高中數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積教案設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積教案設(shè)計(jì)

講授新課前，做一份完善的教案，能夠更大程度的調(diào)動(dòng)同學(xué)在上

課時(shí)的樂(lè)觀性。接下來(lái)是我為大家整理的高中數(shù)學(xué)平面對(duì)量的數(shù)量積

教案設(shè)計(jì)，盼望大家喜愛(ài)！

高中數(shù)學(xué)平面對(duì)量的數(shù)量積教案設(shè)計(jì)一

《平面對(duì)量數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)

案例名稱(chēng)平面對(duì)量數(shù)量積的設(shè)計(jì)主備人組員課時(shí)3課時(shí)一、

教材內(nèi)容分析平面對(duì)量數(shù)量積是人教版高一下冊(cè)第五章第六節(jié)內(nèi)容,

本節(jié)課是以解決某些幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的重要工具。學(xué)習(xí)本節(jié)要

把握好數(shù)量積的定義、公式和性質(zhì)，它是考查數(shù)學(xué)力量的一個(gè)結(jié)合點(diǎn)，

可以構(gòu)建向量模型，解決函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、解析幾何、立

體幾何中有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直、平行等問(wèn)題，因此是高考命題中“在

學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò)處設(shè)計(jì)命題”的重要載體。二、教學(xué)目標(biāo)（學(xué)問(wèn)，技能，情

感態(tài)度、價(jià)值觀）（一）學(xué)問(wèn)與技能目標(biāo)

1、知道平面對(duì)量數(shù)量積的定義的產(chǎn)生過(guò)程，把握其定義，了解

其幾何意義；

2、能夠由定義探究平面對(duì)量數(shù)量積的重要性質(zhì)；

3、能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)平

面對(duì)量的垂直、共線(xiàn)關(guān)系

（二）過(guò)程與（方法）目標(biāo)

⑴通過(guò)物理學(xué)中同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的功的概念引導(dǎo)同學(xué)探究出

1

數(shù)量積的定義并由定義探究性質(zhì)；

（2）由功的物理意義導(dǎo)出數(shù)量積的幾何意義；

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

通過(guò)本節(jié)的自主性學(xué)習(xí)，讓同學(xué)嘗試數(shù)學(xué)討論的過(guò)程，培育同學(xué)

發(fā)覺(jué)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的力量，有助于進(jìn)展同學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)。

三、學(xué)習(xí)者特征分析同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)向量的基本概念和基

礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，同時(shí)也已經(jīng)具備肯定的自學(xué)力量，多數(shù)同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有

相當(dāng)?shù)膼?ài)好和樂(lè)觀性。但在探究問(wèn)題的力量、合作溝通的意識(shí)等方面

進(jìn)展不夠均衡，尚有待加強(qiáng)。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)教法：觀看

法、爭(zhēng)論法、比較法、歸納法、啟發(fā)引導(dǎo)法。

學(xué)法：自主探究、合作溝通、歸納（總結(jié)）。

老師與同學(xué)互動(dòng)：同學(xué)自主探究，老師引導(dǎo)點(diǎn)撥。五、教學(xué)環(huán)

境及資源預(yù)備三角尺六、教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程老師活動(dòng)同學(xué)活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖及資源預(yù)備

創(chuàng)設(shè)情景引入新課

問(wèn)題1在物理學(xué)中，我們學(xué)過(guò)功的概念，假如給出力的大小和

位移的大小能否求出功的大?。繋煛浚禾岢鐾瑢W(xué)已學(xué)過(guò)的問(wèn)題設(shè)置疑

問(wèn)，激發(fā)同學(xué)愛(ài)好。

【生】：W=FScos讓同學(xué)復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的物理學(xué)問(wèn)激發(fā)同學(xué)愛(ài)好,

并能夠分析此公式的形式。問(wèn)題2在上述公式中的角是誰(shuí)與誰(shuí)的

夾角？?jī)上蛄康膴A角是如何定義的？【師】：提問(wèn)角從而引出兩向量

夾角的定義。

2

【生】：指出角是力與所發(fā)生的位移的夾角能夠通過(guò)物理學(xué)中

功的概念及公式中夾角的定義，從而給出兩向量夾角的定義。

師生互動(dòng)探究新知

1引出兩個(gè)向量的夾角的定義

定義：向量夾角的定義：設(shè)兩個(gè)非零向量a=OA與b=OB,稱(chēng)國(guó)AOB=

為向量a與b的夾角，（00<6<1800）o

（此概念可由老師用定義的方式向同學(xué)直接接示）

【師】：給出任意兩個(gè)向量由同學(xué)作出夾角并通過(guò)作圖引導(dǎo)同學(xué)

