經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 教案全套 劉洪宇 1-10 增長(zhǎng)率和復(fù)合增長(zhǎng)率問題-概率基礎(chǔ)

第1講增長(zhǎng)率的計(jì)算與比較-----------增長(zhǎng)率和復(fù)合增長(zhǎng)率問題及解決方案教學(xué)目標(biāo)：利用增長(zhǎng)率、復(fù)合增長(zhǎng)率的知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率和投資回報(bào)、復(fù)利等問題.教學(xué)內(nèi)容:增長(zhǎng)率，復(fù)合增長(zhǎng)率教學(xué)重點(diǎn):投資回報(bào)模型、投資期數(shù)模型、基期本金模型教學(xué)難點(diǎn):增長(zhǎng)率、復(fù)合增長(zhǎng)率的應(yīng)用一、問題引入引例1假如一名大學(xué)生畢業(yè)時(shí)剛好20歲，買一份2萬元的養(yǎng)老保險(xiǎn)，如果每年的利率是15%，40年到期后取出本息，他將會(huì)獲得怎樣的收益？是80萬元嗎？不是.是92萬元嗎(=2×(1+0.15)×40)？也不是.答案是:465.85萬元.不是本金的40倍，也不是本金的46倍，而是本金的233倍.引例2假如你的父母在你剛剛出生的時(shí)候，就用3000元為你購(gòu)買了100股某公司的股票，如果該公司年均增長(zhǎng)率為15%，60年后，你的這100股股票的市值將會(huì)增加到什么水平？是18萬元嗎？不是.是20.7萬元嗎？也不是.答案是：1315萬元.不是原始股的60倍，也不是原始股的69倍，而是原始股的4384倍.問題分析在這里，容易被人們忽視的是什么？一是利率，通俗地講就是增長(zhǎng)率，即末期相對(duì)基期數(shù)量的增長(zhǎng)比例；二是復(fù)利，這是一種算法，是指每經(jīng)過一個(gè)計(jì)息期后，都要將所生利息加入本金，以計(jì)算下期的利息.在這里，增長(zhǎng)率是什么？增長(zhǎng)率又是怎么算出來的？增長(zhǎng)率與前后數(shù)量是什么關(guān)系？這些正是我們這一章需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.二、增長(zhǎng)率問題及其解決方案經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，在比較兩期數(shù)據(jù)(如兩年或是兩月)時(shí),常常需要通過增長(zhǎng)百分比這一指標(biāo)來評(píng)估增長(zhǎng)的幅度.例如，人口自然增長(zhǎng)率就是一年內(nèi)人口自然增長(zhǎng)數(shù)(出生人數(shù)－死亡人數(shù))與該年內(nèi)平均人口數(shù)之比,通常用千分比來表示；經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率就是末期國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)與基期國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的比較,以末期現(xiàn)行價(jià)格計(jì)算末期GDP得出的增長(zhǎng)率是名義經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率,以不變價(jià)格(即基期價(jià)格)計(jì)算末期GDP得出的增長(zhǎng)率是實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率;利率就是相對(duì)于本金(前期金額)而言的資金增長(zhǎng)率.定義2.1事物增長(zhǎng)的數(shù)量與原來數(shù)量的百分比值稱為增長(zhǎng)率.假設(shè)一項(xiàng)投資基期的本金為，末期的價(jià)值為，則該項(xiàng)投資的價(jià)值增長(zhǎng)量為,于是,該項(xiàng)投資的增長(zhǎng)率為.例2.1假如你在2015年1月1日用3000元購(gòu)買了100股某公司的股票,2019年1月1日這100股的市值已達(dá)到5247.02元,試問該公司4年的股票市值增長(zhǎng)率為多少?解依題意,基期市值,末期市值,所以.答:該公司4年的股票市值增長(zhǎng)率為74.9%.例2.2假如你在2015年1月1日投資3000元股票，2016年1月1日股票價(jià)值增長(zhǎng)到3600元，2017年1月1日增長(zhǎng)到3672元，2018年1月1日增長(zhǎng)到3965.76元，2019年1月1日增長(zhǎng)到5247.02元，那么該股票價(jià)值在2015-2018年每年的增長(zhǎng)率分別是多少？解,,,.答:該股票價(jià)值在2015-2018年每年的增長(zhǎng)率分別是20%，2%，8%，32.3%.例2.2說明,一項(xiàng)投資在特定時(shí)期內(nèi)各年的增長(zhǎng)率不一定相同,甚至變化較大,因此,可以將增長(zhǎng)率理解為一個(gè)短期的概念，反映一項(xiàng)投資在特定時(shí)期內(nèi)每一年的增長(zhǎng)情況.實(shí)際生活中,希望知道該項(xiàng)投資長(zhǎng)期增長(zhǎng)的潛力和預(yù)期,這就需要借助復(fù)合增長(zhǎng)率來描述了.三、復(fù)合增長(zhǎng)率問題及其解決方案定義2.2若事物從某一年的數(shù)量開始,按照某個(gè)固定指數(shù)經(jīng)過若干年增長(zhǎng)后達(dá)到預(yù)期數(shù)量，則稱這個(gè)固定指數(shù)為復(fù)合增長(zhǎng)率.例2.3假如你在2015年1月1日用3000元購(gòu)買100股某公司的股票,如果該公司的股票市值每年以15%的速率增長(zhǎng)(即復(fù)合增長(zhǎng)率為15%),2019年1月1日這100股股票的市值將會(huì)增加到什么水平?解第1年這100股股票的市值為(元),第2年這100股股票的市值為(元),第3年這100股股票的市值為(元),第4年這100股股票的市值為(元).因此，2019年1月1日這100股股票的市值增加到5247.02元,增長(zhǎng)率為74.9%.進(jìn)一步,假設(shè)一項(xiàng)投資的基期本金為,年復(fù)合增長(zhǎng)率為,則年后的末期價(jià)值為.(1)式(1)稱為投資回報(bào)模型.例如:已知一項(xiàng)投資的基期本金為,投資期數(shù)為期,末期價(jià)值為,則由可得,即(2)式(2)稱為年復(fù)合增長(zhǎng)率模型.類似地,可得投資期數(shù)模型為.(3)基期本金模型為.(4)例2.4假如你在2015年1月1日用3000元購(gòu)買100股某公司的股票,4年后這100股股票市值為5247.02元,試問該公司股票的年復(fù)合增長(zhǎng)率為多少?解已知，由式(2)得.答:該公司股票的年復(fù)合增長(zhǎng)率約為15%.例2.5假如你希望將來購(gòu)買一輛跑車，預(yù)計(jì)售價(jià)為250萬元，你現(xiàn)在只有1萬元，你有機(jī)會(huì)投資一份年復(fù)合增長(zhǎng)率為20%的理財(cái)產(chǎn)品，請(qǐng)問多少年后可以實(shí)現(xiàn)你的購(gòu)車計(jì)劃？解已知,由式(3)得.答:大約30年后可以實(shí)現(xiàn)購(gòu)車計(jì)劃.例2.6小張想積攢6年后旅游所需費(fèi)用50000元，她選擇了一個(gè)年復(fù)合增長(zhǎng)率為4.21%的理財(cái)產(chǎn)品，那么小張現(xiàn)在應(yīng)該投資多少元才能保證6年后攢夠所需旅游費(fèi)用？解已知,由式(4)得(元).答:小張現(xiàn)在應(yīng)該投資39040.34元才能保證6年后攢夠所需旅游費(fèi)用.四、數(shù)列的極限數(shù)列是研究增長(zhǎng)率和復(fù)合增長(zhǎng)率的重要工具，而數(shù)列的極限則討論數(shù)列一般項(xiàng)的變化趨勢(shì),這對(duì)于了解與增長(zhǎng)率相關(guān)的經(jīng)濟(jì)問題的內(nèi)在規(guī)律十分有益.我們高中已經(jīng)學(xué)過數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們進(jìn)一步考察當(dāng)自變量無限增大時(shí)，數(shù)列的變化趨勢(shì)．先看下面兩個(gè)數(shù)列：(1),即；(2),即.觀察發(fā)現(xiàn),對(duì)于第1個(gè)數(shù)列,當(dāng)無限增大時(shí),;對(duì)于第2個(gè)數(shù)列,當(dāng)無限增大時(shí),.此時(shí),稱數(shù)列的極限為0,數(shù)列的極限為1.下面給出數(shù)列極限的一般定義.定義2.3如果當(dāng)無限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，那么就稱作數(shù)列的極限或稱數(shù)列收斂于．記為,或者(n)．根據(jù)數(shù)列極限的定義易知：，，，．由此可以推出下列結(jié)論：(1)，(2)，(3)．需要注意的是，并不是任何數(shù)列都是有極限的．例如，數(shù)列，當(dāng)無限增大時(shí)，也無限增大，不能無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列沒有極限．例2.7某企業(yè)獲得50萬元房產(chǎn)投資，該企業(yè)將該房產(chǎn)作為抵押品向銀行貸款，得到相當(dāng)于抵押品價(jià)值75%的貸款，企業(yè)將此貸款再進(jìn)行投資，并將再投資作為抵押品又向銀行貸款，仍得到相當(dāng)于抵押品75%的貸款，企業(yè)又將此貸款再進(jìn)行投資，這樣貸款—投資—再貸款—再投資—…，如此反復(fù)進(jìn)行擴(kuò)大再生產(chǎn).問該企業(yè)最多可獲投資多少萬元？解設(shè)企業(yè)所獲投資本金為,貸款額占抵押品價(jià)值的百分比為第次投資額為,次投資與再投資的資金總和記為,最多可獲投資記為，于是：第1次投資金額,第2次投資金額,第3次投資金額,第4次投資金額，………………..第n次投資金額.則次投資與再投資的資金總和為不難看出，隨著的無限增大，因?yàn)椋詿o限地接近于0，因此，投資與再投資的資金總和Sn隨著的無限增大而無限地接近于常數(shù)，即.本例中，，代入上式得.習(xí)題1.國(guó)家向某企業(yè)投資1000萬元，按連續(xù)復(fù)利年利率6%計(jì)算利息，規(guī)定3年后一次收回投資基金，到期企業(yè)應(yīng)向國(guó)家繳回投資基金多少？2.假設(shè)銀行存款年利率為2.25%,每年結(jié)息一次,若3年后要得到本利和600元,則當(dāng)年應(yīng)存入銀行多少元?3.人類按照4‰的年增長(zhǎng)率,由1000人繁衍到1億人大約需要多少年?4.某廠1980年的產(chǎn)值為1000萬元，到2000年末產(chǎn)值翻兩番，求該廠產(chǎn)值的年復(fù)合增長(zhǎng)率.第2講投入產(chǎn)出模式建立與決策咨詢-------總產(chǎn)值價(jià)值形成問題及解決方案教學(xué)目標(biāo)：掌握矩陣的概念，矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的乘法，逆矩陣和方程組的矩陣表示。教學(xué)內(nèi)容：矩陣的概念，矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的乘法和逆矩陣。教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的概念，矩陣的乘法，逆矩陣和方程組的矩陣表示教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的乘法和方程組的矩陣表示。本章的重點(diǎn)內(nèi)容就是討論如何求解線性方程組，為此,首先引入矩陣概念.一、矩陣的概念引例6.2線性方程組(6.2)的系數(shù)、右端常數(shù)按照原來的位置擺放，構(gòu)成一個(gè)矩形數(shù)表：(6.3)不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)表(6.3)決定了方程組(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么等問題.因而研究這個(gè)數(shù)表就很有必要.定義6.2由個(gè)數(shù)排成的行列的矩形數(shù)表稱為行列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，矩陣一般用大寫字母表示.如：矩陣A中的個(gè)數(shù)稱為矩陣的元素，而稱為矩陣的第行第列元素，一個(gè)矩陣也可簡(jiǎn)記為或.