高考2023人教A版高中數(shù)學(xué)變式題9

復(fù)習(xí)參考題6

復(fù)習(xí)參考題6

復(fù)習(xí)鞏固

1.乘積3i+a?+…+。")(瓦++…+砥)展開后，共有項(xiàng)；

【答案】n2

【分析】根據(jù)條件中所給的是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可得，要得到式

子的結(jié)果，需要在每個(gè)括號(hào)中選一個(gè)進(jìn)行乘法運(yùn)算，分別分析每個(gè)括號(hào)中的取法數(shù)目，

相乘得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，

(%+a2+—Fan)(/?i+b2+…+bn)展開后每一項(xiàng)都必須是在

(cii+a，2+…+即)(瓦++…+%)兩式中任取一項(xiàng)后相乘，得到的式子，

而在+a?+…+an)中有n種取法，

在(瓦+b2+-+%)中有葭種取法，

由乘法原理，可得共有：zi-n=n2種情況.

故原式展開后有M項(xiàng)，

故答案為：n2

2.學(xué)生可從本年級(jí)開設(shè)的7門選修課中任意選擇3門，并從6種課外活動(dòng)小組中選擇

2種，不同的選法種數(shù)是；

【答案】525

【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】從7門選修課中任意選擇3門有廢種選法；從6種課外活動(dòng)小組中選擇2種有

/種選法.

所以不同的選法種數(shù)為C＞霏=冷?器=525

/03x2x12x1

故答案為：525.

3.安排6名歌手演出順序時(shí)，要求某歌手不是第一個(gè)出場，也不是最后一個(gè)出場，不

同排法的種數(shù)是;

【答案】480

【分析】先排特殊，再排一般.

【詳解】先排這名歌手有屐種方法，余下5名歌手全排列為箱中方法.

所以不同排法的種數(shù)為盤■福=4x5x4x3x2x1=480種.

故答案為：480

4.5個(gè)人分4張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種

數(shù)是;

【答案】5.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合題意可得不同的分法有CJ種，最后計(jì)算組合數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?個(gè)人分4張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，

所以只有一人沒有分到票，其余4人分到1人1張票，

又因?yàn)闊o座票，所以沒有順序，

所以共有=5種不同的分法.

故答案為：5.

5.5名同學(xué)去聽同時(shí)舉行的3個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個(gè)講

座，不同選擇的種數(shù)是;

【答案】243

【分析】根據(jù)題意，分析出每位同學(xué)有3種選擇，進(jìn)而由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，每名同學(xué)可自由選擇聽3個(gè)講座中的任意一個(gè)，所以每位同學(xué)有3

種選擇方法，

所以5名同學(xué)共有3x3x3x3x3=3S=243種選擇方法.

故答案為：243.

6.正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是；

【答案】54

【分析】由任意兩點(diǎn)連線的條數(shù)，再排除邊數(shù)可得.

【詳解】任意兩點(diǎn)連線的條數(shù)，再排除邊數(shù)，

故正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是仃2—12=66—12=54.

故答案為：54.

7.(1+乃23的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng).

【答案】n+1

【分析】在(l+x)2n的展開式中，第r+1項(xiàng)的系數(shù)與第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，再

利用二項(xiàng)式的性質(zhì)可得答案

【詳解】解：因?yàn)樵?1+乃2"的展開式中，第r+1項(xiàng)的系數(shù)與第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

相同，而二項(xiàng)展開式共有2n+l項(xiàng)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以第71+1項(xiàng)的系數(shù)最大，

故答案為：n+1

8.一個(gè)集合有5個(gè)元素.

試卷第2頁，共8頁

(1)這個(gè)集合的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)？

(2)這個(gè)集合的子集共有多少個(gè)？

【答案】(1)10,(2)32

【分析】根據(jù)集合子集中的元素的不重復(fù)性，可以利用組合數(shù)公式求解

【詳解】解：(1)這個(gè)集合的含有3個(gè)元素的子集有它=10個(gè)；

(2)這個(gè)集合的子集包括有含有0個(gè)元素、1個(gè)元素、2個(gè)元素、3個(gè)元素、4個(gè)元素

和5個(gè)元素，所以這個(gè)集合的子集共有C?+廢+或+底+CJ+砥=25=32個(gè)，

9.已知C，j?=21,那么n=；

【答案】6

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)轺啵?21,所以鬣+1=21,即"2=21,即n2+n-42=0,解

得n=6或n=-7(舍去)

故答案為：6

10.某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、

英語、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同排法

種數(shù)是;

【答案】192

【分析】先排數(shù)學(xué)、體育，再排其余4節(jié)，利用乘法原理，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，有盤?=8種

再排其余4節(jié)，有用=24種，

根據(jù)乘法原理，共有8X24=192種方法，

故答案為：192.

