專題2.2 幾何圖形中的翻折變換（壓軸題專項(xiàng)講練）（浙教版）（原卷版）

專題2.2幾何圖形中的翻折變換【典例1】如圖是兩個(gè)全等的直角三角形紙片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為S1，S2．（1）若AC＝3，求S1的值．（2）若S1+S2＝26，求單個(gè)直角三角形紙片的面積是多少．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)DM＝CM＝x，則BM＝4﹣x，依據(jù)S△ABM=12AB×DM=12BM×AC，即可得到x（2）如圖1，依據(jù)S△ABM=12AB×DM=12BM×AC，即可得到DM=32x，進(jìn)而得出S1=32x2；如圖2，依據(jù)S△ABN=12AB×EN=12AN×BC，即可得到EN=43x，進(jìn)而得出S【解題過程】解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折疊可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，設(shè)DM＝CM＝x，則BM＝4﹣x，∵S△ABM=12AB×DM=12∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x=3∴S1=12BD×DM（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可設(shè)AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，如圖1，由折疊可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，∵S△ABM=12AB×DM=12∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，解得DM=32∴S1=12BD×DM=12×2如圖2，由折疊可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，∵S△ABN=12AB×EN=12∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，解得EN=43∴S2=12AE×EN=12×∵S1+S2＝26，∴32x解得x2＝12，∴S△ABC=12×3x×4x=6x21．（2022春?鎮(zhèn)平縣期末）如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，如果C′為AB的中點(diǎn)，△BCD的面積為1，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春?槐蔭區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，以BC所在直線為對(duì)稱軸翻折△ABC得到△A′BC，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連結(jié)BA′，AH⊥BA′于H，AH與BC交于點(diǎn)E．下列結(jié)論一定正確的是（）A．A′C＝A′H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A′H3．（2022春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)M處．折痕為AP，再將△PCM和△ADM分別沿PM，AM折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一點(diǎn)N處．下面結(jié)論：①M(fèi)是CD的中點(diǎn)；②∠ABP＝90°；③MN⊥AP；④AD∥BC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022?東坡區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AD是△ABC的高線，BD＝CD，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，BE＝BC，將△ABE沿BE所在直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′位置上，連接AA'，BA′，EA′與AC相交于點(diǎn)H，BA′與AC相交于點(diǎn)F．小夏依據(jù)上述條件，寫出下列四個(gè)結(jié)論：①∠EBC＝60°；②∠BFC＝60°；③∠EA′A＝60°；④∠A′HA＝60°以上結(jié)論中，正確的是（）A．① B．③④ C．①②③ D．①②④5．（2021秋?渝北區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD．將△ABD沿直線AD翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC上B'點(diǎn)，若AB'：B'C＝3：2，則點(diǎn)D到AC的距離是．6．（2022春?姜堰區(qū)期末）如圖，在△ABC紙片中，∠BAC＝45°，BC＝4，且S△ABC＝5，P為BC上一點(diǎn)，將紙片沿AP剪開，并將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，連接DE，則△ADE面積的最小值為．7．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．在三角形紙片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，將紙片沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處．設(shè)∠BED＝x°，則能使△BED和△CDF同時(shí)成為“準(zhǔn)直角三角形”的x值為．8．（2022春?五華縣期末）如圖，AB∥CD，∠C＝60°，點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，連接AE，將△AEC沿著AE翻折得△AEF，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，若∠EAF＝2∠FAB，那么∠AEC＝．9．（2021秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖，三角形紙片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，折痕為BD（點(diǎn)D在線段AC上且不與A，C重合）．（1）如圖①，若點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，求△ADE的周長(zhǎng)；（2）如圖②，若點(diǎn)C落在AB邊下方的點(diǎn)E處，記△ADE的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，直接寫出L的取值范圍．10．（2022春?廣州期中）在長(zhǎng)方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°．