中考 四邊形(矩形 平行四邊形 梯形 菱形)專題 數(shù)學思想方法 總復(fù)習

./四邊形總復(fù)習關(guān)系結(jié)構(gòu)圖：二、知識點講解：1．平行四邊形的性質(zhì)〔重點：ABCD是平行四邊形2.平行四邊形的判定〔難點：.3.矩形的性質(zhì)：因為ABCD是矩形<4>是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸．4矩形的判定：矩形的判定方法：<1>有一個角是直角的平行四邊形；

<2>有三個角是直角的四邊形；

<3>對角線相等的平行四邊形；

<4>對角線相等且互相平分的四邊形．四邊形ABCD是矩形.5.菱形的性質(zhì)：因為ABCD是菱形6.菱形的判定：四邊形四邊形ABCD是菱形.7.正方形的性質(zhì)：ABCD是正方形8.正方形的判定：四邊形ABCD是正方形.名稱定義性質(zhì)判定面積平

行

四

邊

形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。對邊平行；②對邊相等；

③對角相等；

④鄰角互補；

⑤對角線互相平分；⑥是中心對稱圖形①定義；

②兩組對邊分別相等的四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形；

④兩組對角分別相等的四邊形；

⑤對角線互相平分的四邊形。S=ah<a為一邊長,h為這條邊上的高>矩

形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形除具有平行四邊形的性質(zhì)外,還有：①四個角都是直角；②對角線相等；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。①有三個角是直角的四邊形是矩形；②對角線相等的平行四邊形是矩形；③定義。S=ab<a為一邊長,b為另一邊長>菱

形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。除具有平行四邊形的性質(zhì)外,還有①四邊形相等；②對角線互相垂直,且每一條對角線平分一組對角；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。①四條邊相等的四邊形是菱形；②對角線垂直的平行四邊形是菱形；③定義。①S=ah<a為一邊長,h為這條邊上的高>；

②<b、c為兩條對角線的長>正

方

形有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：①四個角是直角,四條邊相等；②對角線相等,互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角；③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②有一個角是直角的菱形是正方形；③定義。①<a為邊長>；

②<b為對角線長>專題一平行四邊形常用輔助線作法平行四邊形中常添加輔助線是：連對角線,平移對角線,延長一邊中點與頂點連線等,這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形〔或特殊三角形、矩形〔梯形等圖形,為證明解決問題創(chuàng)造條件。第一類：連結(jié)對角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。經(jīng)典例題1.如左下圖1,在平行四邊形中,點在對角線上,且,請你以為一個端點,和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等〔只需證明一條線段即可⑴連結(jié)⑵⑶證明：連結(jié),設(shè)交于點O∵四邊形為平行四邊形∴∵∴即∴四邊形為平行四邊形∴第二類：平移對角線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。經(jīng)典例題2.如右圖2,在平行四邊形中,對角線和相交于點O,如果,,,那么的取值圍是〔ABCD解：將線段沿方向平移,使得,,則有四邊形為平行四邊形,∵在中,,,∴,即解得故選A第三類：過一邊兩端點作對邊的垂線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。經(jīng)典例題3.已知：如左下圖3,四邊形為平行四邊形求證：證明：過分別作于點,的延長線于點F∴則∵四邊形為平行四邊形∴∥且,∴∵∴∴∴第四類：延長一邊中點與頂點連線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。經(jīng)典例題4.已知：如右上圖4,在正方形中,分別是、的中點,與交于點,求證：證明：延長交的延長線于點∵四邊形為正方形∴∥且,,∴又∵,∴≌第五類：延長一邊上一點與一頂點連線,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。經(jīng)典例題5.如左下圖5,在平行四邊形中,點為邊上任一點,請你在該圖基礎(chǔ)上,適當添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長與的延長線相交于,則有∽,∽,∽第六類：把對角線交點與一邊中點連結(jié),構(gòu)造三角形中位線經(jīng)典例題6.已知：如右上圖6,在平行四邊形中,,,交于,求解：連結(jié)交于點,連結(jié)∵四邊形為平行四邊形專題二梯形中的輔助線常見的梯形輔助線規(guī)律口訣為:梯形問題巧轉(zhuǎn)化,變?yōu)椤骱汀?要想盡快解決好,添加輔助線最重要;平移兩腰作出高,延長兩腰也是關(guān)鍵;記著平移對角線,上下底和差就出現(xiàn);如果出現(xiàn)腰中點,就把中位線細心連;上述方法不奏效,過中點旋轉(zhuǎn)成全等;靈活添加輔助線,幫你度過梯形難關(guān);想要易解梯形題,還得注意特題特解;注意梯形割與補,巧變成為□和△.基本圖形如下:經(jīng)典例題1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰、兩底角等轉(zhuǎn)移到一個三角形中,同時還得到平行四邊形．已知：如圖2,在梯形ABCD中,.求證：.分析:平移一腰BC到DE,將題中已知條件轉(zhuǎn)化在同一等腰三角形中解決,即AB=2CD.證明：過D作,交AB于E.∵AB平行于CD,且,∴四邊形是菱形.∴又∴為等邊三角形.∴又,∴∴.經(jīng)典例題2.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分別是AD、BC的中點,若.AD=7,BC=15,求EF．分析：由條件,我們通過平移AB、DC；構(gòu)造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中線．解：過E作EM∥AB,EN∥DC,分別交BC于M、N,∵,∴∴是直角三角形,∵,,∴.∵、分別是、的中點,∴為的中點,∴.2.延長梯形的兩腰,使它們交于一點,可得到兩個相似三角形或等腰三角形、直角三角形等進一步解決問題．經(jīng)典例題3.如圖,在梯形中,,,梯形的面積與梯形的面積相等．求證：.分析：條件是兩個梯形的面積相等,而結(jié)論是三線段長的平方關(guān)系,如果延長兩腰交于一點,就可得到三個相似的三角形,再利用相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系變形就可得出結(jié)論．證明：延長、使它們相交于點,∵,∴∴.同理,∵故得∴此題僅做參考3.從梯形上底的兩端向下底引垂線作高,可以得到一個矩形和兩個直角三角形．然后利用構(gòu)造的直角三角形和矩形解決問題．經(jīng)典例題4.如圖,在梯形中,.求證：.分析:過上底向下底作兩高,構(gòu)造Rt△,然后利用兩三角形全等解決問題.證明：分別過D、C、作AB的垂線,垂足分別為E、F.∵,∴.又,∴≌.∴4.平移一條對角線一般是過上底的一個端點作一條對角線的平行線,與另一底的延長線相交,得到一個平行四邊形和三角形,把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形問題解決．經(jīng)典例題5.如圖,等腰梯形中,,,且,是高,是中位線,求證：．分析：由梯形中位線性質(zhì)得,欲證,只要證．過點作,交的延長線于,就可以把、和移到三角形中,再證明等式成立就簡單多了．證明：過點作交的延長線于點,則四邊形是平行四邊形．∴,∵四邊形是等腰梯形,∴,∴又∵,∴,∴,

