第10課 推理與證明 2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化小練（2019人教版）

推理與證明

2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化小練

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題（共40分）

1.（本題8分）（2022?河南?新安縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））十二平均律是我國明

代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載培發(fā)明的，明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學(xué)新

說》提出了十二平均律的理論十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)使

包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為插入11

個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為N,則依此規(guī)則，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.插入的第8個(gè)數(shù)為孤B.插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的

啦倍

C.M>3D.N<7

2.（本題8分）（2022?全國?模擬預(yù)測（理））如圖所示，在AABC中，AB=AC,

A=y,記△ABC外接圓的面積為取△ABC三邊的中點(diǎn)分別為O,E,F,記

△OEF外接圓的面積為其，再取△QEF三邊的中點(diǎn)分別為P,Q,R,記APQR外接

圓的面積為邑，依次類推，若△ABC的內(nèi)切圓半徑為26-3,則其=（）

A.冗B.一

4

c冗.71

C.—D.—

1664

3.（本題8分）（2022?河南洛陽,模擬預(yù)測（理））對于一個(gè)數(shù)的三次方，我們可以分解

為若干個(gè)數(shù)字的和:F=l，2?=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19....根據(jù)

上述規(guī)律，25’的分解式中等號右邊的所有數(shù)中最大的數(shù)為（）

A.325B.323C.649D.647

4.（本題8分）（2023?四川?成都七中模擬預(yù)測（理））數(shù)列｛4｝滿足

“向=U+《,（〃€N"）,則以下說法正確的個(gè)數(shù)（）

①0<qM<an

（2）a；+a：+Qy+???+a]<q；

③對任意正數(shù)都存在正整數(shù)加使得1匚+一一+『一+…+J—成立

]一q1-a2I-a31—am

④為

n+1

A.1B.2C.3D.4

5.（本題8分）（2022?黑龍江?雞西市第四中學(xué)三模（理））四名犯罪嫌疑人同時(shí)落網(wǎng)，

但是他們只承認(rèn)參與了犯罪行為，卻都不承認(rèn)自己是主犯.在警察審問的時(shí)候，四個(gè)人

的回答如下：甲說：丙是主犯，每次都是他負(fù)責(zé)的；乙說：我不是主犯；丙說：我也

不是主犯；丁說：甲說得對.警方通過調(diào)查，終于查出了主犯，發(fā)現(xiàn)他們之中只有1個(gè)

人說了真話，其余3個(gè)人都說了假話，據(jù)此可推知（）

A.甲是主犯B.乙是主犯C.丙是主犯D.丁是主犯

二、填空題（共24分）

6.（本題8分）（2022?四川成都?模擬預(yù)測（理））楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中

的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年

發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國數(shù)學(xué)史上的又一個(gè)偉

大成就.其實(shí)，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國古代

數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.下圖的表

在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從

上到下，第“次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號記為比如4=1,%=3,則數(shù)列

{4}的前10項(xiàng)和為.

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行615201561

7.（本題8分）（2022?河南洛陽?模擬預(yù)測（文））關(guān)于x的方程/+奴_6=0,有下列

四個(gè)命題：甲：x=5是方程的一個(gè)根；乙：x=3是方程的一個(gè)根；丙：該方程兩根異

號；丁：該方程兩根之和為4.若四個(gè)命題中只有一個(gè)假命題，則假命題是.

8.（本題8分）（2022?廣東廣州.高二期末）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3

再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，

必進(jìn)入循環(huán)圈1->4-2->1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.

如取正整數(shù)機(jī)=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6f3f10-5f16->8f4-2-1,共

需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知

數(shù)列｛%｝滿足：卬=〃？（巾為正整數(shù)），。向=?才‘當(dāng)"”為偶數(shù)若“冰雹猜想”中

3%+1,當(dāng)可為奇數(shù)

%=4,則%所有可能的取值的集合知=.

