，所以，所以.故答案為：.變式11．（2023·北京·高一北京市第三十五中學?？茧A段練習）如圖為一半徑是3m的水輪，水輪圓心距離水面2m，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點到水面的距離與時間滿足函數(shù)關(guān)系，則.【答案】/【解析】由題意可得，水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，所以轉(zhuǎn)一圈需要15s，所以,所以，故答案為:.變式12．（2023·北京房山·高一統(tǒng)考期中）將圖（1）所示的摩天輪抽象成圖（2）所示的平面圖形．已知摩天輪的半徑為40米，其中心點距地面45米，摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈．摩天輪上一點距離地面的高度為（單位：米），若從摩天輪的最低點處開始轉(zhuǎn)動，則與轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．(1)求，，，的值；(2)摩天輪轉(zhuǎn)動8分鐘后，求點距離地面的高度；(3)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，求點距離地面的高度超過65米的時長．【解析】（1）依題意，，于是，函數(shù)的周期，解得，則，而時，，即有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，當時，（米）.（3）由，得，即，解得，即有，，所以在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，有8分鐘的時間，點距離地面的高度超過65米.變式13．（2023·四川成都·高一樹德中學?？茧A段練習）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標號為號的個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要.(1)求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在號和號座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求的最大值及此時的值.【解析】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系，設(shè)時，游客甲位于點，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，由題意可得，.（2）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點表示，則.經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點相對于點始終落后，此時乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差，因為，所以，所以或，或所以開始轉(zhuǎn)動或分鐘時，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為.變式14．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習）甲乙兩名同學周末去游樂場游玩，甲同學去坐摩天輪，乙同學因為恐高只能在休息區(qū)P處等待．如圖，已知摩天輪的半徑為40米，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)且每20分鐘轉(zhuǎn)一圈．摩天輪開始轉(zhuǎn)動后甲從最低點M經(jīng)過50秒恰好轉(zhuǎn)到A處，此時乙在P處看甲的仰角為15°，又過了200秒轉(zhuǎn)到B處，此時乙在P處看甲的仰角為60°，摩天輪與底座的基點H及休息區(qū)P在同一個豎直的平面內(nèi)．(1)求休息區(qū)P與摩天輪底座的基點H之間的距離；(2)求摩天輪的最高點到地面的距離．【解析】（1）如圖：過點分別作的垂線，垂足分別為,由每20分鐘轉(zhuǎn)一圈，最低點M經(jīng)過50秒恰好轉(zhuǎn)到A處，最低點M經(jīng)過250秒恰好轉(zhuǎn)到B處,故可知,設(shè)，則在直角三角形中，，所以又中，，因此同理可得考慮到，，將其代入解得，所以（2）由（1）知，故摩天輪最高點到地面的距離為題型五：幾何中的三角函數(shù)模型例13．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設(shè)頂點的縱坐標與橫坐標的函數(shù)關(guān)系式是，畫出點P的運動軌跡，并討論是否為周期函數(shù)．如果是，指出周期；如果不是，請說明理由．說明：“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動．【解析】假設(shè)落在軸上時開始計時，下一次落在軸上，過程中四個頂點依次落在了軸上，而相鄰兩個頂點距離為正方形邊長，即為1，因此該函數(shù)周期為4.考查正方形向右滾動時，點運動情況：首先以為圓心，正方形邊長為半徑運動個圓，然后以為圓心，正方形對角線長為半徑運動個圓，最后以為圓心，正方形邊長為半徑運動個圓，最終運動軌跡如下曲線：由圖知：是周期為4的函數(shù).例14．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習）某小區(qū)擬用一塊半圓形地塊（如圖所示）建造一個居民活動區(qū)和綠化區(qū)．已知半圓形地塊的直徑千米，點是半圓的圓心，在圓弧上取點、，使得，把四邊形建為居民活動區(qū)，并且在居民活動區(qū)周圍鋪上一條由線段，，和組成的塑膠跑道，其它部分建為綠化區(qū)．設(shè)，且；(1)求塑膠跑道的總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)當為何值時，塑膠跑道的總長最長，并求出的最大值．