山西省太原市高中數(shù)學競賽解題策略-幾何分冊第10章-三角形的內(nèi)切圓2

例〔2023年中國國家集訓隊測試題〕銳角中，，設的內(nèi)心為，邊，的中點分別為，，點，分別在線段，上，且滿足，，過內(nèi)心作的平行線與直線交于點，點在直線上的投影為．證明：點在的外接圓上．證明如圖，由，，應用推論，知為內(nèi)的旁切圓與邊的切點，為內(nèi)的旁切圓與邊的切點．令，，，，，，，，分別為的外接圓、內(nèi)切圓半徑．由性質(zhì)〔1〕，，，從而 ．設與交于點，與的外接圓交于點，那么為弧的中點，過點作的垂線與直線交于點．下面證明．設與，分別交于點，，對及截線應用梅涅勞斯定理，有 ．因為 ，，所以 ．于是，有 ．同理 ．由于 ，所以．注意到過點只能引一條平行于的直線，所以與重合，又點在上的投影是唯一的，故與重合，即點在的外接圓上．例〔2006年CMO題〕在中，，的內(nèi)切圓圓分別與邊，，相切于點，，，聯(lián)結，與內(nèi)切圓交圓交于點，聯(lián)結，．假設，求證：．〔注：可去掉〕證法如圖，輔助線及各點標記如圖．由性質(zhì)〔1〕，可設，，三線共點于．由，知在上，又，那么是外接圓的切線．又，知的圓心在上．同理，的圓心在上．故即的圓心，，從而，那么，，，四點共圓，有，即．故知點為弧的中點．設，，，，延長至，使，作于，那么，即知為的中點．于是，，，且 〔定差冪線定理〕即，亦即，亦即．由切割線定理，有．代入上式有，求得，，即有，故．證法〔圖略〕．由性質(zhì)〔3〕．可設，，三線共點于，與交于點，那么在完全四邊形中，應用對角線調(diào)和分割性質(zhì)，有．過作交，于，，那么，即有．又，那么，即，知是弧中點．下同證法．證法〔圖略〕．聯(lián)結、分別交內(nèi)切圓于點、．由性質(zhì)〔4〕，可設，，三線共點于．因，那么，，即為的垂心．于是．從而，直徑為的中垂線，即是弧的中點．下同證法．例〔2001年第30屆美國數(shù)學奧林匹克題〕的內(nèi)切圓分別切，邊于，，，分別在，上，且，．記與的交點為，圓與相交兩點中離較近的點為．求證：．證明如圖，設圓的圓心為，因，由性質(zhì)知，，三點共線．再由性質(zhì)，知當時，有．例〔2003年第20屆伊朗數(shù)學奧林匹克題〕設是的內(nèi)心，且與，分別切于點，，與交于另一點，是與的交點．在線段上，且．證明：當且僅當，，三點共線時，．證明如圖，設直線交于點，那么由性質(zhì)，知當時，．于是，，，三點共線與重合為的中點．例〔2023年印度國家隊選拔考試題〕設是非等腰三角形，其內(nèi)切圓為圓，圓與三邊，，分別切于點，，．假設，，分別與，，交于點，，，，，的中點分別為，，．證明：，，三點共線．證明如圖，由性質(zhì)知，，，三點共線．在四邊形中〔或完全四邊形中〕，應用牛頓線定理，即知，，三點共線〔第14章性質(zhì)1〕．例〔1995年第24屆美國數(shù)學奧林匹克題〕設是非等腰非直角三角形，設是它的外接圓圓心，并且，，分別是邊，，的中點，點在射線上，使得∽．點和分別在射線和上，使得∽和∽．證明：直線，，共點．證明如圖，因∽，∽，∽，那么由性質(zhì)，知與相切于點，與相切于點，，，，分別與相切于點，，，．于是，是的內(nèi)切圓，切點分別為，，．由切線長定理，再應用塞瓦定理，知，，三線共點．例〔2006年第16屆韓國數(shù)學奧林匹克題〕在中，，的內(nèi)切圓與，，的切點分別為，，．記與的不同于點的交點為．過點作的垂線交于點，，分別是與直線，的交點．求證：是線段的中點．證明如圖，記過點且平行于的直線與過點且與垂直的直線交于點，直線與交于點，直線與交于點．