三、雙空題（共16分）

9.（本題8分）（2022?江蘇無錫,模擬預(yù)測）“刺繡”是一門傳統(tǒng)手工藝術(shù)，我國己有多種

刺繡列入世界非遺文化遺產(chǎn)名錄.有一種刺繡的圖案由一筆畫構(gòu)成，很像漢字“回”，

稱為“回紋圖”（如圖）.某刺繡工在方格形布料上用單線針法繡回紋圖，共進(jìn)行了〃

次操作，每次操作在前一次基礎(chǔ)上向外多繡一圈（前三次操作之后的圖案分別如下

圖）.若第2次操作之后圖案所占面積為耳（即最外圍不封口的矩形面積，如

工=2,邑=12,S3=30）,則至少操作次，果不少于90；若每橫向或縱向一個(gè)單

位長度繡一針，稱為“走一針”，如圖①共走了5針，如圖②共走了19針，如圖③共走

了41針，則其第〃次操作之后的回紋圖共走了針（用〃表示）.

10.（本題8分）（2022.全國.模擬預(yù)測（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中一系列格點(diǎn)

4（%,必），其中i=l,2,3,…〃，….且記a,=x'+y“，如4（1,0）記為q=1,

4（1,-1）記為生=0,以此類推.設(shè)數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為S“，則的024=;

474冽

4…Mil

小544小3

-?--------I----------?---------9

四、解答題（共20分）

11.（本題20分）（2022.青海.模擬預(yù)測（理））“數(shù)字華容道”是一款流行的益智游

戲.心〃的正方形盤中有（小-I）個(gè)小滑塊，對應(yīng)數(shù)字1至〃2—1.初始狀態(tài)下，所有滑

塊打亂位置，并保證第〃行第〃列為空格.游戲規(guī)則如下：玩家經(jīng)過移動(dòng)小方塊，將

“1”歸位，即將“1”由初始狀態(tài)移動(dòng)至“目標(biāo)位置”（第一行第一列），如圖情況下最少3

步即可（“初始”至“移動(dòng)3”）.假設(shè)所有玩家始終用最少的移動(dòng)步數(shù)進(jìn)行移動(dòng).

移動(dòng)1移動(dòng)2移動(dòng)3

（1）如圖，圖1,圖2分別為二階、三階華容道，數(shù)字表示“以該處為T的初始位置，將

其移動(dòng)到‘目標(biāo)位置’（第一行第一列）所需的最少移動(dòng)次數(shù)”，請?jiān)趫D2三階華容道的

空格里填上相應(yīng)數(shù)字；

（2）對于3階華容道，從8個(gè)可能位置中的某個(gè)出發(fā)，若最終需要的最少移動(dòng)次數(shù)不超

過7,則獲得1積分，求甲同學(xué)三輪之后不低于2分的概率；

（3）對于3階華容道，若A、B兩人各持一個(gè)華容道游戲盤，雙方各自獨(dú)立地從中間列

初始位置中隨機(jī)選取一個(gè)開始游戲，設(shè)兩人的步數(shù)之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望E(x).

參考答案:

1.D

【分析】設(shè)該等比數(shù)列為{%},公比為％利用通項(xiàng)公式求出鏟=空=2.

a\

對于A：利用通項(xiàng)公式直接求出佝=/，即可判斷；對于B：利用通項(xiàng)公式直接求出

—=^2,即可判斷；

。2

對于C：先求出M=T-----F,利用分析法證明；對于D：由N=M+3,利用放縮法證

1-2口

明出M>4,即可得到N>7,即可判斷.

【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為㈤},公比為小則6=1,出=2,故，2=包=2.

a\

對于A：插入的第8個(gè)數(shù)為為=qxq8=瓶.故A正確；

對于B：插入的第5個(gè)數(shù)為〃6=6x/,插入的第1個(gè)數(shù)為〃2=qxq,所以

絲=維支=/=次.故B正確;

即證圖>2,

而圖>圖>2成立，故C正確;

對于D：N=M+3.

因?yàn)?1>(1.4)6>(1.9)3>2「.1,

，所以26>2-口，所以「—>5,所以7-----r>4,即

5-11-212

M>4,所以N=M+3>7

故D錯(cuò)誤.

