四川省宜賓市興文縣文第二中學校2023-2024學年高二上學期12月月考數(shù)學試題

興文二中2023年秋期高二第三學月考試數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線y＝－2x－7在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則a、b的值是()A.a＝－7，b＝－7 B.a＝－7，b＝－C.a＝－，b＝7 D.a＝－，b＝－7【答案】D【解析】【詳解】令x＝0，得y＝－7，即b＝－7，令y＝0，得x＝－，即a＝－.故答案選D．2.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A.1 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩條平行線間的距離公式求解.【詳解】將直線化為，因為直線與直線平行，設兩條平行線間的距離為，所以根據(jù)兩平行線之間的距離公式.故選：B3.已知事件表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件表示“3粒種子都不發(fā)芽”，則和（）A.是對立事件 B.不是互斥事件C.互斥但不是對立事件 D.是不可能事件【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和對立事件定義求解即可.【詳解】事件表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件表示“3粒種子都不發(fā)芽”，所以事件和事件不會同時發(fā)生，是互斥事件，因為3粒種子可能只發(fā)芽1粒，所以事件和事件可以都不發(fā)生，則和不是對立事件.故選：C4.已知是空間的一個基底,設，則下列向量中可以與一起構成空間的另一個基底的是（）A. B. C. D.以上都不對【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量基底的意義判斷即得.【詳解】向量是空間的一個基底，顯然，即向量分別與向量共面，A、B不是；假定向量與向量共面，顯然不共線，即存在非0實數(shù)，使得，即有，而不共面，于是且，即，與為非0實數(shù)矛盾，因此向量與向量不共面，所以向量可以與一起構成空間的另一個基底，C對，D錯.故選：C5.過點的直線l與圓相切，則直線l的方程是（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】先判斷出在圓上，求出切線斜率，即可得到切線方程.【詳解】把圓化為標準方程得：.因為在圓上，所以過P的切線有且只有一條.顯然過點且斜率不存在的直線:與圓相交，所以過P的切線的斜率為k.因為切線與過切點的半徑垂直，所以，解得：，所以切線方程為：，即.故選：B6.已知正三棱柱的側棱長與底面邊長相等,則與側面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在給定的幾何體中作出線面角，利用定義法求出線面角的正弦值即得.【詳解】在正三棱柱中，取的中點，連接，則，而平面，平面，于是，又平面，因此平面，則是直線與平面所成的角，，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A7.方程表示的圓（）A.關于x軸對稱 B.關于y軸對稱C.關于直線對稱 D.關于直線對稱【答案】D【解析】【分析】先求圓心坐標，再確定圓心軌跡方程，即可確定選項.【詳解】易得圓心，圓心在直線上，所以該圓關于直線對稱.故選：D【點睛】本題考查圓的標準方程、圓的對稱性，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.8.過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設右焦點為，通過雙曲線的特點知原點為兩焦點的中點，利用中位線的性質，求出的長度及判斷出垂直于，通過勾股定理得到的關系，進而求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設右焦點為，則為的中點，因為，所以為中點，所以為的中位線，所以，，因為為圓的切點，所以，所以，因為點在雙曲線右支上，所以，所以，在中，，所以，即，所以離心率，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是（

）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】求出事件A，B的頻率即得對應概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.【詳解】依題意，，，顯然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，則，于是得選項A，B，C都正確，選項D不正確.故選：ABC.10.已知圓關于直線對稱，則下列結論正確的是（）A.圓的圓心是B.圓的半徑是2C.D.的取值范圍是【答案】ABCD【解析】【分析】將圓的方程化為標準方程，即可得出A、B；根據(jù)已知可知圓心在直線上，代入即可得出C；根據(jù)C的結論得，代入根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可得出D項.【詳解】對于A、B，將圓的方程化為標準方程可得，所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；對于C項，由已知可得，直線經(jīng)過圓心，所以，整理可得，故C項正確；對于D項，由C知，所以，所以的取值范圍是，故D項正確.故選：ABCD.11.已知單位向量兩兩的夾角均為(，且)，若空間向量滿足，則有序實數(shù)組稱為向量在“仿射”坐標系(為坐標原點)下的“仿射”坐標，記作，則下列命題是真命題的有（）A.已知，則B.已知，其中，則當且僅當時，向量的夾角取得最小值C.已知，則D.已知，則三棱錐的表面積【答案】BC【解析】【分析】選項ABC，由題意轉化為的向量運算即可；選項D，由題意知三棱錐為正四面體即可求表面積.【詳解】由單位向量兩兩的夾角均為(，且)，則，.選項A，由題意得，，，則由，且，得，故A錯誤；選項B，由題意得，，，則，，則因為，則由，則，當，向量的夾角取最小值，故當且僅當時，等號成立，即向量的夾角取得最小值，故B正確；選項C，已知，則，，則，故C正確；選項D，由題意知，兩兩夾角均為，且，則三棱錐各面均為正三角形，故三棱錐的表面積，故D錯誤.故選：BC.12.已知橢圓M：（）的左?右焦點分別為，，若橢圓M與坐標軸分別交于A，B，C，D四點，且從，，A，B，C，D這六點中，可以找到三點構成一個等邊三角形，則下列選項中可以是橢圓M的離心率的有（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】對所有可能的等邊三角形分類討論，得的關系，從而求得離心率.【詳解】不妨設為長軸端點，為短軸端點，已知關于原點對稱，，關于原點對稱，關于原點對稱，相應的三角形只取其中一個即可；首先可能是等邊三角形，因為，所以，此時不可能是等邊三角形，不合題意；若為等邊三角形，則，所以選項B有可能;若為等邊三角形，則,所以選項A有可能;若為等邊三角形，則；綜上可知，可以是橢圓M的離心率的有選項A和B.故選：AB.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校開展“愛我家鄉(xiāng)”演講比賽,9位評委給小明同學打分的分數(shù)如莖葉圖所示.