高三沖刺卷（三）全國I卷數(shù)學(xué)（理）試卷含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精百師聯(lián)盟2020屆高三沖刺考(三）全國卷理科數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1、答卷關(guān)，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1。已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為（）A。1 B。 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化簡為的形式，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，且，可解得的值.【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，故，,解得.故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分母實(shí)數(shù)化運(yùn)算和純虛數(shù)的定義，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和理解辨析能力，是基礎(chǔ)題.2。已知集合，集合,則(）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，函數(shù)的值域，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】集合，集合，所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域，考查了集合的交集運(yùn)算，運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。3.在等比數(shù)列中，，，則等于（)A。9 B. C。 D。3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)，得，因?yàn)?解得。故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4。函數(shù)在上的大致圖象是（）A. B.C。 D.【答案】A【解析】【分析】本題可通過排除法找函數(shù)圖像，先判斷原函數(shù)是否具有奇偶性，再利用特殊值法可得出正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以函?shù)為非奇非偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B，C；又因?yàn)?故選：A。【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，若特值法無法選出正確選項(xiàng),則考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)圖像，著重考查推理論證和運(yùn)算求解的能力，是基礎(chǔ)題.5.劉徽是我國古代偉大的數(shù)學(xué)家，他的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》被視為我國數(shù)學(xué)史上的瑰寶，他創(chuàng)立的“割圓術(shù)”理論上能把的值計(jì)算到任意精度.“割圓術(shù)”是指用圓內(nèi)接正多邊形的面積來近似代替圓的面積，如圖,從正六邊形開始，依次將邊數(shù)增倍,使誤差逐漸減小，當(dāng)圓內(nèi)接正三百六十邊形時(shí),由“割圓術(shù)”可得圓周率的近似值為（)A. B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】圓內(nèi)接正三百六十邊形可以看成由360個(gè)頂角為的等腰三角形構(gòu)成，腰長與圓的半徑相等，利用圓內(nèi)接正三百六十邊形的面積與圓的面積近似相等，計(jì)算的近似值.【詳解】設(shè)圓的半徑為1,當(dāng)圓內(nèi)接正三百六十邊形時(shí)，每邊端點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的小三角形均為腰為1，頂角為的等腰三角形，則圓內(nèi)接正多邊形的面積為,圓的面積為，用圓內(nèi)接正多邊形的面積來近似代替圓的面積，即有。故選：D。【點(diǎn)睛】本題利用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率的近似值,需要仔細(xì)閱讀題干，理解“割圓術(shù)”的概念,考查學(xué)生的理解辨析能力和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題。6.實(shí)數(shù)，滿足不等式組則最小值為（）A. B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可。【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，的幾何含義為過原點(diǎn)到陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)距離的最小值的平方,易知原點(diǎn)到直線的距離,即原點(diǎn)到陰影區(qū)域的最小值，而，則的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7.若雙曲線的漸近線與拋物線相切，則（)A。 B. C.2 D。【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合雙曲線的漸近線方程進(jìn)行求解即可?！驹斀狻靠梢栽O(shè)切點(diǎn)為，由，所以切線方程為,即．因?yàn)橐阎p曲線的漸近線為，所以解得。故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的切線問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。8.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A。80 B.60 C.30 D。8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可?！驹斀狻慷?xiàng)式的通項(xiàng)公式，令，所以常數(shù)項(xiàng).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。9。在平面直角坐標(biāo)系中，軸負(fù)半軸上有4個(gè)點(diǎn)，軸負(fù)半軸上有3個(gè)點(diǎn)，將軸負(fù)半軸上這4個(gè)點(diǎn)和軸負(fù)半軸上這3個(gè)點(diǎn)連成12條線段，這12條線段在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有(）A.6個(gè) B.12個(gè) C。18個(gè) D.24個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四邊形的構(gòu)造方法,結(jié)合組合的知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】易知軸上任意兩個(gè)點(diǎn)和軸上任意兩個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形唯一的對(duì)角線交點(diǎn)在第三象限,適合題意．而這樣的四邊形共有個(gè)，于是最多有18個(gè)交點(diǎn).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了組合的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。10.如圖,在長方體中,，，點(diǎn)為中點(diǎn),現(xiàn)有一只螞蟻欲從點(diǎn)沿長方體的表面爬行到點(diǎn)覓食，則螞蟻爬行的最短距離為（）A。2 B。3 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)長方體展開的方式,結(jié)合勾股定理分類討論求解即可。【詳解】如圖，將長方體展開，由于兩點(diǎn)之間線段最短，故點(diǎn)到點(diǎn)應(yīng)取直線段,圖中路線①的長度，路線②的長度，路線③的長度，路線④的長度，所以螞蟻爬行的最短距離為。