故選：D

2.D

【分析】連接AE,則由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合△ABC的內(nèi)切圓半徑為2石-3,可求出

答案第1頁，共7頁

AB=2AE=2,從而可求出△ABC的外接圓半徑為2,則可求得工=4萬，再利用三角形中

|TT

位線定理可求得以）=]AC=1,則得S?=乃，同理可得從而可推出S5的值

如圖連接AE,

因?yàn)锳B=AC,E為8c的中點(diǎn),

所以AE平分ZBAC,AELBC,白加。的內(nèi)切圓圓心在AE上，設(shè)為。,

因?yàn)锳=等，所以NBAE=ZC4E=。，

因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓半徑為26-3,

所以AE=26-3+

所以45=2A￡=2,

設(shè)AABC的外接圓半徑為R,則由正弦定理得

AB-^^=2R

=2R,.n解得R=2,

sinCsin—

6

所以S1=4乃

因?yàn)椋珽分別為A3.BC的中點(diǎn)，

所以。E〃AC,ED=-AC=\,

2

所以AOE尸外接圓的半徑為I,

所以$2=1，

同理可得△%?/?外接圓的半徑為3,則53=（，

54=4-

16564

故選：D

3.C

【分析】直接由題目所給數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，按照規(guī)律即可求解.

【詳解】觀察可知，等號右邊的所有數(shù)中最大的數(shù)依次為1,5,II,19,滿足

答案第2頁，共7頁

12,22+1,32+2,42+3,

由規(guī)律可知，25?的分解式中等號右邊的所有數(shù)中最大的數(shù)為252+24=649.

故選：C.

4.B

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)及遞推關(guān)系得4,>0,然后作差4用-4,,可判斷①，已知等

式變形為片=。向-勺，求出平方和可得②成立，利用簡單的放縮可得

111__

--+--+-+：—>〃，可判斷③，利用數(shù)學(xué)歸納法思想判斷④.

]-q\-a2]一可

【詳解】因?yàn)閝M=a；+a“=（4+g）J：，若為[0,￡],則

；?％+1-?！?。；>。，；?°V為V2+1，①錯(cuò)誤；

由已知a：=a“+i-a”，

4aaa

a：+a；H--卜a；=(a2—^)+(a3-a2)---卜(?！?1-?！?=n+\-\<\，②正確;

由a}efo,—及①得1-?！?lt;1，1<2,

111

，----+;----+-??+----->n,

]-4]—電1cin

顯然對任意的正數(shù)匕，在在正整數(shù)S,使得〃2>。，此時(shí)

1111_

■j----+：----+■；----+???+■;----->”成立，③正確；

1-?)1-?21~?3

⑴已知4<g成立，

(ii)假設(shè)%<>

又—L-+J-L=2〃+3

人5+1)2n+\n+2(〃+2)(〃+1)2

1

>--)

n+2

由數(shù)學(xué)歸納法思想得④錯(cuò)誤.

故選：B.

5.B

【分析】根據(jù)給定條件，逐項(xiàng)分析判斷即可作答.

【詳解】對于A,若甲是主犯，則乙、丙都說真話，不符合題意，A不是;

答案第3頁，共7頁

對于B,若乙是主犯，則丙說真話，甲、乙、丁都說了假話，符合題意，B是；

對于C,若丙是主犯，則甲、乙、丁都說真話，不符合題意，C不是；

對于D,若丁是主犯，則乙、丙都說真話，不符合題意，D不是.

故選：B

6.2036

【分析】通過歸納得出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后求和.

【詳解】容易發(fā)現(xiàn)q=7,%=15,生=31歸納可得故{%}的前10項(xiàng)和為

2+22+23+---+2'°-10=2"-2-10-2036.

故答案為：2036.

7.乙

【分析】因?yàn)樗膫€(gè)命題中只有一個(gè)假命題，所以分別分析甲、乙、丙、丁其中一個(gè)是假命

題的情況即可得出答案.