記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字在莖葉圖中的卻無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字__________【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定的莖葉圖，計算去掉最高、最低分后的平均分即可得解.【詳解】依題意，去掉的最低分為88，不可能大于4，否則，因此記分員求得的平均分為，所以.故答案為：114.直線恒過的定點坐標是______.【答案】【解析】【分析】直線方程可化為，從而可得，解方程組即可.【詳解】直線方程可化為因為對任意，方程恒成立，所以解得故直線恒過定點故答案為：15.已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），則向量與的夾角是_____．【答案】90°【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積為0即可得結果.【詳解】∵=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），∴，∴∴與垂直，∴向量與的夾角為：90°故答案為：90°16.已知拋物線,為坐標原點,直線與拋物線交于兩點,若的重心為拋物線的焦點,則___________________；【答案】【解析】【詳解】由題意得，由拋物線定義得四、解答題（70分）17.已知△ABC的三個頂點都在第一象限內，A(1，1)，B(5，1)，∠A=45°，∠B=45°，求:（1）直線AB方程；（2）直線AC和BC的方程.【答案】（1）y=1；（2）y=x，y=-x+6.【解析】【分析】（1）由點斜式方程求解即可；（2）由點斜式方程求解即可；【詳解】（1）因為A(1，1)，B(5，1)，，直線AB過點A(1，1)，所以直線AB的方程為，即（2）由題意知，直線AC的傾斜角為∠A=45°，所以kAC=tan45°=1.又直線AC過點A(1，1)，所以直線AC的方程為y-1=1×(x-1)，即y=x.同理可知，直線BC的傾斜角為180°-∠B=135°，所以kBC=tan135°=-1.又直線BC過點B(5，1)，所以直線BC的方程為y-1=-1×(x-5)，即y=-x+6.18.在如圖所示的四棱錐中，四邊形為正方形，平面.（1）若E為的中點，證明：平面；（2）若求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點O，連接，由題意得，結合線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，結合線面夾角公式即可求出答案.【小問1詳解】證明：連接，交于點O，連接，因為O為中點，E為中點，所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設，又因為則，設面的一個法向量為，，則，令得：，又因為，設與平面所成角為，則求與平面所成角的余弦值為.19.已知圓C與x軸相切，圓心C在直線上，且與軸正半軸相交所得弦長為．（1）求圓C的方程；（2）過點的直線交圓于C，于E，F(xiàn)兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何法，利用勾股定理即可求解，（2）根據(jù)直線與圓相交，弦長公式即可求解.【小問1詳解】設圓心，因為圓與軸的正半軸相切，所以，圓的半徑為，因為圓截軸所得弦的弦長為，所以，即，又，所以，所以圓．【小問2詳解】當直線無斜率時，此時直線方程為，由題知：此時直線與圓C截得的弦長為，不滿足條件，當直線有斜率時，設直線方程為：，則圓心到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為：或20.江蘇省高考目前實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文?數(shù)學，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理?歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治?地理?化學?生物這4門再選科目中選擇2門.已知南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學?生物至少1門.（1）從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率；（2）假設甲?乙?丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，求這三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概型求概率方法求概率即可；（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式求概率即可.【小問1詳解】用分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用分別表示選擇“選擇化學”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，，設“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求”則，，.【小問2詳解】設甲?乙?丙三人每人的選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的事件分別是，由題意知事件相互獨立.由（1）知.記“甲?乙?丙三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求”，則易知以上子事件兩兩互斥，根據(jù)互斥事件概率加法公式得.21.已知橢圓的左、右焦點分別為，且該橢圓過點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點作一條斜率不為0的直線，直線與橢圓相交于兩點，記點關于軸對稱的點為點，若直線與軸相交于點，求面積的最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)，和計算橢圓的標準方程；（Ⅱ）題意可設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到，根據(jù)坐標設出的方程，并得到的面積，代入根與系數(shù)的關系，并求最大值.【詳解】（Ⅰ）由橢圓的定義可得，解得.又，所以橢圓的標準方程為（Ⅱ）由題意可設直線的方程為.設，則.由，消去可得，直線的方程為.令，可得，令，則當且僅當，即時等號成立，面積的最大值為【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關系的綜合問題，涉及橢圓中三角形面積的最值的求法，第二問中設而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.22.已知點F為拋物線E：的焦點，為E上一點，且．（1）求拋物線E的方程．（2）過E上動點A作圓N：的兩條切線，分別交E于B，C（不同于點A）兩點，是否存在實數(shù)t，使得直線BC與圓N相切．若存在，求出實數(shù)t的值，不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，證明見解析.【解析】【分析】（1