歸納、總結(jié)出兩向量夾角的特征及各種特別狀況。

【生】：同學(xué)作圖，任意兩向量的夾角包括垂直，同向及反向的

狀況。

注：（1）當(dāng)非零向量a與b同方向時(shí)，0=00

⑵當(dāng)a與b反方向時(shí)0=1800（共線(xiàn)或平行時(shí)）

（3）0與（其它）非零向量不談夾角問(wèn)題

（4）a0b時(shí)0=900

⑸求兩向量夾角須將兩個(gè)向量平移至公共起點(diǎn)

實(shí)際應(yīng)用鞏固新知

1實(shí)際問(wèn)題我能行

例1在三角形ABC中，回ABC=450,BA與BC夾角是多少？BA與

CB夾角呢？【生】：以四人為小組合作、溝通。

高中數(shù)學(xué)平面對(duì)量的數(shù)量積教案設(shè)計(jì)二

一、總體設(shè)想：

3

本節(jié)課的設(shè)計(jì)有兩條暗線(xiàn)：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量

積的概念和幾何意義;二是圍繞數(shù)量積的概念通過(guò)變形和限定衍生出

新學(xué)問(wèn)一一垂直的推斷、求夾角和線(xiàn)段長(zhǎng)度的公式。教學(xué)方案可從三

方面加以設(shè)計(jì)：一是數(shù)量積的概念;二是幾何意義和運(yùn)算律;三是兩個(gè)

向量的模與夾角的計(jì)算。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。

2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角

3.數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的兒何意義

4.理解把握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)的推斷

和計(jì)算

三、重、難點(diǎn)：

【重點(diǎn)】L平面對(duì)量數(shù)量積的概念和性質(zhì)

2.平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究和應(yīng)用

【難點(diǎn)】平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用

課時(shí)支配：

2課時(shí)

五、教學(xué)方案及其設(shè)計(jì)意圖：

L平面對(duì)量數(shù)量積的物理背景

平面對(duì)量的數(shù)量積，其源自對(duì)受力物體在其運(yùn)動(dòng)方向上做功等物

理問(wèn)題的抽象。首先說(shuō)明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平

方向上的位移是s,此問(wèn)題中消失了兩個(gè)矢量，即數(shù)學(xué)中所謂的向量，

4

這時(shí)物體力F的所做的功為W,這里的（是矢量F和s的夾角，也即

是兩個(gè)向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個(gè)向量的夾角時(shí)一，要使同學(xué)明

確“把向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)上〃這一重要條件，并理解向量夾角的范

圍。這給我們一個(gè)啟示：功是否是兩個(gè)向量某種運(yùn)算的結(jié)果呢？以此

為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a,b的數(shù)量積的概念。

平面對(duì)量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是0,則數(shù)量|a||b|cos（叫

a與b的數(shù)量積,記作a（b,即有a（b=|a||b|cos（,（046加）.

并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.

零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)

量積的定義a（b=|a||b|cos（無(wú)法得到，因此另外進(jìn)行了規(guī)定。

3.兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量a與已作=a,=b,貝幅AOB=e（Ose『m口」a與b

的夾角.

，是記法，是定義的實(shí)質(zhì)一一它是一個(gè)實(shí)數(shù)。根據(jù)推理，當(dāng)時(shí)，

數(shù)量積為正數(shù);當(dāng)時(shí)一，數(shù)量積為零;當(dāng)時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。

4."投影〃的概念

定義：|b|cos（叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個(gè)數(shù)量，它的符號(hào)取決于角（的大小。當(dāng)（為銳角時(shí)投

影為正值;當(dāng)（為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)（為直角時(shí)投影為0；當(dāng)（=0（時(shí)投

影為|b|;當(dāng)（=180（時(shí)投影為（|b|.因此投影可正、可負(fù)，還可為零。

依據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫(xiě)成

5

留意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同

的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分。

5.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a(b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos(的乘積.

向量數(shù)量積的幾何意義在證明安排律方向起著關(guān)鍵性的作用。其

幾何意義實(shí)質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：。此概念也以物體做功為基

礎(chǔ)給出。是向量b在a的方向上的投影。

6.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，則

(1)a(b(a(b=0;

(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a(b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a(b=(|a||b|.