下面介紹幾類特殊的矩陣.(1)零矩陣:所有元素均為零的矩陣稱為零矩陣，記為或.(2)行矩陣:只有一行的矩陣稱為行矩陣.(3)列矩陣:只有一列的矩陣稱為列矩陣.(4)階方陣:矩陣稱為階方陣或階矩陣.(5)單位矩陣:如果階方陣滿足:(=1\*romani);(=2\*romanii)其余位置元素全為0.則稱該矩陣為n階單位矩陣,簡(jiǎn)記為In或I.下面三個(gè)矩陣分別為二階、三階和四階單位矩陣.I2=QUOTE10011001,I3=QUOTE1000100011000定義6.3如果兩個(gè)矩陣具有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。如果矩陣為同型矩陣，且對(duì)應(yīng)元素均相等，即且，則稱矩陣與矩陣相等，記作.例6.1已知,且,求.解由矩陣相等的概念,有,解得三、矩陣的運(yùn)算只有對(duì)矩陣定義一些有理論意義和實(shí)際意義的運(yùn)算，才能使矩陣成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問題的有力數(shù)學(xué)工具.1.矩陣的線性運(yùn)算定義6.4設(shè)有兩個(gè)矩陣，將其對(duì)應(yīng)位置元素相加，所得到的矩陣稱為矩陣與的和，記作.即值得注意的是:只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算.例6.2已知矩陣,求.解.定義6.5已知數(shù)與矩陣，將數(shù)乘以矩陣A的每一個(gè)元素,所得到的矩陣稱為數(shù)與矩陣A的乘積,記作.即.數(shù)與矩陣的乘積運(yùn)算稱為數(shù)乘運(yùn)算.例6.3設(shè)某物資的2個(gè)產(chǎn)地,與3個(gè)銷地,,之間的里程(單位：千米)可表示為下列矩陣如果每噸每千米的運(yùn)費(fèi)為12元，試用矩陣表示2個(gè)產(chǎn)地與3個(gè)銷地每噸的運(yùn)費(fèi)為多少元？解2個(gè)產(chǎn)地與3個(gè)銷地每噸的運(yùn)費(fèi)用矩陣表示為=當(dāng)時(shí)，稱為矩陣的負(fù)矩陣，記作,顯然有.那么矩陣的減法運(yùn)算可定義為.矩陣的加(減)法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算,它滿足以下運(yùn)算規(guī)律.設(shè)都是同型矩陣，是常數(shù),則=1\*GB2⑴;=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷.例6.4設(shè)==,=.若,試求.解由矩陣的數(shù)乘與加法的定義,有再由矩陣相等的定義,有解之得2.矩陣與矩陣的乘法定義6.6設(shè)有矩陣與矩陣,將矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和作為一個(gè)新矩陣的第i行第j列的元素()，所得到的這個(gè)矩陣稱為矩陣與的積,記作.即，其中.記號(hào)常讀作左乘或右乘.值得注意的是:=1\*GB2⑴只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，矩陣與才能作乘法運(yùn)算.=2\*GB2⑵矩陣的行數(shù)等于矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于矩陣的列數(shù).例6.5若，求.解矩陣的乘法一般不滿足交換律,即AB≠BA.兩個(gè)非零矩陣相乘,可能是零矩陣,故不能從AB=O推出A=O或B=O.也不能從AC=BC推出A=B,即矩陣乘法一般不滿足消去律.但是，單位矩陣I乘以矩陣A,等于A本身,即.例如,A=QUOTE-241-2-241-2,B=QUOTEAB=QUOTE-241-224-3-6-BA=QUOTE24-3-6-241-22由此可得,AB≠BA.但是，矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的)：=1\*GB2⑴結(jié)合律；=2\*GB2⑵分配率，；=3\*GB2⑶數(shù)乘結(jié)合律.3.矩陣的轉(zhuǎn)置定義6.7把矩陣的行換成相應(yīng)的列得到的新矩陣，稱為的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.即若，則若是矩陣，則是矩陣.例6.6已知矩陣，求.解例6.7已知,求解(1)首先計(jì)算于是，(2)矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷.4.逆矩陣定義6.8對(duì)于n階方陣A,如果存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=BA=I(6.4)則稱方陣A為可逆矩陣,而方陣B稱為A的逆矩陣.若滿足(6.4)式的方陣B不存在,則稱A為不可逆矩陣.例如,A=QUOTE12011201,則B=QUOTE1-20AB=QUOTE12011-20112011-201=QUOTE10011001,BA=定理6.1若方陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的.因此,方陣A的逆矩陣常記作A-1,例如,A=QUOTE12011201,則A-1=QUOTE1-20由定義6.8可知,若A-1=B,則B-1=A,即A與B互為逆矩陣.若方陣A可逆,則A的逆矩陣可通過Excel中的函數(shù)MINVERSE求得,具體使用方法請(qǐng)參見本章第二節(jié),求逆矩陣的數(shù)學(xué)原理將在第三節(jié)討論.四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示引入矩陣的概念與矩陣的運(yùn)算之后，對(duì)線性方程組的相關(guān)討論就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)相應(yīng)的矩陣的討論了.1.線性方程組的有關(guān)概念線性方程組就是指n元一次方程組,設(shè)含有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組為(6.5)記,,，則方程組(6.5)可表示為.其中,稱為方程組(6.5)的系數(shù)矩陣,B稱為右端常數(shù)矩陣,X稱為未知數(shù)矩陣.利用矩陣的乘法運(yùn)算將線性方程組(6.5)進(jìn)行簡(jiǎn)寫，其目的是將線性方程組的理論與矩陣?yán)碚撀?lián)系起來，這給線性方程組的討論帶來極大的方便。利用逆矩陣解線性方程組如果方程組(6.5)的系數(shù)矩陣為階可逆方陣(此時(shí)，未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等)，則在方程組兩邊同時(shí)左乘，得.(6.6)這便是方程組(6.5)的解。例4求解線性方程組解設(shè)，，利用EXCEL中的函數(shù)MINVERSE求得于是，利用(3)式得即所求線性方程組的解為。習(xí)題1．設(shè)，計(jì)算：（1）；（2）；（3）若滿足，求.2．計(jì)算：；（2）；3.設(shè)，，求及.4.試分別用初等變換法和逆矩陣法解下列線性方程組：（1）；（2）.第3講投入產(chǎn)出模式建立與決策咨詢-------總產(chǎn)值價(jià)值形成問題及解決方案教學(xué)目標(biāo)：會(huì)建立投入產(chǎn)出模型，掌握投入產(chǎn)出模型的求解；教學(xué)內(nèi)容：討論總產(chǎn)值形成問題及解決方案；教學(xué)重點(diǎn)：掌握直接消耗系數(shù)以及總產(chǎn)值價(jià)值形成問題及模型建立；教學(xué)難點(diǎn)：總產(chǎn)值價(jià)值形成問題與線性方程組的聯(lián)系。復(fù)習(xí)：1.矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的乘法，逆矩陣以及轉(zhuǎn)置矩陣；2.mmult,minverse以及transpose函數(shù)；3.用逆矩陣求解線性方程組。一、問題引入總產(chǎn)值價(jià)值形成問題引例6.1按照我國(guó)對(duì)三大產(chǎn)業(yè)的劃分,將國(guó)民經(jīng)濟(jì)體系分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門.設(shè)某年對(duì)它們的產(chǎn)品總產(chǎn)值分布進(jìn)行調(diào)查的結(jié)果如表6-1所示(表中數(shù)據(jù)均表示以萬億元人民幣計(jì)的產(chǎn)品價(jià)值).表6-1投入產(chǎn)出表單位:萬億元產(chǎn)出投入中間使用最終需求總產(chǎn)出工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)中間投入工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)1.80.612415610最初投入(增值)933總投入15610試建立線性方程組來確定當(dāng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)面臨的最終需求分別為33萬億元、8萬億元和16萬億元時(shí),各部門的總產(chǎn)出應(yīng)該是多少.問題分析任何產(chǎn)品生產(chǎn)的技術(shù)過程都是一個(gè)投入產(chǎn)出過程,引例要求我們回答的就是分析系統(tǒng)各部門之間相互輸入(投入)和輸出(產(chǎn)出)的產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)我們考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)每種產(chǎn)業(yè)都需要使用其他產(chǎn)業(yè)的“產(chǎn)出”作為自己的原材料,反過來,它所“產(chǎn)出”的產(chǎn)品又必然是某些別的產(chǎn)業(yè)的“投入”,從而構(gòu)成了相互依賴的關(guān)系.比如,把一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系分成農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)三大部分,農(nóng)業(yè)要利用服務(wù)業(yè)(如運(yùn)輸)和工業(yè)(如農(nóng)機(jī))的“產(chǎn)出”,反過來,服務(wù)業(yè)與工業(yè)當(dāng)然也要用到農(nóng)業(yè)產(chǎn)品作為它們的“投入”.那么,如何把各部門的投入來源和產(chǎn)出去向縱橫交叉地編制成投入產(chǎn)出表?如何根據(jù)投入產(chǎn)出表的平衡關(guān)系,建立投入產(chǎn)出模型?如何借助投入產(chǎn)出表和投入產(chǎn)出模型進(jìn)行各種經(jīng)濟(jì)分析?這些正是我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題的數(shù)學(xué)模型從表6-1可以歸納出以下基本的平衡關(guān)系:(1)從縱向看,中間投入+最初投入=總投入.以工業(yè)部門為例(第一列),工業(yè)部門消耗了它自身的投入3萬億元,消耗了來自農(nóng)業(yè)部門的投入1.5萬億元,消耗了來自服務(wù)業(yè)的投入1.5萬億元,同時(shí),它的最初投入為9萬億元,則它的總投入量為15萬億元.(2)從橫向看,中間使用+最終需求=總產(chǎn)出.以農(nóng)業(yè)部門為例(第二行),農(nóng)業(yè)部門向工業(yè)部門的輸出為1.5萬億元,向它自身的輸出為1.8萬億元,向服務(wù)業(yè)的輸出為2萬億元,同時(shí),它向其他機(jī)構(gòu)(如政府、出口等)的輸出(最終需求)為0.7萬億元,則它的總產(chǎn)出為6萬億元.(3)每一個(gè)部門的總投入等于該部門的總產(chǎn)出.定義6.1計(jì)算每個(gè)部門總產(chǎn)出1元價(jià)值的產(chǎn)品時(shí),將相應(yīng)各部門向該部門的直接輸出所占的比例稱為直接消耗系數(shù).直接消耗系數(shù)是常數(shù).由表6-1可知，工業(yè)部門的總產(chǎn)出為15萬億元,而工業(yè)生產(chǎn)過程中所消耗的農(nóng)業(yè)產(chǎn)品為1.5萬億元,所以單位工業(yè)產(chǎn)品所消耗的農(nóng)業(yè)產(chǎn)品為0.1元.類似地,將三個(gè)部門的中間投入數(shù)據(jù)分別除以本部門的總產(chǎn)出,便可得到直接消耗系數(shù)表,見表6-2.