北師大版九年級(jí)下第三章 圓3 垂徑定理 公開課比賽一等獎(jiǎng)

第三章圓*3.3垂徑定理課前預(yù)習(xí)1.（2014畢節(jié)地區(qū)）如圖X3-3-1，已知⊙O的半徑為13，弦AB長(zhǎng)為24，則點(diǎn)O到AB的距離是 (

)A.6 B.5 C.4 D.32.（2014南京）如圖X3-3-2，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，連接BC，若AB=∠BCD=22°30′，則⊙O的半徑為__________cm.B23.（2014包頭）如圖X3-3-3，AB是⊙O的直徑，BC是弦，點(diǎn)E是

的中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D.連接AC，若BC=6，DE=1,則AC的長(zhǎng)為___________.8名師導(dǎo)學(xué)新知

1垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.如圖X3-3-4是垂徑定理的基本圖形，這個(gè)定理的條件有兩個(gè)：①CD是⊙O的直徑，AB是弦；②CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E.定理的結(jié)論有三個(gè)：①AE=BE；②AD=BD；③AC=BC.

注意：(1)這里的垂徑可以是直徑、半徑或過(guò)圓心的直線或線段，其本質(zhì)是“過(guò)圓心”.

(2)垂徑定理中的“弦”為直徑時(shí)，結(jié)論仍然成立.

(3)垂徑定理是證明線段相等、弧相等的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問(wèn)題提供了思考方法和理論依據(jù).

(4)垂徑定理也可以這樣理解：一條直線，如果它具備兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過(guò)圓心；②垂直于弦，那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)：①平分弦；②平分弦所對(duì)劣??；③平分弦所對(duì)優(yōu)弧.【例1】（2014廣東）如圖X3-3-5，在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，那么圓心O到AB的距離為.

解析作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，如圖X3-3-6，由垂徑定理得∵OC⊥AB，在Rt△AOC中，OA=5，即圓心O到AB的距離為3.

答案3舉一反三1.下列判斷正確的是 （）A.平分弦的直線垂直于弦B.平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧C.弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)的兩條弧D.平分一條弧的直線必平分這條弧所對(duì)的弦C2.如圖X3-3-7，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，則⊙O的直徑為 （）A．8 B．10 C．16 D．20

D新知2垂徑定理的推論

推論1

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推理形式：

如圖X3-3-8所示，

∵CD過(guò)圓心，CD平分AB，

∴CD⊥AB，

推論2

弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論3

平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直于弦并且平分弦所對(duì)的另一條弧.【例2】如圖X3-3-9，⊙O的弦AB=8，M是AB的中點(diǎn)，且OM=3，則⊙O的直徑CD的長(zhǎng)為.

解析首先連接OA，由于M是AB的中點(diǎn)，⊙O的直徑是CD，根據(jù)垂徑定理，可得CD⊥AM，AM=AB=×8=4，然后由勾股定理即可求得半徑OA的長(zhǎng)，繼而得到答案.

解連接OA，如圖X3-3-10.∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，CD是直徑，∴CD⊥AM，∵OM=3，∴在Rt△AOM中，∴CD=10.

答案10舉一反三1.如圖X3-3-11，在半徑為5cm的⊙O中，點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，OP=3cm，則弦AB=__________cm.82.已知：如圖X3-3-12，在⊙O中M，N分別為弦AB，CD的中點(diǎn)，AB=CD，AB不平行于CD.求證：∠AMN=∠CNM.證明：連接OM，ON，AO，OC，如答圖X3-3-1所示.∵M(jìn)，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴OM⊥AB，ON⊥CD.又AB=CD，∴AM=CN.在Rt△AOM和Rt△CON中，