特殊的a(a=|a|2或

(3)|a(b|<|a||b|

(4),其中為非零向量a和b的夾角。

例1.⑴已知向量a,b,滿(mǎn)意，a與b的夾角為，則b在a

上的投影為

⑵若，，則a在b方向上投影為

例2.已知，，按下列條件求

高中數(shù)學(xué)平面對(duì)量的數(shù)量積教案設(shè)計(jì)三

教材分析：

教科書(shū)以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念，功是一

個(gè)標(biāo)量，它用力和位移兩個(gè)向量來(lái)定義，反應(yīng)在數(shù)學(xué)上就是向量的數(shù)

6

量積。

向量的數(shù)量積是過(guò)去學(xué)習(xí)中沒(méi)有遇到過(guò)的一種新的乘法，與數(shù)的

乘法既有區(qū)分又有聯(lián)系。教科書(shū)通過(guò)"探究〃，要求同學(xué)自己利用向量

的數(shù)量積定義推導(dǎo)有關(guān)結(jié)論。這些結(jié)論可以看成是定義的直接推論。

教材例一是對(duì)數(shù)量積含義的直接應(yīng)用。

學(xué)情分析：

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的概念及向量的線(xiàn)性運(yùn)算，這里引入一種新

的向量運(yùn)算一一向量的數(shù)量積，教科書(shū)以物體受力做功為背景引入向

量數(shù)量積的概念，既使向量數(shù)量積運(yùn)算與同學(xué)已有學(xué)問(wèn)建立了聯(lián)系,

又使同學(xué)看到數(shù)量積與向量模的大小有及夾角有關(guān)，同時(shí)與前面的向

量運(yùn)算不同，其計(jì)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量。

三維目標(biāo)：

（一）學(xué)問(wèn)與技能

1、同學(xué)通過(guò)物理中"功〃等實(shí)例，熟悉理解平面對(duì)量數(shù)量積的含

義及其物理意義，體會(huì)平面對(duì)量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

2、同學(xué)通過(guò)平面對(duì)量數(shù)量積的3個(gè)重要性質(zhì)的探究，體會(huì)類(lèi)比

與歸納、對(duì)比與辨析等數(shù)學(xué)方法，正確嫻熟的應(yīng)用平面對(duì)量數(shù)量積的

定義、性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。

（二）過(guò)程與方法

1、同學(xué)經(jīng)受由實(shí)例到抽象到抽象的的數(shù)學(xué)定義的形成過(guò)程，性

質(zhì)的發(fā)覺(jué)過(guò)程，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（三）情感態(tài)度價(jià)值觀

7

1、同學(xué)通過(guò)本課學(xué)習(xí)體會(huì)特別到一般，一般到特別的數(shù)學(xué)討論

思想。

2、通過(guò)問(wèn)題的解決，培育同學(xué)觀看問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題

的實(shí)際操作力量;培育同學(xué)的溝通意識(shí)、合作精神;培育同學(xué)敘述表達(dá)

自己解題思路和探究問(wèn)題的力量.

四、教學(xué)重難點(diǎn)：

1、重點(diǎn)：平面對(duì)量數(shù)量積的概念、性質(zhì)的發(fā)覺(jué)論證；

2、難點(diǎn)：平面對(duì)量數(shù)量積、向量投影的理解；

五、教具預(yù)備：多媒體、三角板

六、課時(shí)支配：1課時(shí)

七、教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引出新課

問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)討論了向量的哪些運(yùn)算?這

些運(yùn)算的結(jié)果是什么？

新課引入：本節(jié)課我們來(lái)討論學(xué)習(xí)向量的另外一種運(yùn)算：平面對(duì)

量的數(shù)量積的物理背景及其含義

新課：

1、探究一：數(shù)量積的概念

展現(xiàn)物理背景：視頻"力士拉車(chē)〃，從視頻中抽象出下面的物理模

型

背景的第一次分析：

問(wèn)題：真正使汽車(chē)前進(jìn)的力是什么?它的大小是多少？

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答：實(shí)際上是力在位移方向上的分力，即，在數(shù)學(xué)中我們給它

一個(gè)名字叫投影。

"投影〃的概念：作圖

定義：I|COS（叫做向量在方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不

是向量；

2、背景的其次次分析：

問(wèn)題：你能用文字語(yǔ)言表述"功的計(jì)算公式〃嗎？

分析：用文字語(yǔ)言表示即：力對(duì)物體所做的功，等于力的大小、

位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積;功是一個(gè)標(biāo)量，它

由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定。這給我們一