【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則x=3是方程/+以_萬=0的一個(gè)根，由于

兩根之和為4,則另一根為1,兩根同號，與丙是真命題矛盾，不滿足題意；

若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則x=5是方程公+以一》=()的一個(gè)根，由于兩根之和

為4,則該方程的另一根為-1,兩根異號，滿足題意；

若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則方程x?+ar-Z)=0的兩根為3和5,兩根之和為8,

與丁是真命題矛盾，不滿足題意；

若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則方程V+◎->=()的兩根為3和5,兩根同號，與

丙是真命題矛盾，不滿足題意.

綜上所述，乙命題為假命題.

故答案為：乙.

8.{1,8,10,64}

【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則逆向?qū)ふ医Y(jié)果即可.

【詳解】若%=4,則q=8或1.

’3204=64

當(dāng)出=8時(shí)，％=16,4,=1

5=4=10

當(dāng)日=1時(shí),%=2,%=4,《=8或1

綜上M={1,8,10,64}.

答案第4頁，共7頁

故答案為：{1,8,10,64}

9.54M2+2n-l

【分析】由題意及圖形可得：5.=2小(2〃-1)=4/—2”，列出不等式，求出不等式；由圖

形求出前3次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)對應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而歸納出第n次操作之后的

回紋圖共走的針數(shù)對應(yīng)的關(guān)系式.

【詳解】由題意得：S?=2n-(2n-l)=4n2-2n,

n

令S“=4〃2-2"290,解得：n>5^n<--(舍去)，

2

故至少操作5次；

由圖形可以看出，第1次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為Ix2+2x2-1=5,

第2次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為(1+2+3)X2+4X2-1=19,

第3次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為(1+2+3+4+5)X2+6X2—1=41,

第n次操作之后的回紋圖共走的針數(shù)為

(+2+3+―+2〃-1)X2+2〃X2-1=(2”“(；+2'FX2+4〃-1=4"2+2”-1

故答案為：5,4n2+2n—1

10.44-87

【分析】由題意推得第〃圈8〃個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的這8〃項(xiàng)的和為0,從而得”圈所有點(diǎn)對應(yīng)的項(xiàng)的

和為0,判斷出前22圈共有2024個(gè)數(shù)，可得邑。24=0,從而確定為024所在點(diǎn)的坐標(biāo)為

(22,22),則可求得的必，再求得陶?23,即可求得Sw

【詳解】由題意，第一圈從點(diǎn)(1，。)到點(diǎn)(？)共8個(gè)點(diǎn)，由對稱性可知

$8=4+/+…+%=0；第二圈從點(diǎn)(2,1)到點(diǎn)(2,2)共16個(gè)點(diǎn),由對稱性可知

S24-S8=a9+a1()+-+a24=0,即邑4=0,以此類推，可得第〃圈8〃個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的這8〃項(xiàng)的

和為0,

S=0

即n圈所有點(diǎn)對應(yīng)的項(xiàng)的和$8/史必=4,r+4?,

2

設(shè)4網(wǎng)在第"圈，則8+16+…+8%=3枚=4Z(k+l),

答案第5頁，共7頁

由此可知前22圈共有2024個(gè)數(shù)，故S2024=0,

則$2022=$2024一(生024+“2023),。2024所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(22,22),

貝a2024=22+22=44,

生山所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(21,22),則囁3=21+22=43,

44+4387

故52022=$2024-(%)24+?2023)=0-C)=-

故答案為：44;-87

11.(1)表格中填寫的數(shù)字見解析；

⑵義；

(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為14.

【分析】(1)根據(jù)“數(shù)字華容道”位置關(guān)于中間斜道(正方形的左上角到右下角)對稱填寫

數(shù)字作答.

(2)由(1)的結(jié)論，求出甲同學(xué)獲得1積分的概率，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)

算作答.

(3)求出X的所有可能值，再求出各個(gè)值對應(yīng)的概率列出分布列，求出期望作答.

(1)

“數(shù)字華容道，，位置關(guān)于中間斜道(正方形的左上角到右下角)對稱，則數(shù)字填寫如圖：

(2)

由(1)知，3階華容道，最少移動(dòng)次數(shù)不超過7的概率p=：=:，