11.某人設(shè)計(jì)的電腦開機(jī)密碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，且2個(gè)英文字母不相

同，該密碼可能的個(gè)數(shù)是；

【答案】6500000

【分析】首先確定2個(gè)英文字母的排列方法，接著確定4個(gè)數(shù)字的排列方法，最后根據(jù)

分步乘法原理計(jì)算結(jié)果即可.

【詳解】首先確定2個(gè)英文字母，因?yàn)?個(gè)英文字母不相同，所以有26x25=650種

排列方法，接著確定4個(gè)數(shù)字的排列方法，因?yàn)榭梢詳?shù)字可以相同,所以有IO4=10000,

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：該密碼可能的個(gè)數(shù)為：650X10000=6500000.

故答案為：6500000

12.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是；

【答案】58

【分析】從8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)，排除6個(gè)表面有6個(gè)四點(diǎn)共面情況，6個(gè)對(duì)角面有6個(gè)

四點(diǎn)共面情況.

【詳解】首先從8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)，共有或=70種結(jié)果，

其中，有四點(diǎn)共面的情況，6個(gè)表面有6個(gè)四點(diǎn)共面情況，6個(gè)對(duì)角面有6個(gè)四點(diǎn)共面

情況，

所以以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是70-6-6=58.

故答案為：58.

13.在(l-2x)"的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是.

【答案】(-1尸

【分析】根據(jù)賦值法，令x=l即得結(jié)果.

【詳解】令X=l,貝l](l-2x)n=(l-2xl)n=(—l)n,

即二項(xiàng)式(1-2》產(chǎn)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是(-1尸.

故答案為：(一1尸.

14.(1)平面內(nèi)有"條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點(diǎn)，共有多少個(gè)交

點(diǎn)？

(2)空間有"個(gè)平面，其中沒有兩個(gè)互相平行，也沒有三個(gè)交于一條直線，共有多少

條交線？

【答案】(1)也尸，(2)絲尸

【分析】(1)由題意可知：1條直線，0個(gè)交點(diǎn)，2條直線，1個(gè)交點(diǎn)，3條直線，1+2個(gè)

交點(diǎn)，4條直線，1+2+3條交點(diǎn)，從而可得到規(guī)律，進(jìn)而可得答案；

(2)類比(1)中的方法得出答案

【詳解】解：(1)因?yàn)?條直線，0個(gè)交點(diǎn)，

2條直線，1個(gè)交點(diǎn)，

3條直線，1+2個(gè)交點(diǎn)，

4條直線，1+2+3個(gè)交點(diǎn)，

5條直線，1+2+3+4條交點(diǎn)，

所以n條直線有1+2+3+-+(n-1)個(gè)交點(diǎn),

即絲尸2個(gè)交點(diǎn)；

試卷第4頁，共8頁

(2)因?yàn)?個(gè)平面，0條交線，

2個(gè)平面，1條交線，

3個(gè)平面，1+2條交線，

4個(gè)平面，1+2+3條交線，

5個(gè)平面，1+2+3+4條交線,

所以n個(gè)平面有1+2+3+…+(n-1)條交線，

即若艾條交線；

綜合運(yùn)用

15.(1)求(l—2x)5(l+3x)4的展開式中按x的升幕排列的第3項(xiàng)；

(2)求(9x+金)的展開式的常數(shù)項(xiàng)；

(3)已知(1+依產(chǎn)的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，

求〃；

(4)求(1+X+%2)(1一乃1。的展開式中/的系數(shù)；

(5)求(7+x+y)s的展開式中％5產(chǎn)的系數(shù).

【答案】(1)一26/；(2)C盤;(3)n=14或23；(4)135；(5)30.

【分析】(1)(l—2x)5(l+3x)4的展開式中按％的升基排列的第3項(xiàng)，即展開式中含/

的項(xiàng).

(2)求出其通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0即可求解.

(3)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)求出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，利用等差數(shù)列的定

義列出方程解得.

(4)先將多項(xiàng)式展開，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)的和差，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出系

數(shù)即可.

(5)(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,兩次利用通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】(1)(1一2乃5(1+3乃4的展開式中按X的升基排列的第3項(xiàng)，即展開式中含/

的項(xiàng)，

4(3x)2+廢(-2x)2+能■(-2x)?瑪?(3x)1=-26/.

(2)V[9%+(1川8展開式的通項(xiàng)公式為：7；+1=C18?(9x)18-.(提)r=3-r.髀々.

r~18一；丁

。r18，％2?

令18—|r=0可得：r=12；

故[9x+(金)嚴(yán)展開式的常數(shù)項(xiàng)為：3T2.96c指=Cb

(3)???展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為底，盤，C”，

2Cn=C?+C^0=2———=—―--1------->-----------1——；

nnn9!(n-9)!8!(n-8)l10!(n-10)!9(n-9)(n-8)(n-9)10x9

化簡得90+(n-9)(n-8)=2x10(n-8),

即：n2-37n+322=0,

解得n=14或23.

