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破解有關(guān)x與ex,lnx的組合函數(shù)的金鑰匙有關(guān)x與ex,lnx的組合函數(shù)是高考的??純?nèi)容,常將基本初等函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)糅合在一起,發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明相關(guān)不等式(或比較大小)、求參數(shù)的取值范圍(或最值)等.如2019年全國Ⅰ卷T13是以x與ex的組合函數(shù)為載體,考查切線方程的求解,2019年全國Ⅲ卷T6是以x與ex,lnx的組合函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,2018年全國Ⅱ卷T3是以x與ex的組合函數(shù)為載體,考查函數(shù)的圖象的識別,2019年天津卷T20以x與lnx,ex的組合函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)與不等式證明.預(yù)計(jì)今年高考對有關(guān)x與ex,lnx的組合函數(shù)的考查,除了延續(xù)往年的命題形式,還會更著眼于知識點(diǎn)的巧妙組合,突出對數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.類型一構(gòu)造函數(shù)解(1)由題易知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).(2)設(shè)y=f(x)的圖象與直線y=a相切于點(diǎn)(t,a),易知h′(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且h′(1)=0,所以當(dāng)0<t<1時(shí),h′(t)>0,h(t)單調(diào)遞增,當(dāng)t>1時(shí),h′(t)<0,h(t)單調(diào)遞減.所以當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),h(t)=0,即(*)式成立,消去a可得t-1-(2t-1)lnt=0.(*)解析函數(shù)y=-x2-2的圖象與函數(shù)y=x2+2的圖象關(guān)于x軸對稱,故當(dāng)x=2時(shí),g(x)取最小值g(2)=6-8ln2,答案D類型二分離參數(shù),設(shè)而不求令v(x)=ex-xlnx,則v′(x)=ex-lnx-1,故存在整數(shù)m滿足題意,且m的最大值為1.當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),φ(x)單調(diào)遞增.類型三巧拆函數(shù),有效分離lnx與ex(1)解由題意知,f′(x)=2ax-lnx-1.易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則g(x)max=g(1)=1,再令φ(x)=ex-ex,則φ′(x)=e-ex,易知φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則φ(x)max=φ(1)=0,所以ex-ex≤0.因?yàn)閔(x)與φ(x)不同時(shí)為0,令g(x)=-xlnx,則g′(x)=-(lnx+1).(1)解由題意可知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).令φ(x)=xe-x,則φ′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).∵x>0,∴即證xlnx+a>xe-x,即證(xlnx+a)min>(xe-x)max.令h(x)=xlnx+a,則h′(x)=lnx+1.顯然,不等式①②中的等號不能同時(shí)成立,當(dāng)0<x<1時(shí),φ′(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),φ′(x)<0.∴函數(shù)φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,【例4】
已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),類型四借助ex≥x+1或lnx≤x-1(x>0)進(jìn)行放縮當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0;所以f(x)在(0,a)單調(diào)遞減,在(a,+∞)單調(diào)遞增,故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值點(diǎn).因?yàn)閒(1)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥0,故a=1.(2)由(1)知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),x-1-lnx>0,從而m的最小正整數(shù)是m=3.思維升華1.第(1)問可借助y=x-1與y=alnx圖象的位置關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,請讀者完成.2.第(2)問利用教材習(xí)題結(jié)論x>1+lnx(x>0,且x≠1)進(jìn)行放縮,優(yōu)化了解題過程.若利用ex替換x,可進(jìn)一步得到不等式ex≥x+1(當(dāng)x≠0時(shí)取等號).【訓(xùn)練3】
已知函數(shù)f(x)=ex-a. (1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線l:y=x-1相切,求a的值; (2)若f(x)-lnx>0恒成立,求整數(shù)a的最大值.
解(1)f′(x)=ex,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與直線y=x-1相切,
所以令f′(x)=1,即ex=1,得x=0, ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),則f(0)=1-a=-1,∴a=2. (2)先證明ex≥x+1,設(shè)F(x)=ex-x-1,
則F′(x)=ex-1,令F′(x)=0,則x=0,
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0;當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),F(xiàn)′(x)<0.所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以F(x)min=F(0)=0,即F(x)≥0恒成立.∴ex≥x+1,從而ex-2≥x-1(x=0時(shí)取等號).以lnx代換x得lnx≤x-1(當(dāng)x=1時(shí),等號成立),所以ex-2>lnx
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