二次根式化簡的方法與技巧

./二次根式化簡的方法與技巧二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點內(nèi)容,讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后,進行二次根式的化簡與運算時,一般遵循以下做法：①先將式中的二次根式適當(dāng)化簡②二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行,運算中要運用公式③對于二次根式的除法,通常是先寫成分式的形式,然后通過分母有理化進行運算．④二次根式的加減法與多項式的加減法類似,即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項．⑤運算結(jié)果一般要化成最簡二次根式．化簡二次根式的常用技巧與方法所謂轉(zhuǎn)化：解數(shù)學(xué)題的常用策略.常言道："兵無常勢,水無常形."我們在解千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題時,常常思維受阻,怎么辦？運用轉(zhuǎn)化策略,換個角度思考,往往可以打破僵局,迅速找到解題的途徑.二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容,對于二次根式的化簡,除了掌握基本概念和運算法則外,還要掌握一些特殊的方法和技巧,會收到事半功倍的效果,約分、合并是化簡二次根式的兩個重要手段,因此我們在化簡二次根式時應(yīng)想辦法把題目轉(zhuǎn)化為可以約分和和可以合并的同類根式.現(xiàn)舉例說明一些常見二次根式的轉(zhuǎn)化策略.一、巧用公式法例1.計算分析：本例初看似乎很復(fù)雜,其實只要你掌握好了公式,問題就簡單了,因為與成立,且分式也成立,故有而同時公式：可以幫助我們將和變形,所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些問題從復(fù)雜到簡單.解：原式二、適當(dāng)配方法.例2．計算：分析：本題主要應(yīng)該從已知式子入手發(fā)現(xiàn)特點,∵分母含有其分子必有含的因式,于是可以發(fā)現(xiàn),且,通過因式分解,分子所含的的因式就出來了.解：原式三、正確設(shè)元化簡法.例3：化簡分析：本例主要說明讓數(shù)字根式轉(zhuǎn)化成字母的代替數(shù)字化簡法,通過化簡替代,使其變?yōu)楹唵蔚倪\算,再運用有理數(shù)四則運算法則的化簡分式的方法化簡,例如：,正好與分子吻合.對于分子,我們發(fā)現(xiàn)所以,于是在分子上可加,因此可能能使分子也有望化為含有因式的積,這樣便于約分化簡.解：設(shè)則且所以：四、拆項變形法例4,計算分析：本例通過分析仍然要想到,把分子化成與分母含有相同因式的分式.通過約分化簡,如轉(zhuǎn)化成：再化簡,便可知其答案.解：原式五、整體倒數(shù)法.例5、計算分析：本例主要運用了變倒數(shù)后,再運用有關(guān)公式：,化簡但還要通過折項變形,使其具有公因式.解：設(shè)借用整數(shù)"1"處理法.例6、計算分析：本例運用很多方面的知識如：×,然后再運用乘法分配率,使分子與分母有相同因式,再約分化簡.解：原式六．恒等變形整體代入結(jié)合法例7：已知,,求下列各式的值.;<2>分析：本例運用整體代入把x+y與xy的值分別求出來,再運用整體代入法將x+y與xy代入例題中,但一定要把所求多項式進行恒等變形使題中含有x+y與xy的因式,如,然后再約分化簡.解：因為:,,所以：.七、降次收冪法：例8、已知,求的值.分析：本例運用了使題中2次冪項轉(zhuǎn)化成1次方的項再化簡.如例題中把多項式轉(zhuǎn)化為4x－1,這樣進行低次冪運算就容易了.解：由,得.整理得：=4x－1.所以：所以原式二次根式的化簡與計算的策略與方法1．公式法[例1]計算①；②[解]①原式②原式[解后評注]以上解法運用了"完全平方公式"和"平方差公式",從而使計算較為簡便．2．觀察特征法[例2]計算：[方法導(dǎo)引]若直接運用根式的性質(zhì)去計算,須要進行兩次分母有理化,計算相當(dāng)麻煩,觀察原式中的分子與分母,可以發(fā)現(xiàn),分母中的各項都乘以,即得分子,于是可以簡解如下：[解]原式．[例3]把下列各式的分母有理化．〔1；〔2〔[方法導(dǎo)引]①式分母中有兩個因式,將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等,計算將很繁,觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子,這就啟示我們可以用如下解法：[解]①原式[方法導(dǎo)引]②式可以直接有理化分母,再化簡．但是,不難發(fā)現(xiàn)②式分子中的系數(shù)若為"1",那么原式的值就等于"1"了！因此,②可以解答如下：[解]②原式3．運用配方法[例4]化簡[解]原式[解后評注]注意這時是算術(shù)根,開方后必須是非負數(shù),顯然不能等于""4．平方法[例5]化簡[解]∵∴．[解后評注]對于這類共軛根式與的有關(guān)問題,一般用平方法都可以進行化簡5．恒等變形公式法[例6]化簡[方法導(dǎo)引]若直接展開,計算較繁,如利用公式,則使運算簡化．[解]原式6．常值換元法[例7]化簡[解]令,則：原式7．裂項法[例8]化簡[解]原式各項分母有理化得原式[例9]化簡[方法導(dǎo)引]這個分數(shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖,但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分數(shù)的分子等于分母的兩個因數(shù)之和,于是則有如下簡解：[解]原式8．構(gòu)造對偶式法[例10]化簡[解]構(gòu)造對偶式,于是沒,則,,原式9．由里向外,逐層化簡[解]∵而∴原式[解后評注]對多重根式的化簡問題,應(yīng)采用由里向外,由局部到整體,逐層化簡的方法處理．10．由右到左,逐項化簡[例11]化簡[方法導(dǎo)引]原式