表6-2直接消耗系數(shù)表產(chǎn)出投入中間使用總產(chǎn)出工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)中間投入工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)QUOTE315315=0.2QUOTE1.5151.QUOTE1.5151.QUOTE0.660.QUOTE1.861.QUOTE0.660.QUOTE110110=0.1QUOTE210210=0.2QUOTE410410=0.415610顯然,直接消耗系數(shù)表示每生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品所需直接消耗的各部門產(chǎn)品的價(jià)值,它是對(duì)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測(cè)或規(guī)劃工作的基礎(chǔ).比如,若設(shè)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)的計(jì)劃總產(chǎn)出分別為x1萬億元、x2萬億元和x3萬億元,由表6-2便可得計(jì)劃投入產(chǎn)出表,見表6-3.表6-3計(jì)劃投入產(chǎn)出表單位:萬億元產(chǎn)出投入中間使用最終需求總產(chǎn)出工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)中間投入工業(yè)農(nóng)業(yè)服務(wù)業(yè)0.2x10.1x10.1x10.1x20.3x20.1x20.1x30.2x30.4x333816x1x2x3于是,根據(jù)投入產(chǎn)出表的平衡關(guān)系,有以下消耗平衡方程組QUOTE0.2x1+0.1整理,得QUOTE0.8x1－0投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示三元一次方程組(6.2)又稱為線性方程組，從引例6.的解決過程不難發(fā)現(xiàn)，投入產(chǎn)出問題的本質(zhì)是將問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)線性方程組.直接消耗系數(shù)表和最終需求(表6-3)可以用矩陣表示如下：，稱矩陣A為投入產(chǎn)出問題的直接消耗系數(shù)矩陣.顯然,aij表示每生產(chǎn)單位價(jià)值第j種產(chǎn)品所需直接消耗的第i種產(chǎn)品的價(jià)值.投入產(chǎn)出方程組(6.1)可以表示為整理得(I－A)X=Y.(6.3)式(6.6)即為方程組(6.2)的矩陣形式,稱為矩陣方程.如果矩陣I－A可逆,則在矩陣方程(6.6)兩邊同時(shí)左乘矩陣(I－A)-1,可得解的矩陣表示為X=(I－A)-1Y(6.4)其中,(I－A)-1為矩陣I－A的逆矩陣,稱為里昂惕夫逆矩陣.求解一個(gè)投入產(chǎn)出方程組,通常用逆矩陣法:先求出里昂惕夫逆矩陣(I－A)-1,再利用式(6.4)求出X.利用Excel中的minverse函數(shù)和mmult函數(shù)求解上述方程組,得x1=50,x2=30,x3=40.所以,當(dāng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)面臨的最終需求分別為33萬億元、8萬億元和16萬億元時(shí),三個(gè)部門的總產(chǎn)出應(yīng)該為50萬億元、30萬億元和40萬億元.完全消耗系數(shù)矩陣記表示單位價(jià)值的為完全消耗系數(shù)矩陣，其計(jì)算公式如下：。針對(duì)表一數(shù)據(jù)的完全消耗系數(shù)矩陣B為。矩陣B從更深層次上揭示了各產(chǎn)業(yè)部門間的相互依賴關(guān)系，如：若工業(yè)部門面臨的最終需求增加1元，那么不僅要增加0.2元工業(yè)產(chǎn)品、0.1元的農(nóng)業(yè)產(chǎn)品和0.1元服務(wù)業(yè)產(chǎn)品作為直接消耗，而且還將有約0.12(0.32-0.2)元工業(yè)產(chǎn)品、0.16(0.26-0.1)元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品和0.16(0.26-0.1)元服務(wù)業(yè)產(chǎn)品作為間接消耗。這表明，在統(tǒng)籌產(chǎn)品部門的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)，要充分考慮各個(gè)部門的承受能力，協(xié)調(diào)發(fā)展，這對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的計(jì)劃決策是十分重要而有意義的。二、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測(cè)模型1．問題的提出某企業(yè)2009年的投入產(chǎn)出表如下(單位：萬元)。2011年計(jì)劃三種產(chǎn)品的庫(kù)存量不變，銷售量分別比2009年增加30%、20%、40%，試預(yù)測(cè)該企業(yè)的總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購(gòu)產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。表6-42009年投入產(chǎn)出表(萬元)產(chǎn)出投入中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)品產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3庫(kù)存銷售產(chǎn)品1--4912924410551819產(chǎn)品2----29139920112701產(chǎn)品3------3717061077最終投入外購(gòu)產(chǎn)品910760302其它投入9091450455總投入1819270110772．解決方案根據(jù)表6-4，求得直接消耗系數(shù)矩陣為，而2011年三種產(chǎn)品的最終產(chǎn)出分別為設(shè)2011年三種產(chǎn)品的總產(chǎn)值則解得即2011年三種產(chǎn)品的總產(chǎn)值分別為2230.1萬元、3179.5萬元和1359.4萬元。下面討論該企業(yè)2011年中間產(chǎn)品和外購(gòu)產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。以產(chǎn)品2為例，2011年產(chǎn)品2的總投入為3179.5萬元，而單位價(jià)值產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1為0.1818元(見直接消耗系數(shù)矩陣)，所以，2011年產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1價(jià)值為3179.5×0.1818=578萬元。類似地，可得2011年的中間產(chǎn)品使用情況表(見表8-6)。由表6-4，可得三種產(chǎn)品生產(chǎn)過程中外購(gòu)產(chǎn)品占總投入的比例系數(shù)分別為0.5003、0.2814和0.2804，所以2011年三種產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的外購(gòu)產(chǎn)品價(jià)值分別為1115.7萬元、894.6萬元和381.2萬元。類似可得2011年其他投入分別為1114.4萬元、1706.9萬元和574.3萬元。匯總以上數(shù)據(jù)，得該企業(yè)2011年的投入產(chǎn)出情況表，見表6-5。表6-52011年投入產(chǎn)出表產(chǎn)出投入中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)品產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3庫(kù)存銷售產(chǎn)品1--578.036.62441371.52230.1產(chǎn)品2----367.33992413.23179.5產(chǎn)品3------371988.41359.4最終投入外購(gòu)產(chǎn)品1115.7894.6381.2其它投入1114.41706.9574.3總投入2230.13179.51359.4可見，總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購(gòu)產(chǎn)品以及其它投入(如折舊、利潤(rùn)稅金、企業(yè)管理費(fèi)和工資等)會(huì)隨著三種產(chǎn)品的銷量增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。習(xí)題1.表6-7是某經(jīng)濟(jì)體系中A、B兩個(gè)部門的投入產(chǎn)出資料,如果最終需求變成對(duì)A為210百萬元,對(duì)B為147百萬元,那么這個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中各部門的總產(chǎn)出是多少?表6-7投入產(chǎn)出表單位:百萬元產(chǎn)出投入使用方最終需求總產(chǎn)出AB生產(chǎn)方AB1206040401401003002002.對(duì)由M(制造)、L(勞動(dòng))和A(農(nóng)業(yè))三個(gè)部門組成的經(jīng)濟(jì)體系進(jìn)行調(diào)查,它們的產(chǎn)品投入產(chǎn)出分析資料如表6-8所示.表6-8投入產(chǎn)出表單位:億元產(chǎn)出投入買方最終需求總產(chǎn)出MLA賣方MLA12030667.5112.59201030392.5297.5155600450200當(dāng)對(duì)M、L和A的最終需求變?yōu)?50億元、330億元和67億元時(shí),列出相應(yīng)的表格,建立方程組,然后求出M、L和A新的總產(chǎn)出是多少.3.假定國(guó)民經(jīng)濟(jì)分為農(nóng)業(yè)、工業(yè)和其他三個(gè)部門,其投入產(chǎn)出的相互關(guān)系見表6-9.表6-9投入產(chǎn)出表單位:億元中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)工業(yè)其他中間投入農(nóng)業(yè)工業(yè)其他3249469046606900865039001150700050007845141219414191443446122974增加值6545150119824總投入191443446122974又假定計(jì)劃年度內(nèi),農(nóng)業(yè)、工業(yè)和其他三個(gè)部門的增加值指標(biāo)分別為8433億元、15067億元、9885億元.試就下列問題進(jìn)行討論:(1)為實(shí)現(xiàn)各部門的計(jì)劃指標(biāo),三個(gè)部門應(yīng)分別生產(chǎn)多少總產(chǎn)出?(2)為實(shí)現(xiàn)各部門的計(jì)劃指標(biāo),三個(gè)部門生產(chǎn)及相互提供的中間產(chǎn)品是多少?(3)為實(shí)現(xiàn)各部門的計(jì)劃指標(biāo),各部門的最終使用產(chǎn)品將達(dá)到多少?第四講最優(yōu)配置與最佳效果分析-------安排生產(chǎn)問題及解決方案教學(xué)目標(biāo)：掌握安排生產(chǎn)問題的解決方案。教學(xué)內(nèi)容：討論安排生產(chǎn)問題問題，線性規(guī)劃概念及圖解法。教學(xué)重點(diǎn)：建立線性規(guī)劃模型教學(xué)難點(diǎn)：安排生產(chǎn)問題與線性規(guī)劃模型的聯(lián)系一、問題引入引例：美國(guó)空軍為了保證士兵的營(yíng)養(yǎng)，規(guī)定每餐的食品中，要保證一定的營(yíng)養(yǎng)成份，例如蛋白質(zhì)、脂肪、維生素等等，都有定量的規(guī)定。當(dāng)然這些營(yíng)養(yǎng)成分可以由各種不同的食物來提供，例如牛奶提供蛋白質(zhì)和維生素，黃油提供蛋白質(zhì)和脂肪，胡蘿卜提供維生素，等等。由于戰(zhàn)爭(zhēng)條件的限制，食品種類有限，又要盡量降低成本，于是在一盒套餐中，如何決定各種食品的數(shù)量，使得既能滿足營(yíng)養(yǎng)成分的需求，又可以降低成本？問題分析：在本例中要利用有限的資源，去使得一份套餐既能滿足營(yíng)養(yǎng)要求又可以降低成本。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來說，就是在一定的約束條件下，求線性函數(shù)的最大和最小值問題。更加廣義的來看待配餐問題，我們知道，現(xiàn)代的企業(yè)管理問題千變?nèi)f化，企業(yè)內(nèi)部的生產(chǎn)計(jì)劃有各種不同的情況。從空間層次看，在工廠要根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制定產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，在車間級(jí)則要根據(jù)產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制定生產(chǎn)批量計(jì)劃。