∴.∵,∴又∵,∴.經(jīng)典例題6.已知：如圖,在梯形中,.求證：梯形是等腰梯形.證明：過D作,交BA延長線于E.則四邊形是平行四邊形.∴.∴又,∴于是,可得∴∴梯形ABCD是等腰梯形.5.遇到梯形一腰中點的問題可以作出梯形的中位線,中位線與上、下底都平行,且三線段有數(shù)量關(guān)系.或利用"等積變形",連結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點,并延長與下底延長線交于一點,構(gòu)成三角形解決問題．經(jīng)典例題7.已知：如圖4,在梯形中,是的中點,且.求證：.證明：取的中點F,連結(jié)FE.則∵,∴.∴.經(jīng)典例題8.已知：梯形ABCD中ADBC,E為AB中點,且AD＋BC=DC,求證：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．證法1：取DC中點F,連結(jié)EF,E為AD中點,則EF為梯形的中位線∴EF∥AD∥BCEF=<AD＋BC>∴∠1=∠5,∠3=∠6∵DC=AD＋BC∴EF=DC=DF=CF∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠2=∠5,∠4=∠6∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180°∴∠1＋∠3=90°∴DE⊥C,DE平分ADC,CE平分∠CD證法2：延長CE與DA延長線交于一點F,過程略．證法3：在DC上截取DF=AD,連結(jié)AF、BF、F解決.6.當遇到以上的梯形輔助線添加后不能解決問題時,可以特題特解,結(jié)合具體問題中的具體條件,尋求特殊的方法解決問題.比如可將對角線繞中點旋轉(zhuǎn)、利用一腰中點旋轉(zhuǎn)、將梯形補成平行四邊形或三角形問題.經(jīng)典例題9.已知：如圖5,在梯形ABCD中,M、N分別是BD、AC的中點.求證：.證明：連結(jié)并延長,交于E.則.∴又N是AC的中點,∴,故取一腰的中點,連結(jié)頂點和這個中點并延長與對邊的延長線相交,可得兩個全等三角形．經(jīng)典例題10.如圖,梯形中,,、分別平分和,為中點,求證：．分析：要證明,可以利用為中點,延長與的延長線交于,,得到,再證明即可．證明：延長、交于點F,顯然．∴,.又∵,,,∴,∴∴是線段的垂直平分線．∴,∴.評注：添加輔助線后,溝通了、與的聯(lián)系,由線段垂直平分線性質(zhì)得出,從而問題獲得解決．利用一腰中點旋轉(zhuǎn)經(jīng)典例題11.已知：如圖,在梯形中,是CD的中點.求證：.證明：延長AE、BC相交于點F.易證.∴,∵,∴即.∴BE是等腰底邊上的高.∴.說明：在圖5中,相當于由繞點E旋轉(zhuǎn)得到；在圖6中,是由繞點E旋轉(zhuǎn)得到.經(jīng)典例題12.如圖,梯形中,,為腰的中點,求證：.分析：與梯形ABCD的面積關(guān)系不明顯,如果利用梯形助特點把它補成如圖7的平行四邊形,它們之間的關(guān)系就清晰了．梯形補成平行四邊形,各種關(guān)系明顯、直觀,解題思路清晰．證明：延長,使,延長,使；則,則四邊形是平行四邊形．為的中點,連結(jié),與交于點.連結(jié)、,則.∵,是中點,∴為中點且是中點．∴四邊形是平行四邊形,∴,∴通過解決以上問題可以看出,添加輔助線有助于把復(fù)雜的梯形問題轉(zhuǎn)化為簡單的平行四邊形或三角形的知識解決.雖然解決梯形問題時,輔助線千變?nèi)f化,形狀各異,使人眼花繚亂,不容易掌握,但正是這些地形形色色的梯形輔助線給同學們解決梯形問題提供了快捷和方便.相信通過以上對梯形輔助線的介紹和歸納,你已經(jīng)掌握了分析思考梯形輔助線的方法."專題三和矩形有關(guān)的折量問題經(jīng)典例題1.〔2012?如圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC、BD相交于點O,BE∥AC交DC的延長線于點E．〔1求證：BD=BE；〔2若∠DBC=30°,BO=4,求四邊形ABED的面積．思路分析：〔1根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD,然后證明四邊形ABEC是平行四邊形,再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AC=BE,從而得證；〔2根據(jù)矩形的對角線互相平分求出BD的長度,再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度,然后利用勾股定理求出BC的長度,再利用梯形的面積公式列式計算即可得解．