由，知，，，四點共線．由，知，又，即知，，，，五點共圓，記此圓為．又由，知，，，四點共圓，記此圓為叫．注意到，圓，圓兩兩相交的根軸，，相交于一點〔因知圓，圓，的圓心不共線〕，而與相交于點，直線與交于點，故與重合，即有．于是，由推論，知，故知是線段的中點．例〔2023年中國國家代表隊選拔賽題〕設為的內(nèi)切圓，切邊于點，，聯(lián)交于，在上取點，使，延長交于點，那么．證明如圖，設分別切，于點，，過點的切線與直線交于點，那么由性質(zhì)，知，，三點共線．又由性質(zhì)，有，即有．由，有，知．從而．對及截線應用梅涅勞斯定理，有 ，故 ．例〔IMO46預選題，2006年伊朗國家隊選拔賽題〕的中線交其內(nèi)切圓于點，，分別過，且平行于的直線交圓于點，，，分別交于，．證明：．證明如圖，設為的內(nèi)心，分別切，，于點，，，直線與交于點，那么由性質(zhì)知，點在上．設過點，的兩條切線交于點，那么由性質(zhì)，知，，共線．又由性質(zhì)，知．①沒直線交于點，由，有． ②注意到等腰梯形中對其對角線，兩底的公垂線為，從而．再注意①，②式，那么，即知是的中點．因此，是的中點，故．練習十1．〔2023年東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克題〕的內(nèi)切圓分別切，于點、，、分別為邊、的中點，是直線與的交點．證明：、、三點共線．2．〔2023年第六屆北方數(shù)學奧林匹克邀請賽題〕是的內(nèi)切圓，，，分別為，，上的切點．聯(lián)結并延長交于點，聯(lián)結并延長交于點．求證：是的中點．3．〔2023年香港數(shù)學奧林匹克題〕〔〕的內(nèi)切圓分別切，，于點，，，是線段上的點，使得．假設，證明：是的垂心．4．〔2023年越南數(shù)學奧林匹克題〕設，是定點，是動點，且是定角，其中，的內(nèi)切圓在邊，，上的切點分別為，，，分別與，交于點，．證明：線段的長是定長，且的外接圓過一個定點．5．〔1995年伊朗數(shù)學奧林匹克、1997年匈牙利數(shù)學奧林匹克、2002年保加利亞數(shù)學奧林匹克題〕設的內(nèi)切圓與邊，，分別相切于點，，．求證：的外心，內(nèi)心與的垂心三點共線．6．〔2007年保加利亞數(shù)學奧林匹克題〕銳角的內(nèi)切圓與三邊、、分別切于點，，，垂心在線段上．證明：〔1〕；〔2〕設的外心，內(nèi)心分別為，，內(nèi)的旁切圓切于點，那么，，三點共線．7．〔2023年第六屆北方數(shù)學奧林匹克邀請賽題〕，是的切線，切點分別是，，是的一條割線，過點作的平行線，分別交弦，于點，．求證：．8．設的內(nèi)切圓切邊于點，交內(nèi)切圓于點，過點作內(nèi)切圓的切線分別交，于點，，那么．9．設的內(nèi)切圓分別切，，三邊于點，，，過點與三邊平行的直線分別交，，于點，，，，，．那么．10．的一個旁切圓分別切及，的延長線于點，，，點在線段上，那么的充要條件是．11.〔《中等數(shù)學》2023〔12〕數(shù)學奧林匹克訓練題〕的一個旁切圓分別切邊及，的延長線于點，，，于點，于點．聯(lián)結．過點作，，分別交，的延長線于點，．證明：．12.〔2023年第34屆俄羅斯教學奧林匹克〔第四輪〕〕的內(nèi)切圓圓分別與邊，，切于點，，，圓周上的點，滿足．求證：點，，到直線的距離彼此相等．13．〔2005年IMO46預選題、2006年波蘭數(shù)學奧林匹克題、2006年法國國家隊選拔賽題〕滿足，為的內(nèi)心，內(nèi)切圓與邊、的切點分別為、．點、關于