故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了長方體表面上路徑最短問題，考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力。11.已知,曲折：與直線：（且）交于，兩點(diǎn),則的周長的最小值為(）A. B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】化簡曲線的方程,可利用拋物線定義將長度進(jìn)行轉(zhuǎn)化,得出的周長的最小值.【詳解】易知曲線是由兩拋物線和構(gòu)成，如圖,設(shè)與軸交于點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為，連接，,則，的周長,當(dāng)，，的三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).故選:B?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合和求解運(yùn)算的能力，是中檔題。12.在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為,，若且．則面積的最大值為（)A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理,結(jié)合基本不等式、三角形面積公式進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得?即，由余弦定理,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，則，所以面積的最大值.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。二、填空題:本題共4小題．每小題5分，共20分．13.已知向量，，若,則__________?！敬鸢浮?【解析】【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積等于0得出的坐標(biāo),再計(jì)算出的坐標(biāo)，最后利用坐標(biāo)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?所以,，所以.故答案為：2。【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算，考察了學(xué)生的求解運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題。14.若關(guān)于的不等成立的必要不充分條件是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義,結(jié)合集合間的關(guān)系、絕對(duì)值的不等式解法進(jìn)行求解即可.【詳解】由得，,依題意有集合是集合的真子集，所以滿足解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了已知必要不充分條件求參數(shù)取值范圍問題,考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15。已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，其一個(gè)對(duì)稱中心為，則__________；把的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)最小值為__________．（第1空2分，第2空3分）【答案】(1）。(2）?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式和對(duì)稱性可以求出的解析式，再利用正弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)可以求出的解析式，最后利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合兩角和的正弦公式和余弦公式求出最值.【詳解】由函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得,所以，,又其一個(gè)對(duì)稱中心,即有，，則，，又，所以，，，函數(shù)．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了正弦型函數(shù)的圖象變換性質(zhì)，考查了兩角和的正弦公式和余弦公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16。己知函數(shù)，，，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】利用換元法，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合存在性的定義、反函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可?！驹斀狻苛睿瑒t，則即為兩點(diǎn),距離．設(shè)點(diǎn),，因?yàn)椋瑒t函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，設(shè)函數(shù)，則，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且，所以結(jié)合反函數(shù)的知識(shí)可得，為的最小值,所以由題意:當(dāng)時(shí),函數(shù)與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象無交點(diǎn)，只須滿足，解得;綜上．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了反函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題．考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分．17.在中，角，,所對(duì)的邊分別是，，，且。（1）求的值；（2）若,求面積的最大值.【答案】（1）；(2）。【解析】【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，再用降冪公式和正弦倍角化簡結(jié)果，最后代入求值；(2）利用余弦定理列出邊的等量關(guān)系，再用基本不等式得出的最大值?！驹斀狻浚?）因?yàn)?，所以，；?)由余弦定理知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=",則的面積，即面積的最大值為。【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,余弦定理解三角形,考查運(yùn)算求解的能力,是基礎(chǔ)題。18.如圖,直四棱柱中，，，點(diǎn),分別，中點(diǎn)．（1)證明：∥平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析(2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)三角形中位線定理,結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可;(2)根據(jù)勾股定理的逆定理，結(jié)合直棱柱的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明:如圖,取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以,且,因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，即,,所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?）因?yàn)椋?，所以，即為直角三角形，所以,因?yàn)樗睦庵侵崩庵裕?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可得，，,,,所以，,易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即可取,則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為,，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由圖可知二面角為銳角,設(shè)二面角大小為，則．