解答：點評：本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．經(jīng)典例題2.〔2012?如圖,四邊形ABCD是矩形,點E在線段CB的延長線上,連接DE交AB于點F,∠AED=2∠CED,點G是DF的中點,若BE=1,AG=4,則AB的長為．1．考點：矩形的性質(zhì)；勾股定理．專題：計算題．分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=DG,然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠ADG=∠DAG,再結(jié)合兩直線平行,錯角相等可得∠ADG=∠CED,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個角的和可得∠AGE=2∠ADG,從而得到∠AED=∠AGR,再利用等角對等邊的性質(zhì)得到AE=AG,然后利用勾股定理列式計算即可得解．解：故答案為：．點評：本題考查了矩形的性質(zhì),等邊對等角的性質(zhì),等角對等邊的性質(zhì),以及勾股定理的應(yīng)用,求出AE=AG是解題的關(guān)鍵．專題四和菱形有關(guān)的對角線、周長、面積的計算問題經(jīng)典例題1.〔2012?如圖,菱形ABCD的周長為20cm,且tan∠ABD=,則菱形ABCD的面積為cm2．思路分析：連接AC交BD于點O,則可設(shè)BO=3x,AO=4x,繼而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB,結(jié)合菱形的周長為20cm可得出x的值,再由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得出答案．解答：解：連接AC交BD于點O,則AC⊥BD,AO=OC,BO=DO,設(shè)BO=3x,AO=4x,則AB=5x,又∵菱形ABCD的周長為20cm,∴4×5x=20cm,解得：x=1,故可得AO=4,BO=3,AC=2AO=8cm,BD=2BO=6cm,故可得AC×BD=24cm2．故答案為：24．點評：此題考查了菱形的性質(zhì),掌握菱形的對角線互相垂直且平分的性質(zhì),及菱形的面積等于對角線乘積的一半是解答本題的關(guān)鍵．經(jīng)典例題2.〔2012?如圖,已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm,AE⊥BC于點E,則AE的長是〔A．5cmB．2cmC．cmD．cm2．考點：菱形的性質(zhì)；勾股定理．分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BO、CO的長,在RT△BOC中求出BC,利用菱形面積等于對角線乘積的一半,也等于BC×AE,可得出AE的長度．解答：解：∵四邊形ABCD是菱形,故選D．點評：此題考查了菱形的性質(zhì),也涉及了勾股定理,要求我們掌握菱形的面積的兩種表示方法,及菱形的對角線互相垂直且平分．專題五和正方形有關(guān)的證明題經(jīng)典例題1.〔2012?黃岡如圖,在正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,E、F分別在OD、OC上,且DE=CF,連接DF、AE,AE的延長線交DF于點M．求證：AM⊥DF．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：根據(jù)DE=CF,可得出OE=OF,繼而證明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,然后利用等角代換可得出∠DME=90°,即得出了結(jié)論．解答：點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是通過全等的證明得出∠OAE=∠ODF,利用等角代換解題．經(jīng)典例題2.〔2012?如圖,在正方形ABCD中,等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．〔1求證：CE=CF；〔2若等邊三角形AEF的邊長為2,求正方形ABCD的周長．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：〔1根據(jù)正方形可知AB=AD,由等邊三角形可知AE=AF,于是可以證明出△ABE≌△ADF,即可得出CE=CF；〔2連接AC,交EF與G點,由三角形AEF是等邊三角形,三角形ECF是等腰直角三角形,于是可知AC⊥EF,求出EG=1,設(shè)BE=x,利用勾股定理求出x,即可求出BC的上,進而求出正方形的周長．解答