而這類問題都可以通過建立相應(yīng)的線性規(guī)劃模型來解決。那么，什么是線性規(guī)劃？怎樣建立線性規(guī)劃模型？這正是我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。二、典型問題解決方案案例1：某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用、、3種不同的原料．從工藝資料知道：每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品，需耗用3種原料分別為1，1，0單位；生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品，需耗用3種原料分別為1，2，1單位．每天原料供應(yīng)的能力分別為6，8，3單位．又知道每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品，企業(yè)的利潤(rùn)收入為300元，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品，企業(yè)利潤(rùn)收入為400元．那么該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使一天的總利潤(rùn)最大呢？解決方案：設(shè)企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品為噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品為噸，稱，為決策變量，他們不能任意取值，要受到可供利用的原料資源數(shù)量的限制．又因?yàn)楫a(chǎn)品的產(chǎn)量一般是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以有，，稱為非負(fù)約束．由于生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需耗用3種原料分別為1，1，0單位，因而生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品需要耗用3種原料分別為，，0單位；由于生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需耗用3種原料分別為1，2，1單位，因而生產(chǎn)噸乙產(chǎn)品需要耗用3種原料分別為，2，單位．又因?yàn)槊刻?種原料的供應(yīng)能力分別為6，8，3單位，所以當(dāng)企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，乙產(chǎn)品噸時(shí)，對(duì)于原料、、，我們有如下的不等式：原料：，原料：，原料：.上面得到的3種原料的線性不等式是決策變量，取值所必須滿足的條件，它們約束了決策變量，不能取任意值，稱它們?yōu)榧s束條件．容易看出，滿足約束條件的變量，的值不唯一，即表示約束條件的線性不等式組有無窮多組解．如是一組解，此外也是一組解，還可以找出許多．這說明僅考慮到原料供應(yīng)量的制約，對(duì)生產(chǎn)的安排是有選擇余地的．這些安排生產(chǎn)的方案都是可行的，應(yīng)該從中挑選出最優(yōu)方案．那么，根據(jù)什么挑選最優(yōu)方案？由于每一個(gè)可行方案，即每一組滿足約束條件的變量值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)兩種產(chǎn)品的總利潤(rùn)，在一般情況下，不同可行方案所對(duì)應(yīng)的總利潤(rùn)也不相同，所以應(yīng)該找出使得總利潤(rùn)最大的可行方案，這就是最優(yōu)方案．由于生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品企業(yè)的利潤(rùn)收入為300元，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品企業(yè)的利潤(rùn)收入為400元．于是甲乙兩種產(chǎn)品的總利潤(rùn)為元，它是決策變量，的線性函數(shù)，稱函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)．這樣，最優(yōu)方案就是使得目標(biāo)函數(shù)最大的可行方案．綜上所述，得到描述原問題的數(shù)學(xué)模型如下：（1）利用Excel求解可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值元．線性規(guī)劃的相關(guān)概念從引例1可知最優(yōu)化問題就是在給定條件下尋找最優(yōu)方案的問題，其數(shù)學(xué)模型由三部分組成的：=1\*GB3①?zèng)Q策變量；=2\*GB3②目標(biāo)函數(shù)；=3\*GB3③約束條件．進(jìn)一步，如果目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性關(guān)系，我們把這樣的最優(yōu)化問題稱為線性規(guī)劃問題，條件=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③稱為線性規(guī)劃問題的三要素．=1\*GB3①?zèng)Q策變量決策變量是指最優(yōu)化問題中所涉及的與約束條件和目標(biāo)函數(shù)有關(guān)的待確定的量.一般來說，它們都有一些限制條件（約束條件），與目標(biāo)函數(shù)緊密關(guān)聯(lián).如引例2企業(yè)生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品數(shù)量,是兩個(gè)決策變量，決策變量一般表示為.=2\*GB3②目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題中與變量有關(guān)的可以是求最大值，也可以是求最小值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)，例如，若目標(biāo)函數(shù)表示生產(chǎn)費(fèi)用，則希望生產(chǎn)費(fèi)用最小．無論目標(biāo)函數(shù)是最大還是最小，總之是希望目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)．目標(biāo)函數(shù)一般表達(dá)式為：.=3\*GB3③約束條件在最優(yōu)化問題中，求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，決策變量必須滿足的限制稱為約束條件.例如，許多實(shí)際問題變量要求必須非負(fù)，這是一種限制；在產(chǎn)品的安排生產(chǎn)問題時(shí)，產(chǎn)品的產(chǎn)量受到原材料、人力資源的限制等.在研究問題時(shí)，這些限制我們必須用數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確地描述它們.約束條件按照表達(dá)式可分為等式約束和不等式約束：不等式約束;等式約束.綜上所述，本章將要討論的線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型可表示如下(7.1)在線性規(guī)劃問題模型中，滿足約束條件的解稱為可行解，所有可行解的集合稱為可行集；使目標(biāo)函數(shù)取值最大或最小的可行解稱為最優(yōu)解，對(duì)應(yīng)于最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值稱為最優(yōu)值．三、圖解法學(xué)習(xí)圖解法的主要目的在于幫助理解線性規(guī)劃問題解的性質(zhì).下面首先通過一個(gè)具體實(shí)例來說明圖解法的原理和步驟.例7.1求解線性規(guī)劃問題解(1)建立平面直角坐標(biāo)系，畫出可行域.因?yàn)椋詽M足約束條件的點(diǎn)都落在第一象限及坐標(biāo)軸的正半軸上.在坐標(biāo)系中畫出直線，這條直線將整個(gè)坐標(biāo)平面分成兩個(gè)半平面，顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)滿足不等式，所以，滿足約束條件的所有點(diǎn)落在直線上及原點(diǎn)所在一側(cè)的半平面內(nèi).同理，滿足約束條件的所有點(diǎn)位于直線上及以該直線為分割線的原點(diǎn)所在一側(cè)的半平面內(nèi)；滿足約束條件的所有點(diǎn)位于直線上及以該直線為分割線的原點(diǎn)所在一側(cè)的半平面內(nèi).上述三個(gè)平面點(diǎn)集在第一象限的交集即為可行域（包含邊界），如圖7-1.可行域內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是該線性規(guī)劃問題的可行解.圖7-1可行域圖(2)繪制目標(biāo)函數(shù)等值線.在幾何上，目標(biāo)函數(shù)代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對(duì)應(yīng)一個(gè)值.落在同一條直線上的點(diǎn)，如果又落在可行域上，那么這樣的點(diǎn)就是具有相同目標(biāo)函數(shù)值的可行解，所以平行直線族中的每一條直線又稱為等值線.試探性給定值，如、，畫出相應(yīng)的等值線，如圖7-1.不難發(fā)現(xiàn)，等值線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，的值越大.(3)確定最優(yōu)解.最優(yōu)解必須是滿足約束條件，并使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值的解，故的值只能在可行域中去尋找.當(dāng)?shù)戎稻€由原點(diǎn)開始向右上方移動(dòng)時(shí)，的值逐漸增大，于是，當(dāng)移動(dòng)到與可行域相切時(shí)，切點(diǎn)就是代表最優(yōu)解的點(diǎn).本例中等值線與可行域的切點(diǎn)為，點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，坐標(biāo)為，所以，最優(yōu)解為，最優(yōu)值為19.通過例7.1，不難總結(jié)出圖解法的基本步驟如下：（1）根據(jù)約束條件畫出可行域；（2）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，并標(biāo)明目標(biāo)函數(shù)值增加的方向；（3）在可行域中，尋求符合要求的等值線與可行域邊界相切的點(diǎn)或點(diǎn)集，并求出最優(yōu)解和最優(yōu)值.例7.2某校伙食長(zhǎng)期以面粉和大米為主食，面食每100g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉.問：應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少?1.模型建立決策變量：設(shè)每盒盒飯需要面食（百克），米食（百克）.目標(biāo)函數(shù)：使費(fèi)用最少，即.約束條件：營(yíng)養(yǎng)需求約束：每盒盒飯至少需要含有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，故可得非負(fù)約束：每盒盒飯需要面食和米食的重量均必須大于等于0，所以有綜上所述，得藥品生產(chǎn)問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：2.圖解法求解(1)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖7-2所示.圖7-2配餐問題的可行域圖(2)目標(biāo)函數(shù)代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對(duì)應(yīng)一個(gè)值，如圖中虛線所示.(3)本例中等值線與可行域的切點(diǎn)為，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，坐標(biāo)為，所以，最優(yōu)解為，最優(yōu)值為.因此，當(dāng)每盒盒飯面食（百克），米食（百克）時(shí)既符合營(yíng)養(yǎng)要求又費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元.