直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

直線與圓、圓與圓的

位置關(guān)系鄰水縣九龍中學(xué)秦文軒考點(diǎn)要求1．能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想．知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交______Δ>0相切d＝r_______相離d>rΔ<0Δ＝0d<r直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)當(dāng)直線與圓相交時(shí)，由弦心距(圓心到直線的距離)，弦長(zhǎng)的一半及半徑長(zhǎng)所表示的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形．知識(shí)點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征d>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－rd<R－r代數(shù)特征無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)4___2___0(注：代數(shù)特征指兩圓的方程所組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解)31設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，R>r，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表示：兩圓相交時(shí)公共弦的方程求法：設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.考點(diǎn)一

直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)[例1]

(1)在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，則圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0的位置關(guān)系是(

)A．相切 B．相交C．相離 D．不確定B(2)直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置關(guān)系是(

)A．相切 B．相交C．相離 D．不確定[解析]

x2＋y2－2x＋2y－7＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝3，由直線方程可得直線恒過(guò)點(diǎn)(－1，－1)，因?yàn)樵擖c(diǎn)與圓心的距離d＝1－(－1)＝2<r，故該點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交．方法技巧幾何法圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點(diǎn)是計(jì)算量較小代數(shù)法將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對(duì)應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法C1．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為(

)A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能解析：直線2tx－y－2－2t＝0恒過(guò)點(diǎn)(1，－2)，因?yàn)?2＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．D2．已知直線l過(guò)點(diǎn)A(a，0)且斜率為1，若圓x2＋y2＝4上恰有3個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則實(shí)數(shù)a的值為(

)考點(diǎn)二

圓與圓的位置關(guān)系B[例2]

(1)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，則下列選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的圖形中，與圓C相切的是(

)A．x2＋y2＝1 B．(x－4)2＋(y－5)2＝16C．x＋y＝1 D．x－y＝2C(2)已知⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若兩圓在A點(diǎn)處的切線互相垂直，且|AB|＝4，則⊙O1的方程為(

)A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50C．(x－5)2＋y2＝20 D(x－5)2＋y2＝50方法技巧與判斷直線與圓的位置關(guān)系一樣，利用幾何方法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)方法要簡(jiǎn)捷些.其具體方法是：利用圓的方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R＋r，d與R－r的大小關(guān)系來(lái)判定.已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系．把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④方程④的根的判別式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，所以，方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，把x1，x2分別代入方程③，得到y(tǒng)1，y2.因此圓C1與圓C2有兩個(gè)公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，這兩個(gè)圓相交．考點(diǎn)三

直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用A弦長(zhǎng)問(wèn)題D(2)已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為(

)A．1 B．±1方法技巧求直線與圓相交弦長(zhǎng)的常用方法D1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為(

)D2．直線l過(guò)點(diǎn)P(1，3)且與圓(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則直線l的方程為(

)A．4x＋3y－13＝0B.3x＋4y－15＝0C．3x＋4y－15＝0或x＝1D.4x＋3y－13＝0或x＝1切線問(wèn)題(2)過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．[解]由題意得圓心C(1，2)，半徑r＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時(shí)滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，方法技巧圓的切線方程的求法(1)幾何法：當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.當(dāng)k不存在時(shí)，設(shè)x＝x0，并驗(yàn)證是否符合題意．(2)代數(shù)法：當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.當(dāng)k不存在時(shí)，設(shè)x＝x0，并驗(yàn)證是否符合題意．B1．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P(1，4)向圓C：(x－m)2＋y2＝