2008年第三章《分式》專題專練

《分式》專題專練河北劉新民專題一：分式有意義、無意義、值為零的條件考查分式有意義、無意義以及值為零的條件，是中考中考查分式概念的重要題型．分式的分母是一個含有字母的式子，分母的值隨著式子中字母取值不同而變化，字母所取的值很可能使分母的值為零，這時分式就無意義了，所以分式有意義的條件是分母不等于零;分式的值為零的條件是分子為零并且分母不等于零．例1．若分式的值為零，則x的值為（）A．0B．1C．1D．±1分析：分式的值為零，必須同時滿足兩個條件①分式的分子等于0；②分式的分母不等于0．解：因為，所以x=±1．代入分母，當x=1時，分母≠0；當x=-1時，分母=0．所以當x=1時，分式的值為零．故應(yīng)選B．評注：對于此題切不可將分式進行約分，否則就會引起字母的取值范圍發(fā)生變化．例2．（2007，山東淄博）寫出一個含有字母的分式（要求：不論取任何實數(shù)，該分式都有意義，且分式的值為負）_____________.分析：本題是列代數(shù)式的開放題，通過審題明確本題列代數(shù)式的要求：①是含有字母的分式；②不論取任何實數(shù)，該分式的分母不等于零；③分式的值恒為負．解：本題的答案不唯一，如、等．評注：當遇到代數(shù)式的值恒為正或恒為負時，應(yīng)將問題轉(zhuǎn)化為非負數(shù)或非正數(shù)問題．相關(guān)練習(xí)：1．若的值為零，則x的值是（）A、B、1C、2．當時，分式的值（）A．沒有意義B．等于零C．等于1D．等于3．寫出一個分子為x－5的分式，且知它在x≠1時有意義的分式__________．4．若分式不論取何實數(shù)時總有意義，求的取值范圍．5．指出下列解題過程是否存在錯誤，若存在，請加以改正并求出正確的答案．題目：當x為何值，分式有意義？解：=，由x-2≠0，得x≠2．所以當x≠2時，分式有意義．專題二：分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)是分式的重要內(nèi)容，分式的基本性質(zhì)與分數(shù)的基本性質(zhì)類似，是分式變形、通分、約分的依據(jù)，因而是中考中?？嫉闹R點，涉及到的題型有約分、通分、分式的變形以及化簡求值等．分式基本性質(zhì)的實質(zhì)是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質(zhì)．例3．下列各式從左到右的變形正確的是（）A、B、C、D、分析：本題主要考查分式的基本性．分式的基本性質(zhì)是解決分式運算的原則，應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要深刻理解“都”與“同”兩個字的含義，避免出現(xiàn)只乘分子或分母一項的錯誤．解：對于A，由分式的基本性質(zhì)知；對于B，由分式的基本性質(zhì)知；對于C，由變號法則知；對于D，由變號法則知．綜上所述，變形正確的應(yīng)為A．評注：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)解題時，要特別注意性質(zhì)中都和同這兩個字的含義，有不少同學(xué)解這類問題時，忽視這一點，犯了不該犯的錯誤，望引起重視．例4．（2007，安徽蕪湖）如果，則=()A．B．1C．D．2分析：對于此題，可以用含有其中的一個字母的代數(shù)式表示出另一個字母，再代入、約分即可．解：因為，所以，則，故選B．評注：“主元法”是含條件分式求值的常用方法，它可以有效地起到消元、降次的作用．相關(guān)練習(xí)：1．若分式中的x、y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則此分式的值（）A．不變B．是原來的3倍C．是原來的D．是原來的2．將約分的結(jié)果為（）A. B.a6y2C.a2y2 D.axy(2)÷=×==．∴高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的倍．評注：（1）中對分母用了比差的方法，其中有a>1的隱含條件，是通過題意反映出來的．由“A玉米試驗田是邊長為a米的正方形減去邊長為1米的正方形蓄水池后余下部分”，可知邊長a米一定要大于1米，才能留出蓄水池后還有剩余．在解題時，對隱含條件的挖掘，往往在關(guān)鍵時刻顯示出重要作用．此外將數(shù)學(xué)應(yīng)用問題賦予實際生活背景，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，是近年來中考命題的思路之一．相關(guān)練習(xí)：1．化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．2．下列算式中，你認為錯誤的是（）A、B、C、D、3．已知兩個分式：，，其中，則A與B的關(guān)系是（）A．相等B．互為倒數(shù)C．互為相反數(shù)D．A大于B4．對于試題：“先化簡，再求值：，其中．”某同學(xué)寫出了如下解答：解：.當時，原式．她的解答正確嗎？如不正確，請你寫出正確解答．5．甲、乙二人一個月里兩次同時到一家糧油商店買大米，兩次大米的價格有變化，但他們兩人購買的方式不一樣，其中甲每次總是購買相同重量的大米，乙每次只能拿出相同數(shù)量的錢來買米，而不管能買多少，問這兩種買米方式哪一種更合算？請說明理由．專題四：分式方程的解法分式方程的解法是分式方程應(yīng)用的基礎(chǔ)，在近兩年中考中，關(guān)于分式方程解法的題目日益增多．分式方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解的，它是通過去分母實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的．此外，分式方程的增根也應(yīng)引起同學(xué)們的注意．分式方程的增根須滿足的以下兩個條件：（1）是由分式方程化成的整式方程的根；（2）使分式方程中的最簡公分母為零．例7．（2007，甘肅隴南）解方程：．分析：因為與互為相反數(shù)，所以可提取負號，先變?yōu)橥帜阜质?