例7.3某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)=1\*ROMANI、=2\*ROMANII兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的消耗、資源的限制，如下表：表7-1產(chǎn)品的消耗、資源的限制表=1\*ROMANI=2\*ROMANII資源限制設(shè)備11300（臺(tái)時(shí)）原料A21400（千克）原料B01250（千克）單位產(chǎn)品獲利（元）50100問：工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少單位=1\*ROMANI、=2\*ROMANII產(chǎn)品才能使工廠獲利最多？1.模型建立決策變量：設(shè)產(chǎn)品=1\*ROMANI生產(chǎn)單位，產(chǎn)品=2\*ROMANII生產(chǎn)單位.目標(biāo)函數(shù)：要使得獲利最多，即約束條件：資源限制約束：設(shè)備的最多可用臺(tái)時(shí)為300臺(tái)時(shí)，即同理，原料A、B的消耗量不能超過資源限制，因此可得非負(fù)約束：每種原料的含量均必須大于等于0，所以有綜上所述，得藥品生產(chǎn)問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型為：2.圖解法求解(1)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖所示.圖7-3安排生產(chǎn)問題的可行域圖(2)目標(biāo)函數(shù)代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對(duì)應(yīng)一個(gè)值，如圖中直線.(3)本例中等值線與可行域的切點(diǎn)為，點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，坐標(biāo)為，所以，最優(yōu)解為，最優(yōu)值為27500.因此，當(dāng)工廠生產(chǎn)產(chǎn)品=1\*ROMANI：50單位，=2\*ROMANII：250單位時(shí)，獲得最大利潤(rùn)為27500元.線性規(guī)劃問題解的性質(zhì)圖解法雖然只能用來求解只含兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題，但通過它的解題思路和幾何直觀所得到的一些性質(zhì)，對(duì)線性規(guī)劃問題解的理解有很大的幫助.一般地，含兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題的解有下面四種情況：（1）有可行解且有唯一最優(yōu)解；（2）有可行解且有無窮多最優(yōu)解；（3）有可行解但無最優(yōu)解；（4）無可行解.同時(shí)，若線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，它一定在可行域的某個(gè)頂點(diǎn)得到，若在兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)得到最優(yōu)解，則它們連線段上的任意一點(diǎn)都是最優(yōu)解，即有無窮多最優(yōu)解.上述結(jié)論可以推廣到變量多于兩個(gè)的一般情形，得線性規(guī)劃問題解的性質(zhì)如下：性質(zhì)1求解線性規(guī)劃問題時(shí)，解的情況有：唯一最優(yōu)解、無窮多最優(yōu)解、無界解、無可行解.性質(zhì)2若線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則最優(yōu)解或最優(yōu)解之一（如果有無窮多最優(yōu)解）一定可以在基可行解(頂點(diǎn))中找到.習(xí)題1．試述線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的組成部分及特征，判別下列數(shù)學(xué)模型是否為線性規(guī)劃模型（模型中為常數(shù)，為可取某一常數(shù)值的參變量，為變量）。2.考慮如表9.2所示的生產(chǎn)計(jì)劃問題，建立線性規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)生產(chǎn)方案。表9.23某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h.該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，以使得總利潤(rùn)最大？4．某礦山車隊(duì)有4輛載重量為10t的甲型卡車和7輛載重量為6t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石至冶煉廠，已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)最低?5．某家具制造廠生產(chǎn)五種不同規(guī)格的家具，每件家具都要經(jīng)過機(jī)械成型、打磨和上漆等主要生產(chǎn)工序。每種家具在每道工序所使用的時(shí)間、每道工序的可用時(shí)間、每種家具的利潤(rùn)等數(shù)據(jù)如下表9.3所示。問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能使總利潤(rùn)最大？表9.3家具生產(chǎn)數(shù)據(jù)表長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案課程名稱長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課題描述性統(tǒng)計(jì)分析授課課時(shí)2課型新授課教案編號(hào)教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、技能、素質(zhì)）：1、知識(shí)目標(biāo)：掌握基本統(tǒng)計(jì)量及線性相關(guān)的度量。2、技能目標(biāo)：分析解決問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力3、素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)：掌握基本統(tǒng)計(jì)量，散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布形狀，用EXCEL求常用統(tǒng)計(jì)量主要教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式、講授法教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容一、問題引入統(tǒng)計(jì)在日常生活和各類職業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用，例如，在社會(huì)學(xué)領(lǐng)域，需要調(diào)查青年對(duì)婚姻家庭、經(jīng)濟(jì)收入、相貌等因素的態(tài)度以便進(jìn)行正確引導(dǎo)；在康復(fù)醫(yī)療領(lǐng)域，需要對(duì)患有抑郁癥的病人，按照測(cè)量得到的指標(biāo)，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貧w類以便進(jìn)行有針對(duì)性的治療；在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，需要考慮商品的市場(chǎng)反應(yīng)與價(jià)格、消費(fèi)者收入和廣告等因素之間的相互關(guān)系，以及建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)等問題。二、新課講授（1）重要統(tǒng)計(jì)概念在一個(gè)描述性統(tǒng)計(jì)問題中，往往涉及到三個(gè)主要概念：總體、樣本以及描述性統(tǒng)計(jì)。定義1：總體是指研究對(duì)象的某一個(gè)指標(biāo)(或多個(gè))全體，組成總體的每一個(gè)單元稱為個(gè)體，總體中所包含個(gè)體的總數(shù)稱為總體容量。定義2：在總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，記其指標(biāo)值為X1,X2,…,Xn，則X1,X2,…,Xn稱為總體的一個(gè)樣本，n稱為樣本容量，樣本中的個(gè)體稱為樣品。（2）常用統(tǒng)計(jì)量定義5統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)理論中用來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、檢驗(yàn)的變量。=1\*romani）中心趨勢(shì)中心趨勢(shì)又稱為定位度量或者平均數(shù)，是一組數(shù)據(jù)典型的或者有代表意義的值。由于這些典型值趨向于落在根據(jù)數(shù)值大小排列的數(shù)據(jù)的中心，因此被稱為中心趨勢(shì)度量?？梢远x中心趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量包括：算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等。算數(shù)平均數(shù)(簡(jiǎn)稱為樣本均值)：設(shè)一個(gè)樣本的觀測(cè)值為，樣本算數(shù)平均數(shù)記為，則有.其中，符號(hào)“”表示將記作的意思，讀成“記作”。幾何平均數(shù)：度量平均值的另一種方法，特別是在計(jì)算平均增長(zhǎng)率、平均收益率時(shí)被經(jīng)常使用。中位數(shù)：把所有觀測(cè)值依序排列(遞增或遞減)，位于最中間的觀測(cè)值就是中位數(shù)。當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則中位數(shù)是位于中間的兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)。眾數(shù)：樣本觀測(cè)值中發(fā)生次數(shù)最多的觀測(cè)值。使用眾數(shù)作為中心趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量，會(huì)有兩個(gè)問題：第一，在一個(gè)小樣本內(nèi)，它可能不是一個(gè)很好的觀測(cè)值；第二，它可能不唯一。例9.1求引例9.1牙膏銷售問題中的本公司銷售價(jià)格的平均價(jià)格，價(jià)格的眾數(shù)和中位數(shù)？解平均價(jià)格；因?yàn)楸竟句N售價(jià)格3.7元出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)；將本公司銷售價(jià)格從低到高排序，第15位、第16位都是3.75，因此中位數(shù).對(duì)于一組數(shù)據(jù)，僅僅知道平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等這些描述數(shù)據(jù)中心趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量還不夠，還需知道數(shù)據(jù)的分散程度.描述數(shù)據(jù)的分散程度的常用統(tǒng)計(jì)量有極差、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差等.=2\*romanii）離散趨勢(shì)除了知道中心趨勢(shì)外，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述還需要知道數(shù)據(jù)圍繞中心點(diǎn)是如何分散的，稱之為離散趨勢(shì)。常用的統(tǒng)計(jì)量有：極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和方差系數(shù)等。極差：樣本最大觀測(cè)值和最小觀測(cè)值之間的差。樣本方差：一個(gè)樣本的觀測(cè)值為，樣本算數(shù)平均數(shù)記為，樣本方差記為，則有.需要注意的是，樣本方差的計(jì)算公式中，是使用偏差平方和除以，而不是除以，這是因?yàn)槲覀冊(cè)谟脴颖竟烙?jì)總體時(shí)，除以所建立起的統(tǒng)計(jì)量是對(duì)總體方差更好的估計(jì)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本方差的算術(shù)平方根，即。樣本方差在比較兩組或者更多組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，是一個(gè)很好的統(tǒng)計(jì)量。通常，樣本方差越大，代表數(shù)據(jù)本身的離散程度越大。而樣本標(biāo)準(zhǔn)差則可以幫助我們了解數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)區(qū)域。