【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明，考查了利用空間向量夾角公式求二面角的平面角，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。19.已知點(diǎn)在橢圓：上，且橢圓的離心率為．(1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓的弦中點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)，）上，求取值范圍．【答案】（1）（2)【解析】【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合進(jìn)行求解即可；(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)差法求出直線的斜率，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式進(jìn)行求解即可。【詳解】（1）由條件知,，結(jié)合解得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)為，,則中點(diǎn)在線段上,且，所以，又，，兩式相減得，，易知，,所以，即．設(shè)方程為，代入并整理得．由解得，又由,所以．韋達(dá)定理得,，故．而，所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓離心率公式，考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍,考查了點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。20.已知函數(shù)．（1）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求函數(shù)的值域;（2）是否存在值，使得不等式對(duì)任意恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）；函數(shù)的值域?yàn)?；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;（2)對(duì)原不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)的正負(fù)性結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），由題意可知：，,令,所以是單調(diào)遞增函數(shù)，而,因此當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，因此函數(shù)的值域?yàn)椋海唬?），設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí),，顯然有，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因此由,可得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，要想在時(shí)，恒成立，只需，綜上所述：存在值，使得不等式對(duì)任意恒成立，取值范圍為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值的定義,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21。2020年春節(jié)即將來臨,某市一商家為了在春節(jié)期間更好地推銷某種商品，決定分析2019年春節(jié)期間的銷售情況以進(jìn)行反饋調(diào)整，已知該商品去年日營銷費(fèi)用和日銷售量的關(guān)系如下表所示：日營銷費(fèi)用（單位：千元）23456日銷售量（單位：百件）1720242326并隨機(jī)抽取了200名老顧客進(jìn)行了2020年購買意愿調(diào)查，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：愿意繼續(xù)購買不愿意繼續(xù)購買男性顧客5030女性顧客100（1）求出相關(guān)系數(shù)的大小，并判斷去年日銷售量與日營銷費(fèi)用具有哪種線性相關(guān)．（規(guī)定：若為低度線性相關(guān)；若為顯著性相關(guān);若線性相關(guān);若為無線性相關(guān)．）（2）判斷是否有的把握認(rèn)為老顧客的性別與2020年繼續(xù)購買該商家此商品的意愿具有相關(guān)性．(3）該商家為了在今年春節(jié)期間吸引更多的顧客,設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：顧客可以根據(jù)拋一張只有正反面的卡片出現(xiàn)的結(jié)果，操控一枚棋子在方格紙上行進(jìn)，若小棋子最終停在“幸運(yùn)格”,則可獲得購物優(yōu)惠券2千元,已知卡片出現(xiàn)正，反面的概率分別為，，方格紙上標(biāo)有第0格，第1格，第2…第30格．棋子開始在第0格，顧客每拋一次卡片,棋子向前移動(dòng)一次．若拋出正面,棋子向前移動(dòng)一格（從到）；若拋出反面，棋子向前移動(dòng)兩格（從到），直到棋子移到第29格（“幸運(yùn)格”）或第30格(“無緣格”）時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)棋子移到第格的概率為．（?。┰嚽蟮耐?xiàng)公式；（ⅱ）并求參與游戲一次的顧客獲得購物優(yōu)惠券金額的期望值．參考公式：，，其中．臨界值表:0.1000。0500.0250.0100。0012。7063。8415。0246。63510。828參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）線性相關(guān);（2）有的把握認(rèn)為老顧客的性別與2020年繼續(xù)購買該商家此商品的意愿具有相關(guān)性；(3)（?。?；(ⅱ)1500元.【解析】【分析】(1）利用所給的公式進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合已知所給的規(guī)定進(jìn)行求解即可;（2)根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，根據(jù)題中所給的公式求出的值，并根據(jù)臨界值進(jìn)行判斷即可；(3）（?。┫惹蟮闹?，再求出數(shù)列的遞推公式,然后對(duì)遞推公式進(jìn)行變形,結(jié)合累和法和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；(ⅱ）運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可?！驹斀狻浚?），因此，所以有成立，因此去年日銷售量與日營銷費(fèi)用具有線性相關(guān)；(2）因?yàn)殡S機(jī)抽取了200名老顧客進(jìn)行了2020年購買意愿調(diào)查，所以根據(jù)表中數(shù)據(jù)所知女性顧客中不愿意繼續(xù)購買的人數(shù)為，因此列聯(lián)表如下：愿意繼續(xù)購買不愿意繼續(xù)購買男性顧客5030女性顧客10020因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為老顧客的性別與2020年繼續(xù)購買該商家此商品的意愿具有相關(guān)性;(3）(?。┯深}意可得；，由題意經(jīng)過分析得：，變形為：,因此數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,因此，所以有:也適合，因此；（ⅱ）由題意可知:小棋子最終停在“幸運(yùn)格”，可獲得購物優(yōu)惠券2千元，而第29格是“幸運(yùn)格"，所以參與游戲一次的顧客獲得購物優(yōu)惠券金額的期望值為：元。【點(diǎn)睛】本題考查了線性相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,考查了的計(jì)算，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了累和法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。（二