【解析】（1）由已知得，，故，所以，；（2），所以當，時，取得最大值10千米．例15．（2023·遼寧·沈陽市奉天高級中學高一期中）某市政廣場有一塊矩形綠地，如圖，米，米.為了滿足通行及市民休閑的需求，同時考慮到廣場的整體規(guī)劃，施工單位決定在的中點G處，分別向邊修兩條互相垂直的小路，再修建小路，設(shè).(1)試將的周長l表示成關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；(2)根據(jù)預算及其他因素考慮，最終決定修建的三條小路總長需為500米，求此時的值.【解析】（1）在中，，所以，在中，，所以，又因為，所為，所以，當點F在D處時，最大，此時，當點E在C處時，最小，此時，故定義域為.（2）由（1）得，令，則，令，可得，所以，又因為，所以或.變式15．（2023·湖南·高一課時練習）如圖，矩形ABCD的相鄰兩條邊AB，BC的長度分別為1和3，點E，F(xiàn)是BC的三等分點，求證：．【解析】由題意，，所以，又，都是銳角，所以，所以．一、單選題1．（2023·高一課時練習）車流量被定義為單位時間內(nèi)通過某路段的車輛數(shù)，若上班高峰期某十字路口的車流量F（單位：輛/分鐘）與時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為，則車流量增加的時間段是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，得，因為，所以當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．因為，所以車流量在時間段內(nèi)是增加的，故選：C.2．（2023·陜西西安·高一?？计谥校┕糯鷶?shù)學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數(shù)學基礎(chǔ)，現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測景一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在一條直線上，且在點A的同側(cè)，若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和30°，且，則該球體建筑物的高度約為（）A．100m B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)球的截面圓心為O，連接OB，OC，設(shè)球的截面圓的半徑為R，由圓的切線的性質(zhì)可得：，，則，，所以，可得，即，又因為，，所以，所以，所以球的直徑.故選：A.3．（2023·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）海洋中的波動是海水的重要運動形式之一．在外力的作用下，海水質(zhì)點離開其平衡位置做周期性或準周期性的運動，由于流體的連續(xù)性，必然帶動其鄰近質(zhì)點，從而導致其運動狀態(tài)在空間的傳播．（節(jié)選自《海洋科學導論》馮士筰李風岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學小組的同學為了研究海水質(zhì)點在豎直方向上的運動情況，通過數(shù)據(jù)采集和分析，同學們發(fā)現(xiàn)海水質(zhì)點在某一時間段相對于海平面的位移（米）與時間（秒）的關(guān)系近似滿足，其中常數(shù)．經(jīng)測定，在秒時該質(zhì)點第一次到達波峰，在秒時該質(zhì)點第三次到達波峰．在時，該質(zhì)點相對于海平面的位移不低于米的總時長為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒【答案】C【解析】因為秒時該質(zhì)點第一次到達波峰，在秒時該質(zhì)點第三次到達波峰．所以，即，當時，，，即，因為，所以.則，由得出或，.即，或，因為，所以.因此該質(zhì)點相對于海平面的位移不低于米的總時長為.故選：C4．（2023·黑龍江大慶·高一鐵人中學?？计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用圖明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質(zhì)點的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)初始位置時對應(yīng)的角為，則，則，因為筒車轉(zhuǎn)到的角速度為，所以水桶到水面的距離，當時，可得.故選：A.5．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．現(xiàn)有一個筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的點，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當圓上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．根據(jù)如圖所示的直角坐標系，將點到水面的距離（單位：，在水面下，為負數(shù)）表示為時間（單位：）的函數(shù)，當時，點到水面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則點到水面的距離，由題可知，與的夾角為，在時間轉(zhuǎn)過的角度為，由圖可知，點的縱坐標，因此則點到水面的距離，當時，，所以點到水面的距離為．故選：A6．（2023·北京豐臺·高一統(tǒng)考期中）半徑為2m的水輪如圖所示，水輪的圓心距離水面m.已知水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點到水面的距離(單位：m）與時間(單位：s）滿足關(guān)系式.從點離開水面開始計時，則點到達最高點所需最短時間為（