方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)能較好的反映出數(shù)據(jù)的離散程度，是描述一組數(shù)據(jù)變異程度或離散程度大小的重要指標(biāo).例9.2求引例9.1牙膏銷售問題中的本公司銷售價(jià)格的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解因?yàn)楸竟句N售價(jià)格的最大值為3.9，最小值為3.55，所以極差為R=3.9－3.55=0.35,,.方差系數(shù)：樣本觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本均值的結(jié)果，即.例9.3表3-7給出了東風(fēng)汽車和上海機(jī)場(chǎng)兩種股票在12個(gè)交易日的價(jià)格，試比較兩種股票價(jià)格在這12個(gè)交易日內(nèi)的活躍程度。表3-7兩只股票12個(gè)交易日的價(jià)格表日期東風(fēng)汽車上海機(jī)場(chǎng)日期東風(fēng)汽車上海機(jī)場(chǎng)200503103.1716.06200503182.9716.52200503113.1616.55200503212.9416.65200503143.1017.27200503222.71171016.82200503232.7416.90200503163.0916.60200503242.7616.86200503173.0216.65200503252.7516.79解分別計(jì)算兩組樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差和方差系數(shù)，得東風(fēng)汽車：均值為2.96，標(biāo)準(zhǔn)差為0.176，方差系數(shù)為0.059；上海機(jī)場(chǎng)：均值為16.74，標(biāo)準(zhǔn)差為0.316，方差系數(shù)為0.019。如果從標(biāo)準(zhǔn)差來看，上海機(jī)場(chǎng)的股票活躍程度要大于東風(fēng)汽車，但從方差系數(shù)來看，上海機(jī)場(chǎng)的方差系數(shù)僅為0.019，遠(yuǎn)小于東風(fēng)汽車的0.059。兩者存在矛盾是因?yàn)樯虾C(jī)場(chǎng)的股價(jià)要高于東風(fēng)汽車，因此含有量綱的標(biāo)準(zhǔn)差就會(huì)偏高，而采用方差系數(shù)考慮了股價(jià)的均值，因此能更好地反映股價(jià)的活躍程度，因此可以從方差系數(shù)做出判斷，東風(fēng)汽車股價(jià)的活躍度高于上海機(jī)場(chǎng)。=3\*romaniii）分布形狀隨機(jī)變量的分布形狀主要包括偏度和峰度。偏度：反映以平均值為中心的分布的不對(duì)稱程度的量，其計(jì)算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，為樣本容量。若sk<0，則分布具有負(fù)偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值左邊的比位于右邊的少，直觀表現(xiàn)為左邊的尾部相對(duì)于右邊的尾部要長(zhǎng)，因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很小，使曲線左側(cè)尾部拖得很長(zhǎng).若sk>0，則分布具有正偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的少，直觀表現(xiàn)為右邊的尾部相對(duì)于左邊的尾部要長(zhǎng)，因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很大，使曲線右側(cè)尾部拖得很長(zhǎng).而sk接近0則可認(rèn)為分布是對(duì)稱的。如圖3-11所示。圖3-11三種偏態(tài)示意圖如果偏度表示的是數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱程度，則峰度用來表述分布的尖銳度或者平坦度，用與正態(tài)分布的比較值來度量。峰度：反映與正態(tài)分布相比某一分布的尖銳度或平坦度，其計(jì)算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，為樣本容量。若bk<0，則表示峰度比正態(tài)分布平坦；若bk>0，則表示峰度比正態(tài)分布陡峭；若bk=0，則表示峰度跟正態(tài)分布相同。如圖3-12所示。圖3-11三種峰度示意圖例9.4表3-8給出某股票在18個(gè)交易日的價(jià)格，試求該股票價(jià)格的偏度和峰度。表3-8某股票18個(gè)交易日的價(jià)格表日期價(jià)格日期價(jià)格日期價(jià)格200503106.4200503186.29200503285.97200503116.38200503216.16200503295.93200503146.44200503226.12200503305.94200503156.36200503236.08200503315.54200503166.24200503245.99200504015.36200503176.35200503255.93200504045.4解數(shù)據(jù)的偏度和峰度的計(jì)算公式較為復(fù)雜，我們可以借助EXCEL輔助計(jì)算。其中，偏度的EXCEL指令是“=SKEW(數(shù)據(jù)對(duì)象)”，峰度的EXCEL指令是“=KURT(數(shù)據(jù)對(duì)象)”。借助EXCEL求解，可得該股票價(jià)格的偏度，峰度為。說明股票價(jià)格成負(fù)偏態(tài)；峰度值接近于0，其陡峭程度與正態(tài)分布接近。事實(shí)上，由于上述統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用十分廣泛，EXCEL在分析工具中專門編寫了“描述統(tǒng)計(jì)”指令來實(shí)現(xiàn)快速和智能化的計(jì)算，其調(diào)用步驟為：?jiǎn)螕簟緮?shù)據(jù)】中的【數(shù)據(jù)分析】命令，在彈出的數(shù)據(jù)分析對(duì)話框中，選中【描述統(tǒng)計(jì)】。注意：如果在【數(shù)據(jù)】中沒有見到【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)，則要依次通過【文件】【選項(xiàng)】【加載項(xiàng)】【轉(zhuǎn)到】，在出現(xiàn)的【加載宏】對(duì)話框中選定【分析工具庫(kù)】。（3）相關(guān)分析與回歸分析現(xiàn)實(shí)生活中，事物之間存在相互關(guān)系.比如，職業(yè)種類和收入之間的關(guān)系、商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系、糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系、人體類內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系、工業(yè)產(chǎn)值與用電量等等.認(rèn)識(shí)事物之間的關(guān)系可以對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)和推斷.下面將介紹線性相關(guān)關(guān)系，并利用線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行回歸分析.1.變量間相關(guān)關(guān)系的描述與度量什么是線性相關(guān)關(guān)系？由表9-1看出，隨著其他廠家平均價(jià)格與本公司銷售價(jià)格之差(即價(jià)格差)的增加，牙膏銷售量也在增加，這就說明牙膏銷售量與價(jià)格差有關(guān)系，但是這種關(guān)系不是我們以前研究過的函數(shù)關(guān)系.也就是說當(dāng)一個(gè)變量(如價(jià)格差)確定后，無法確定另一個(gè)變量(如牙膏銷售量).相關(guān)關(guān)系是指變量之間確實(shí)存在密切關(guān)系，但是一個(gè)變量或幾個(gè)變量取的確定值時(shí)，不能求出另一個(gè)變量的確定值，而在大量的資料中，這種關(guān)系又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的關(guān)系.為了刻畫變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，可以通過散點(diǎn)圖直接觀察，也可以通過相關(guān)系數(shù)的大小進(jìn)行判斷.=1\*GB2⑴散點(diǎn)圖用坐標(biāo)的水平軸代表自變量，縱軸代表因變量，每組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中用一個(gè)點(diǎn)表示，組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中形成的個(gè)點(diǎn)稱為散點(diǎn)，由坐標(biāo)及其散點(diǎn)形成的二維數(shù)據(jù)圖稱為散點(diǎn)圖(scatterdiagram).散點(diǎn)圖是描述變量之間關(guān)系的一種直觀方法，從中可以大體上看出變量之間的關(guān)系形態(tài)及關(guān)系強(qiáng)度.如果散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)都大致分布在一條直線的周圍，這就說明變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，否則不存在線性相關(guān)關(guān)系.以引例9.1中所給的數(shù)據(jù)為例，得到牙膏銷售量對(duì)價(jià)格差及廣告費(fèi)用的散點(diǎn)圖分別如圖9-1、圖9-2所示.圖9-1銷售量對(duì)價(jià)格差散點(diǎn)圖圖9-2銷售量對(duì)廣告費(fèi)用散點(diǎn)圖由圖9-1、圖9-2可以看出，雖然數(shù)據(jù)點(diǎn)不全在一條直線上，但近似在一條直線附近.因此可以認(rèn)為牙膏銷售量對(duì)價(jià)格差及廣告費(fèi)用之間存在線性相關(guān)關(guān)系.=2\*GB2⑵相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)是對(duì)變量之間線性關(guān)系密切程度的度量.若變量的個(gè)數(shù)據(jù)，，則變量相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為.其中.可以證明，相關(guān)系數(shù)的取值范圍在+1和－1之間，即.若，表明變量之間存在正線性相關(guān)關(guān)系；若，表明變量之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)時(shí)，變量可視為高度相關(guān);時(shí)，變量可視為中度相關(guān);時(shí)，變量可視為低度相關(guān);當(dāng)時(shí)，說明變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不線性相關(guān).例9.5根據(jù)表9-1中所給的數(shù)據(jù)，計(jì)算牙膏銷售量和價(jià)格差以及牙膏銷售量和廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù).解牙膏銷售量和價(jià)格差之間的相關(guān)系數(shù)為.牙膏銷售量和廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)為.從牙膏銷售量對(duì)價(jià)格差及廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)可知，牙膏銷售量對(duì)價(jià)格差及廣告費(fèi)用是高度相關(guān)的，它們之間有比較明顯的線性相關(guān)關(guān)系.一般地，越接近于1，線性關(guān)系越顯著，用一條直線來描述它們之間的相關(guān)關(guān)系就越有意義.越接近于0，線性關(guān)系越不顯著，用一條直線來描述它們之間的相關(guān)關(guān)系則意義不大.但這種解釋必須建立在對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的基礎(chǔ)之上.從相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算量比較大，在實(shí)際應(yīng)用過程中，我們可通過EXCEL的CORREL函數(shù)求兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù).課后小記長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案課程名稱長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課題相關(guān)分析與線性回歸授課課時(shí)2課型新授課教案編號(hào)教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、技能、素質(zhì)）：1、知識(shí)目標(biāo)：掌握相關(guān)分析的含義及相關(guān)系數(shù)的計(jì)算；掌握一元線性回歸和多元線性回歸的過程2、技能目標(biāo)：分析解決問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力3、素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)：相關(guān)系數(shù)的計(jì)算；一元線性回歸和多元線性回歸方法教學(xué)難點(diǎn)：多元線性回歸方法主要教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式、講授法教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容一、新課講授回歸分析的含義相關(guān)分析研究的是現(xiàn)象之間是否相關(guān)、相關(guān)的方向和密切程度，而回歸分析則要分析現(xiàn)象之間相關(guān)的具體形式，確定其因果關(guān)系，并用數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)其具體關(guān)系?；貧w的種類=1\*romani）根據(jù)自變量的個(gè)數(shù)，可分為一元回歸與多元回歸=2\*romanii）根據(jù)回歸的表現(xiàn)形式，可分為線性回歸與非線性回歸一元線性回歸設(shè)隨機(jī)變量與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。這里，是可以控制或可以精確觀測(cè)的變量，如年齡、試驗(yàn)時(shí)的溫度、電壓等。對(duì)于的一組不完全相同的值，作獨(dú)立試驗(yàn)得到n對(duì)觀測(cè)結(jié)果，其中，是處對(duì)隨機(jī)變量的觀測(cè)結(jié)果，構(gòu)成一個(gè)容量為n的樣本。我們假定與之間有如下關(guān)系：其中，表示所有的隨機(jī)因素對(duì)影響的總和(也稱為隨機(jī)誤差)，并假定是一組相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量。則一元線性回歸的任務(wù)就是從樣本出發(fā)去估計(jì)上式中的未知參數(shù)。案例1從我校學(xué)生中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表3-9所示。表3-9隨機(jī)選取的8名女大學(xué)生身高與體重?cái)?shù)據(jù)編號(hào)12345678身高/cm150152157160162165168170體重/kg4350485761545964試求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)身高為172cm的女大學(xué)生的體重。解由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量x，體重為因變量y，設(shè)一元線性回歸方程為：，其中，分別是的估計(jì)值。當(dāng)變量取時(shí)，可以得到，它與實(shí)際體重之間的偏差是(如圖3-12所示).若記,則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)取什么值時(shí)使Q值最小，即總體偏差最小。也可以理解為確定回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小。這一方法叫做最小二乘法。圖3-12據(jù)最小二乘法的思想和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得回歸系數(shù)在本例中，，因此，.于是，得到回歸方程.據(jù)此可以預(yù)測(cè)，對(duì)于身高172cm的女大學(xué)生，其體重的估計(jì)值為(kg).顯然，身高172cm的女大學(xué)生的體重不一定是64.357kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于64.357kg，圖3-12中的樣本點(diǎn)和回歸直線的相互位置說明了這一點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，通過回歸方程得到的預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值之間會(huì)有一個(gè)誤差，該誤差的產(chǎn)生可歸結(jié)為以下兩個(gè)原因：(1)預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值之間會(huì)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)誤差。因?yàn)橐粋€(gè)人的體重除了受身高的影響外，還受到許多其他因素的影響，如飲食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)動(dòng)等。這些因素對(duì)預(yù)報(bào)值的干擾即產(chǎn)生了隨機(jī)誤差。(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得到的估計(jì)值，它們與真是值之間也存在誤差。對(duì)于任何一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不管它們實(shí)際上是否存在線性關(guān)系，我們都可以用最小二乘法在形式上得到y(tǒng)對(duì)x的回歸方程，這顯然有問題。因此，還需要對(duì)隨機(jī)變量y與非隨機(jī)變量x之間的線性關(guān)系的存在性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。對(duì)于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)原理，我們不做介紹，這里只根據(jù)EXCEL求解結(jié)果分析回歸模型的有效性。單擊【數(shù)據(jù)】中的【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)，選中【回歸】，按要求輸入數(shù)據(jù)，選擇求解參數(shù)(置信度定為95%)，可得回歸分析的部分結(jié)果如表3-10所示(詳細(xì)求解方法見實(shí)訓(xùn)三)。表3-10例9的EXCEL求解結(jié)果回歸系數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間－83.0714[－161.3310,－4.8118]0.8571[0.3699,1.3443]r=0.8692,R2=0.7554,SignificanceF=0.0051表3-10顯示，相關(guān)系數(shù)r=0.8692，說明身高與體重高度線性相關(guān)。R2表示身高變量對(duì)于體重變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好。在例9中，R2=0.7554，表明“女大學(xué)生的身高解釋了75.54%的體重變化”，或者說“女大學(xué)生的體重差異有64%是由身高引起的”。SignificanceF對(duì)應(yīng)的是在顯著性水平下的模型棄真概率，即模型為不可靠的概率。顯然，SignificanceF的值越小越好，本例中，其值為0.0051，故置信度達(dá)到99.49%。表3-10不僅給出了回歸系數(shù)的估計(jì)值，還給出了回歸系數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間，即我們可以有95%的把握保證回歸系數(shù)，。多元線性回歸在線性回歸分析中，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，就稱為多元線性回歸。案例3某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產(chǎn)品市場(chǎng)，有效地管理庫(kù)存，公司董事會(huì)要求銷售部門根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告投人等之間的關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的銷售量。為此，銷售部的研究人員收集了過去30個(gè)銷售周期(每個(gè)銷售周期為4周)公司生產(chǎn)的牙膏的銷售量、銷售價(jià)格、投人的廣告費(fèi)用，以及同期其它廠家生產(chǎn)的同類牙膏的市場(chǎng)平均銷售價(jià)格，見表3-11。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)，分析牙膏銷售量與這些因素之間的關(guān)系，為制訂價(jià)格策略和廣告投人策略提供數(shù)量依據(jù)。表3-11牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告費(fèi)用等數(shù)據(jù)銷售周期公司銷售價(jià)格其他廠家平均價(jià)格（元）廣告費(fèi)用（百萬元）價(jià)格差（元）銷售量（百萬支）13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.5133.704.307.250.609.5243.703.705.500.007.5053.603.857.000.259.3363.603.806.500.208.2873.603.756.750.158.7583.803.855.250.057.8793.803.655.25-0.157.10103.854.006.000.158.00113.904.106.500.207.89123.904.005133.704.107.000.409.10143.754.206.900.458.86153.754.106.800.358.90163.804.106.800.308.87173.7009.26183.804.307.000.509.00193.704.106.800.408.75203.803.756.50-0.057.95213.803.756.25-0.057.65223.753.656.00-0.107.27233.703.906.500.208.00243.553.657.000.108.50253.604.106.800.508.75263.654.256.800.609.21273.703.656.50-0.058.27283.753.756.750.007.67293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.26注：價(jià)格差指其它廠家平均價(jià)格與公司銷售價(jià)格之差解由于牙膏是生活必需品，對(duì)大多數(shù)顧客來說，在購(gòu)買同類產(chǎn)品的牙膏時(shí)更多地會(huì)在意不同品牌之間的價(jià)格差異，而不是它們的價(jià)格本身，因此，在研究各個(gè)因素對(duì)銷售量的影響時(shí)，用價(jià)格差代替公司銷售價(jià)格和其它廠家平均價(jià)格更為合適。記牙膏銷售量為，其它廠家平均價(jià)格與公司銷售價(jià)格之差(價(jià)格差)為，公司投入的廣告費(fèi)用為,為了大致地分析與及的關(guān)系，首先利用表3-11的數(shù)據(jù)分別作出y對(duì)及的散點(diǎn)圖，如圖3-13和3-14。圖3-13銷售量對(duì)價(jià)格散點(diǎn)圖圖3-14銷售量對(duì)廣告費(fèi)用散點(diǎn)圖從圖3-13及3-14可以發(fā)現(xiàn)，隨著、的增加，的值有比較明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，可用線性回歸模型來擬合銷售量與廣告費(fèi)用及價(jià)格差二者之間的數(shù)量關(guān)系。借助Excel回歸分析工具，得到回歸分析結(jié)果如表3-12所示。表3-10例10的EXCEL求解結(jié)果回歸系數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間4.8469[3.2986,6.3951]1.8061[1.1860,2.4261]0.4857[0.2332,0.7382]r=0.9316,R2=0.8678,SignificanceF=1.37×10-12根據(jù)表3-10的結(jié)果，得回歸方程模型為=4.8469+1.8061+0.4857相關(guān)系數(shù)r=0.9316,，說明牙膏銷售量與價(jià)格差、廣告費(fèi)用高度線性相關(guān)。