(4)v(1+x+x2)(l—x)10=(1—x)10+x(l—x)10+x2(l—x)10,

(1+X+X2)(l-x)l。展開式中含婷的系數(shù)為：(1-的含％4的系數(shù)加上其含的

系數(shù)加上其含/項(xiàng)的系數(shù)，

(1-%)1°展開式的通項(xiàng)為7r+1=Go(-X)'，

令r=4,3,2分別得展開式含%3,x2項(xiàng)的系數(shù)為Cfo,-第0,或0，

2

故(1+x+x)(l-工)1°展開式中含%4的系數(shù)為：cfo—do+Cf0=135,

(5)v(x2+x+y)5=[(%2+x)+y]5

5-rr

設(shè)其展開式的通項(xiàng)公式為7>+1=CJ(%2+x)-y,0<r<5,r&N,

令r=2,

得(x2+x)3的的通項(xiàng)公式為C『(x2)3-7n.x171=C^xb~m,0<m<3,meN,

再6—m=5,得=1,

(x2+x+y)'的展開式中，％Sy2的系數(shù)為鬣-cj=10x3=30.

即(/+%+/5的展開式中，x5y2的系數(shù)為30.

16.用二項(xiàng)式定理證明5555+9能被8整除.(提示：5555+9=(56-I)55+9.)

【答案】見解析

【分析】根據(jù)5555+9=(56-1)55+9,按照二項(xiàng)式定理展開，化筒后，根據(jù)展開式

的各式都含有因數(shù)8可得它能被8整除.

【詳解】證明：55^+9=(56-1尸+9

=6^5655+廢55654(-1)1+廢55653(-1)2+…+C居561(-1)54+C靛(—1)55+9

=565s-廢55654+...+c居56+8能被8整除.

所以5555+9能被8整除.

17.(1)平面內(nèi)有兩組平行線，一組有，〃條，另一組有〃條，這兩組平行線相交，可以

構(gòu)成多少個(gè)平行四邊形？

(2)空間有三組平行平面，第一組有〃?個(gè)，第二組有〃個(gè)，第三組有/個(gè)，不同兩組

的平面都相交，且交線不都平行，可以構(gòu)成多少個(gè)平行六面體？

試卷第6頁，共8頁

【答案】（1）（2）C2C2C2.

【分析】（1）首先分析平行四邊形是由兩組平行對(duì)邊構(gòu)成的，接著結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理求

解即可；（2）首先分析平行六面體是由3組平行對(duì)面構(gòu)成的，接著結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理求

解即可；

【詳解】（1）由題意可知：平面內(nèi)有兩組平行線，一組有，〃條，另一組有〃條，

要構(gòu)成平行四邊形，需要有兩組對(duì)邊分別平行，

故從第一組機(jī)條平行線中任選2條，作為平行四邊形的一組對(duì)邊，共有*種不同的取

法，

再從第二組〃條條平行線中任選2條，作為平行四邊形的另一組對(duì)邊，共有％種不同的

取法，

則可以構(gòu)成。鬣個(gè)平行四邊形.

（2）由題意可知：空間有三組平行平面，第一組有〃?個(gè)，第二組有〃個(gè)，第三組有/

個(gè)，

要構(gòu)成平行六面體，需要有3組對(duì)面分別平行，

故從第一組機(jī)個(gè)平行平面中任選2個(gè)，作為平行六面體的一組對(duì)面，共有4種不同的

取法，

再從第二組〃個(gè)平行平面中任選2個(gè)，作為平行六面體的第二組對(duì)面，共有鬃種不同的

取法，

再從第三組/個(gè)平行平面中任選2個(gè)，作為平行六面體的第三組對(duì)面，共有種不同的

取法，

則可以構(gòu)成C*鬣C,2個(gè)平行六面體.

18.某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序.

（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？

（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少種加工順序？

（3）如果其中某2道工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？

（4）如果其中某2道工序不能相鄰，那么有多少種加工順序？

【答案】（1）96,（2）36,（3）48,（4）72

【分析】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，再將剩余的4道工序全排列

即可；（2）先從另外3道工序中任選2道工序放在最前和最后，再將剩余的3道工序全

排列；（3）先排這2道工序，再將它們看做一個(gè)整體，與剩余的工序全排列；（4）先排

其余的3道工序，出現(xiàn)4個(gè)空位，再將這2道工序插空

【詳解】解：（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有盤=4種不同的排法，

再將剩余的4道工序全排列，有24種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有

4x24=96種加工順序；

(2)先從另外3道工序中任選2道工序放在最前和最后，有房=6種不同的排法，再

將剩余的3道工序全排列，有朋=6種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有6x6=

36種加工順序；

(3)先排這2道工序，有鹿=2種不同的排法，再將它們看做一個(gè)整體，與剩余的工

序全排列，有川=24種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有2x24=48種加工

順序；

(4)先排其余的3道工序，有“=6種不同的排法，出現(xiàn)4個(gè)空位，再將這2道工序

插空，有用=12種不同的排法，所以由分步乘法