）A．s B．s C．s D．10s【答案】B【解析】水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，則函數(shù)的最小正周期為15s，則，由水輪的半徑為2m，水輪圓心O距離水面m，因為，可得，，所以，當水輪上點P從水中浮出時x=0s開始計時，令，解得，點P第一次到達最高點需要.故選：B.7．（2023·高一課時練習）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時進港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開始卸貨，吃水深度以米/小時的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時間大概控制在（

）（要考慮船只駛出港口需要一定時間）時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）A．至 B．至C．至 D．至【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)的周期為，振幅，所以，又因為達到最大值，所以由，可得，所以，所以函數(shù)的表達式為，令，解得，所以在可安全離港，故選：C8．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知某摩天輪的半徑為，其中心到地面的距離為，摩天輪啟動后按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動一圈．已知當游客距離地面超過時進入最佳觀景時間段，則游客在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈的過程中最佳觀景時長約有（

）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】B【解析】設(shè)游客到地面的距離為，設(shè)關(guān)于轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為，則，，可得，函數(shù)的最小正周期為，則，當時，游客位于最低點，可取，所以，，由，即，可得，所以，，解得，因此，游客在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈的過程中最佳觀景時長約有分鐘.故選：B.二、多選題9．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考開學考試）如圖（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負數(shù))、與時間(單位：s)之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點D．時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)【答案】AC【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時，A正確；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B錯誤；對于C，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達到最高點，C正確.對于D，當時，，此時單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態(tài)，D錯誤.故選：AC.10．（2023·福建漳州·高一?？计谥校┤鐖D（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負數(shù)）、與時間（單位：s）之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時30sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點【答案】BD【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時，A錯誤；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對于C，當時，，此時單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態(tài)，C錯誤；對于D，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達到最高點，D正確.故選：BD.11．（2023·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）一半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米.已知水輪按順時針方向繞圓心做勻速轉(zhuǎn)動，每秒轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點從水面浮現(xiàn)時（圖中點位置）開始計時，則下列判斷正確的有（

）A．點第一次到達最高點需要秒B．點第一次到達最低點需要秒C．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有秒的時間，點在水面的下方D．當水輪轉(zhuǎn)動秒時，點距離水面的高度是米【答案】ACD【解析】設(shè)點距離水面的高度與時間的函數(shù)解析式為，由題意知：，，最小正周期，，，，，即，又，，；對于A，令，解得：，即點第一次到達最高點需要秒，A正確；對于B，令，解得：，即點第一次到達最低點需要秒，B錯誤；對于C，，，令，即，，解得：，水輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點在水面下方的時間為秒，C正確；對于D，，當水輪轉(zhuǎn)動秒時，點距離水面的高度是米，D正確.故選：ACD.12．（2023·江蘇南京·高三南京市第九中學校考階段練習）水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標為，其縱坐標滿足（，，），則下列敘述正確的是（

）A．B．當時，函數(shù)單調(diào)遞增C．當時，的最大值為D．當時，【答案】AD【解析】由題意，，，所以，則，又點，此時代入可得，解得，又，所以，故A正確；因為，當時，，所以函數(shù)先增后減，故B錯誤；當時，所以，則，則，故C錯誤；當時，，的縱坐標為，橫坐標為，所以，故D正確；故選：AD三、填空題13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若以函數(shù)圖像上相鄰的四個最值所在的點為頂點恰好構(gòu)成一個菱形，則．【答案】【解析】令，，則，，不妨取相鄰四個最值所在的點分別為，，，，如圖所示，因為以為頂點的四邊形恰好構(gòu)成一個菱形，所以，所以，所以，即.故答案為：14．（2023·高一課前預習）如圖1，筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖2，將筒車簡化為圓，以為原點，以與水平平行的直線為軸建立直角坐標系，設(shè)時，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，動點每秒鐘逆時針轉(zhuǎn)過，則盛水筒的高度與時間的關(guān)系是.【答案】.【解析】因為時，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，所以,又因為動點每秒鐘逆時針轉(zhuǎn)過，所以t秒后，則，所以則盛水筒的高度與時間的關(guān)系是，故答案為：15．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）如圖，一根絕對剛性且長度不變?質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.【答案】【解析】由函數(shù)的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因為，所以，所以，由區(qū)間的區(qū)間長度為，即區(qū)間長度為個周期，當區(qū)間在同一個單調(diào)區(qū)間時，不妨設(shè)，可得則，因為，可得，當或時，取最小值；當區(qū)間在不同一個單調(diào)區(qū)間時，不妨設(shè)，可得，此時函數(shù)在上先增后減，此時，不妨設(shè)，則，.綜上可得，最小值為.故答案為：.16．（2023·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，一個筒車按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)5圈，若從盛水筒P剛出水面開始計時，則盛水筒到水面的距離y（單位：m）（水面下則y為負數(shù)）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系式為，盛水筒至少經(jīng)過s能到達距離水面的位置．【答案】【解析】當時，，即，，故，，故，故，取，即，設(shè)盛水筒第一次達到的時間為，則，解得.故答案為：四、解答題17．（2023·全國·高一課堂例題）已知摩天輪的半徑為60m，其中心距離地面70m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每30min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點的起始位置在最低點處．(1)試確定在時刻時，點離地面的高度；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點距離地面超過100m的時間有多長？【解析】（1）如圖所示，以摩天輪所在面為坐標平面，以摩天輪的中心點為原點，軸和軸分別平行和垂直于地平面，建立直角坐標系，點的初始位置在最低點，設(shè)點從最低點沿逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，在時間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度為，可得與的夾角為，于是，點的縱坐標．因此點離地面的高度．（2）根據(jù)題意，令，可得，因為，所以，解得，因此在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點距離地面超過的時間有．18．（2023·全國·高一隨堂練習）已知某海濱浴場的浪高是時間（時）（）的函數(shù)，記作．下表是某日各時刻的浪高數(shù)據(jù).經(jīng)長期觀測，可近似地看成是函數(shù)．/時03691215182124(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出該函數(shù)的周期、振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1m時才對沖浪愛好者開放，試依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)8：00至20：00之間有多長時間可供沖浪者進行運動．【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，的最大值為，最小值為，所以，，，所以