（1）如圖1，∠ADB＝20°，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABP沿AP翻折到△AEP位置，若AE∥BD，求∠BAP的度數(shù)；（2）如圖2，若CD＝3，BD＝5，BC＝4，P是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，求線段CP的最小值．11．（2021秋?斗門區(qū)期末）如圖1，將長(zhǎng)方形ABEF的一角向長(zhǎng)方形內(nèi)部折疊，使角的頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，OC為折痕，則OC平分∠AOA′．（1）若∠AOC＝25°，求∠A'OB的度數(shù)；（2）若點(diǎn)D在線段BE上，角頂點(diǎn)B沿著折痕OD折疊落在點(diǎn)B′處，且點(diǎn)B′在長(zhǎng)方形內(nèi)．①如果點(diǎn)B′剛好在線段A′O上，如圖2所示，求∠COD的度數(shù)；②如果點(diǎn)B′不在線段A′O上，且∠A'OB'＝40°，求∠AOC+∠BOD的度數(shù)．12．（2022春?法庫(kù)縣期中）在△ABC中，∠B，∠C均為銳角且不相等，線段AD，AE分別是△ABC中BC邊上的高和△ABC的角平分線．（1）如圖1，∠B＝70°，∠C＝30°，則∠DAE的度數(shù)．（2）若∠B＝α，∠DAE＝10°，則∠C＝（3）F是射線AE上一動(dòng)點(diǎn)，G、H分別為線段AB，BE上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將△ABC沿著GH折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)F處，如圖2所示，其中∠1＝∠AGF，∠2＝∠EHF，請(qǐng)直接寫出∠1，∠2與∠B的數(shù)量關(guān)系．13．（2021春?襄汾縣期末）如圖1，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（1）若∠A：∠ABC＝3：4，∠ACD＝140°，求∠A的度數(shù)；（2）若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P．試說明：∠MCP＝90°-12∠（3）在（2）的條件下，將△MCB以直線BC為對(duì)稱軸翻折可得到△NBC，∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q（如圖2），若∠A＝60°，試求出∠BQC的度數(shù)．14．（2021秋?仁懷市期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，連接AB．（1）如圖1，已知AC，BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，①點(diǎn)A，B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大?。谌鐖D2，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，記作點(diǎn)C'，則∠ABO＝°；如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，記作點(diǎn)C″，則∠ABO＝°．（2）如圖4，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長(zhǎng)線交于E，F(xiàn)，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的32倍，求∠ABO15．（2021春?鎮(zhèn)江期中）將△ABC紙片的一角∠CAB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P的位置，折痕為DE．（1）如圖1，點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)的點(diǎn)P的位置．①若PE∥AC，那么PD與AB有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由；②如圖2，∠1、∠2與∠A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；③連接CP、BP，已知CP、BP恰好分別平分∠ACB、∠ABC（如圖3），∠1、∠2與∠CPB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖4，點(diǎn)A落在△ABC外的點(diǎn)P的位置連接CP、BP，如果CP、BP恰好分別平分△ABC的兩個(gè)外角∠MCB，∠NBC，那么∠1、∠2與∠CPB之間的數(shù)量關(guān)系是（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）．16．（2021春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，∠ABD＝90°．將△BCD沿BD對(duì)折得到△BED，BE交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，若∠A＝40°，∠C＝30°，求∠AFB的度數(shù)；（2）如圖②，若∠1＝∠2，請(qǐng)說明∠4＝4∠3；（3）若∠A＝40°，將△BED繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△BED為△BD1E1．在旋轉(zhuǎn)過程中，直線D1E1分別與直線AB、直線AC交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M、點(diǎn)N，使∠AMN與∠ANM相等？若存在，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（2022春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E是邊BC上兩點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，將△ADC沿AD折疊得到△ADG，DG交AB于點(diǎn)H，將△EFB沿EF折疊得到△EFH．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合時(shí)，請(qǐng)說明∠BAC＝∠EHD；（2）當(dāng)點(diǎn)G落在△ABC外，且HE∥AD，∠GAB：∠CAD＝1：3．①如圖2，請(qǐng)說明∠EHD＝4∠GAB；②如圖3，若∠B＝30°，將△EFH繞點(diǎn)H順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜180°），則在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△EFH的其中一邊與△AHG的某一邊平行時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．18．（2022春?泗陽(yáng)縣期末）如圖1，已知直線AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，G點(diǎn)為射線FD