，再去分母，將分式方程化為整式方程．解：原方程即，方程兩邊都乘?)，得．經(jīng)檢驗是原方程的增根，∴原方程無解．評注：去分母的關(guān)鍵是找出最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但還應(yīng)注意：（1）靈活運用分式符號法則，有時將能使最簡分母更簡單，（2）方程兩邊同乘以最簡公分母時，別忘了常數(shù)項相乘（3）當去分母時，分數(shù)線消失，應(yīng)在分子部分添上括號，并且要特別注意符號．例8．（2007，湖北婁底）若方程無解，則m的值為（）A．B．3C．或3D．或分析：把分式方程化為整式方程，若整式方程無解，則分式方程一定無解；若整式方程有解，但要使分式方程無解，則該解必為使公分母為0時對應(yīng)的未知數(shù)的值，此時相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無解．解：去分母，得(3-2x)-(2+mx)=3-x,整理,得(m+1)x=-2．若m+1=0，則m=，此時方程無解；若m+1≠0，則x=是增根．因為=3，所以m=．所以m的值為或，故應(yīng)選D．評注：方程無解的條件，關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)化后的整式方程解的情況．既要考慮整式方程無解的條件，又要考慮整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問題要全面、周到．相關(guān)練習(xí)：1．分式方程的解為（）A.B.C.D.2．解分式方程時，去分母后得()A.B.C.D.3．關(guān)于的方程的解是負數(shù)，則的取值范圍是（）Ａ． Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．或4．解方程：．5．已知關(guān)于的方程有一個正數(shù)解，求的取值范圍．專題五：分式方程的應(yīng)用在近兩年的中考中，分式方程應(yīng)用的題目一直不少，小到選擇、填空，大到解答題，都有分式方程應(yīng)用的題目，所以作為一種方程類型，分式方程的應(yīng)用一定要引起同學(xué)們的高度重視，掌握解題的方法和步驟．列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，解題的關(guān)鍵是，認真審題，找出題中的等量關(guān)系．列分式方程解應(yīng)用題時必須驗根，一是檢驗求出的根是不是原分式方程的根；二是檢驗求出的根是否符合實際問題．例9．（2007，山東威海）甲、乙兩火車站相距1280千米，采用“和諧”號動車組提速后，列車行駛速度是原來速度的3.2倍，從甲站到乙站的時間縮短了11小時，求列車提速后的速度．分析：本題可以根據(jù)以下兩種數(shù)量關(guān)系列方程求解：⑴列車提速前的時間－提速后的時間＝11小時；⑵列車提速前的速度×3.2＝列車提速后的速度．解：解法一：設(shè)列車提速前的速度為千米/時，則提速后的速度為千米/時，根據(jù)題意，得．解這個方程，得．經(jīng)檢驗，是所列方程的根．（千米/時）．所以列車提速后的速度為256千米/時．解法二：設(shè)列車提速后從甲站到乙站所需時間為小時，則提速前列車從甲站到乙站所需時間為小時，根據(jù)題意，得．解這個方程，得．經(jīng)檢驗，是所列方程的根．所以列車提速后的速度為＝＝256千米/時．評注：列分式方程與列整式方程一樣，注意找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系．設(shè)好末知數(shù)，列出方程，不同之處是，所列方程是分式方程，最后要進行檢驗，既要檢驗是否為所列分式方程的解，又要檢驗其是否符合題意．相關(guān)練習(xí)：1．某化肥廠原計劃每天生產(chǎn)化肥噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，實際生產(chǎn)180噸與原計劃生產(chǎn)120噸的時間相等，那么適合的方程是（）A.B.C.D.2．甲乙兩地相距135千米，兩輛汽車從甲地開往乙地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，小汽車和大汽車的速度之比為5：2，則小汽車的速度是_____千米/時．3．某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過5m3，則每立方米收費1.5元，若每戶每月水超過5m3，則超出部分每立方米收取較高的定額費用，1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當月水費是17.5元，李家當月水費是27.5元，超出5m34．某商場銷售某種商品，第一個月將此商品的進價提高25%作為銷售價，共獲利6000元．第二個月商場搞促銷活動，將商品的進價提高10%作為銷售價，第二個月的銷售量比第一個月增加了80件，并且商場第二個月比第一個月多獲利400元．問此商品的進價是多少元？商場第二個月共銷售多少件？5．為了使貧困同學(xué)能順利讀完九年義務(wù)教育，我校組織了捐款活動．小華對七年級八年級兩班捐款的情況進行了統(tǒng)計，得到如下三條信息：信息一：七年級共捐款300元，八年級共捐款232元．信息二：八年級平均每人捐款錢數(shù)是八年級平均每人捐款錢數(shù)的．信息三：七年級比八年級多2人．請你根據(jù)以上三條信息，求出七年級平均每人捐款多少元．相關(guān)練習(xí)參考答案專題一1．C2．A3．不唯一，如4．，根據(jù)題意可知，由于，所以，即．5．在分式的分子、分母同除以(x+1)可能為零的代數(shù)式，擴大了x的取值范圍．正解:由(x+1)(x-2)≠0，得x+1≠0，且x-2≠0，所以x≠-1且x≠2．當x≠-1且x≠2時，分式有意義．專題二1．A2．B3．A4．（1）原式；（2）原式．5．把的分子分母同時除以，得，把代入，原式＝.專題三1．A2．B3．C4．正確；．5.設(shè)兩次大米的單價分別為元/千克、元/千克（），則甲平均每千克花了元，乙平均每