專(zhuān)題5.5 二次函數(shù)與線段最值面積最值綜合應(yīng)用（四大題型）（原卷版）

專(zhuān)題5.5二次函數(shù)與線段最值/面積最值綜合應(yīng)用（四大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1線段差最大問(wèn)題】【題型2線段和最小】【題型3周長(zhǎng)最值問(wèn)題】【題型4求面積最值】【題型1線段差最大問(wèn)題】【典例1】（2023?汝南縣一模）如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（5，5），其對(duì)稱(chēng)軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．①當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在①的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1-1】（秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)T為對(duì)稱(chēng)軸直線x＝2上一點(diǎn)，則TC﹣TB的最大值為多少？【變式1-2】（連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱(chēng)為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【題型2線段和最小】【典例2】（2023秋?金灣區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B（﹣3，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式（2）若直線y＝mx+n經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，則m＝；n＝；（3）在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)E，使得AE+CE的值最小，并求出最小值和此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；【變式2-1】（2023秋?天津月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，2），與x軸交于B（﹣3，0）、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E，若PE＝PC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②若點(diǎn)Q是射線OA上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足OQ＝OP，連接AP，DQ，請(qǐng)求出AP+DQ的最小值．【變式2-2】（2023?潮陽(yáng)區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)G是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，若GA+GC有最小值，求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；【題型3周長(zhǎng)最值問(wèn)題】【典例3】（2023?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6）．點(diǎn)D為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，求△AOD周長(zhǎng)的最小值；【變式3-1】（2023?恩陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；【變式3-2】（2023?盤(pán)錦三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；?【變式3-3】（2023?佛山二模）已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)E，使△AEC的周長(zhǎng)最小．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△AEC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【變式3-4】（2023?賈汪區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ACP的周長(zhǎng)的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【題型4求面積最值】【典例4】（2023秋?撫遠(yuǎn)市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖①，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與直線AC交于點(diǎn)D，若E是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ECD面積的最大值；【變式4-1】（2023秋?和平區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式4-2】（2023?牡丹區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝3，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【