R2=0.8678表明“價(jià)格差和廣告費(fèi)用兩個(gè)因素解釋了86.78%的銷售量的變化”。SignificanceF的值為1.37×10-12，故置信度幾乎達(dá)到100%?；貧w系數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間分別為，，。一、問題引入時(shí)間序列的一個(gè)重要目的，就是要掌握事物發(fā)展變化的規(guī)律和趨勢(shì)，對(duì)客觀現(xiàn)象未來發(fā)展的可能狀態(tài)進(jìn)行認(rèn)識(shí)。二、新課講授（1）時(shí)間序列的概念時(shí)間序列是指反映客觀現(xiàn)象的同一指標(biāo)在不同時(shí)間上的數(shù)值，按時(shí)間先后順序排列而形成的序列，它由兩個(gè)基本要素組成：一個(gè)是現(xiàn)象的所屬時(shí)間；另一個(gè)是反映該現(xiàn)象的同一指標(biāo)在不同時(shí)間條件下的具體數(shù)值。也稱為時(shí)間數(shù)列，或動(dòng)態(tài)數(shù)列。時(shí)間序列的一般形式是：時(shí)間順序:……指標(biāo)數(shù)值:……例如，表3-11是國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其部分構(gòu)成統(tǒng)計(jì)表,為一個(gè)時(shí)間序列。 表3-11國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其部分構(gòu)成統(tǒng)計(jì)表 年份（年）國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）第一產(chǎn)業(yè)增加值比重（%）年末人口總數(shù)（萬人）年均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（元∕人）199558478.120.511211214584199667884.620.391223895576199774462.619.091236266054199878345.218.571247616308199982067.517.631257866551200089468.116.351267437086200197314.815.8412762776512002105172.315.3212845382142003117390.214.4212922791112004136875.915.1712998810561（2）時(shí)間序列的趨勢(shì)分析研究時(shí)間序列的一個(gè)重要目的，就是要掌握事物發(fā)展變化的規(guī)律和趨勢(shì)，對(duì)客觀現(xiàn)象未來發(fā)展的可能狀態(tài)進(jìn)行認(rèn)識(shí)。時(shí)間序列的趨勢(shì)分析提供了一系列有效的方法。時(shí)間序列的形成是各種不同的影響事物發(fā)展變化的因素共同作用的結(jié)果。影響事物發(fā)展變化的因素很多，有起決定性作用的基本因素，也有起臨時(shí)作用的、局部作用的偶然因素。影響時(shí)間序列的因素歸納起來有四類，即長(zhǎng)期趨勢(shì)、季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)波動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)。由于現(xiàn)階段較為成熟的趨勢(shì)分析的數(shù)學(xué)方法主要是對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)變動(dòng)的測(cè)定，故這里只介紹這兩種情形。1.長(zhǎng)期趨勢(shì)：指客觀現(xiàn)象在一段較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi),持續(xù)呈現(xiàn)為同一方向發(fā)展變化的趨勢(shì)。2.季節(jié)變動(dòng)：指客觀現(xiàn)象因受自然條件或社會(huì)經(jīng)濟(jì)季節(jié)因素的影響，在一年或更短的時(shí)間內(nèi)，隨時(shí)序變化而引起的有規(guī)律的周期性變動(dòng)。一般以一年為周期，也有以月、周、日為周期的。（3）長(zhǎng)期趨勢(shì)的測(cè)定測(cè)定長(zhǎng)期趨勢(shì)就是用一定的方法對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行修勻，以消除序列中季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)波動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)等因素的影響，以顯示出現(xiàn)象變動(dòng)的基本趨勢(shì)，作為預(yù)測(cè)的依據(jù)。=1\*romani）簡(jiǎn)單平均法根據(jù)過去已有的n期觀測(cè)值通過簡(jiǎn)單平均來預(yù)測(cè)下一期的數(shù)值的一種預(yù)測(cè)方法，稱為簡(jiǎn)單平均法。設(shè)時(shí)間序列已有的n期觀測(cè)值為，則第期的預(yù)測(cè)值為,當(dāng)有了第期的實(shí)際值，便可計(jì)算出第期的預(yù)測(cè)誤差。,且第n+2期的預(yù)測(cè)值為.案例1已知某商場(chǎng)2008~2014年的年銷售額如表3-12所示，試用簡(jiǎn)單平均法預(yù)測(cè)2015年該商場(chǎng)的年銷售額。表3-12某商場(chǎng)2008~2015年銷售額年份2008200920102011201220132014銷售額(萬元)989610510199110103解根據(jù)簡(jiǎn)單平均法的計(jì)算公式，可得即預(yù)測(cè)2015年該商場(chǎng)的年銷售額為101.71萬元。=2\*romanii）移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法包括簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法。簡(jiǎn)單移動(dòng)平均是將最近的k期觀測(cè)數(shù)據(jù)加以平均，作為下一期的預(yù)測(cè)值。設(shè)移動(dòng)間隔為，則第n期的移動(dòng)平均值為，它是對(duì)時(shí)間序列的平滑結(jié)果，通過這些平滑值就可以描述出時(shí)間序列的變化形態(tài)或趨勢(shì)。當(dāng)然，也可以用它來進(jìn)行預(yù)測(cè)。第n+1期的簡(jiǎn)單移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值為.使用移動(dòng)平均法分析時(shí)間序列的變化趨勢(shì)，關(guān)鍵在于移動(dòng)步長(zhǎng)(或叫移動(dòng)項(xiàng)數(shù))的選擇。=3\*romaniii）指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法是對(duì)過去的觀察值加權(quán)平均進(jìn)行預(yù)測(cè)的一種方法，指數(shù)平滑法有一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑、三次指數(shù)平滑等；由于二次指數(shù)平滑是在一次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上再平滑，三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上再平滑。設(shè)為第n期的實(shí)際觀察值，為第n期的預(yù)測(cè)值，為平滑系數(shù)，則第n+1期的預(yù)測(cè)值為.從該公式可知，是和的加權(quán)平均數(shù)，的取值決定和對(duì)的影響程度。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。因此，合理的取值十分重要。一般來說，如果數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，值應(yīng)取大一些，可以增加近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響；如果數(shù)據(jù)波動(dòng)平穩(wěn)，值應(yīng)取小一些。案例2已知某種產(chǎn)品最近15個(gè)月的銷售量如表3-14所示。試用一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)下一個(gè)月的銷售量。表3-14某產(chǎn)品最近15個(gè)月的銷售量時(shí)間序列123456789101112131415銷售量10158201016182022242026272929解為了分析加權(quán)系數(shù)的不同取值的特點(diǎn)，分別取計(jì)算一次指數(shù)平滑。當(dāng)時(shí)，取,則,,…………..依次計(jì)算，得表3-15。表3-15一次指數(shù)平滑值計(jì)算表時(shí)間序列銷售量α=0.5α=0.7α=0.9110.00————215.0010.0010.0010.0038.0012.5013.5014.50420.0010.259.658.65510.0015.1316.9018.87616.0012.5612.0710.89718.0014.2814.8215.49820.0016.1417.0517.75922.0018.0719.1119.771024.0020.0421.1321.781120.0022.0223.1423.781226.0021.0120.9420.381327.0023.5024.4825.441429.0025.2526.2426.841529.0027.1328.1728.781628.0628.7528.98根據(jù)表3-15，分別取時(shí)，下一個(gè)月的銷售量預(yù)測(cè)值為28.06，28.75,28.98。課后小記長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案課程名稱長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課題邊際成本問題及解決方案授課課時(shí)2課型新授課教案編號(hào)教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、技能、素質(zhì)）：1、知識(shí)目標(biāo)：掌握邊際成本、邊際函數(shù)的定義與計(jì)算,掌握邊際收益、邊際利潤(rùn)的定義與計(jì)算2、技能目標(biāo)：分析解決問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力3、素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)：邊際成本、邊際函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義,邊際收益、邊際利潤(rùn)的計(jì)算以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：理解邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)的經(jīng)濟(jì)意義,主要教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式、講授法教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容一、問題引入引例：從杭州開往南京的長(zhǎng)途車即將出發(fā)。無論哪個(gè)公司的車，票價(jià)均為50元。一個(gè)匆匆趕來的乘客見一家國(guó)營(yíng)公司的車上尚有空位，要求以30元上車，被拒絕了。他又找到一家也有空位的私人公司的車，售票員二話沒說，收了30元允許他上車了。哪家公司的行為更理性呢？問題分析：乍一看，私人公司允許這名乘客用30元享受50元的運(yùn)輸服務(wù)，當(dāng)然虧了。但如果用邊際分析法分析，私人公司的確比國(guó)營(yíng)公司精明。當(dāng)我們考慮是否讓這名乘客以30元的票價(jià)上車時(shí)，實(shí)際上我們應(yīng)該考慮的是邊際成本和邊際收益這兩個(gè)概念。簡(jiǎn)單地說，邊際分析就是把追加的成本（即邊際成本）和追加成本后增加的收入（即邊際收入或邊際收益）相比較，來分析選擇的“得”與“失”。邊際成本是增加一名乘客(自變量)所增加的收益