云南省曲靖市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（五）（12月）數(shù)學(xué)試題（含答案）

曲靖重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（五）數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，且，則a的值為（）．A．1 B． C． D．22．已知，則的虛部為（）．A． B． C．13 D．3．已知，則（）．A． B． C． D．34．已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）．A． B． C． D．5．根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級(jí)小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（）．A． B． C． D．6．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為A，B，則切點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)度為（）．A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，a，b，c成等差數(shù)列，則（）．A． B． C． D．8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，及，若，均為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）．A． B．的周期為2C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知x，y都是正數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．xy的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最大值為210．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線C交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為G．則下列說(shuō)法正確的是（）．A． B．當(dāng)時(shí)，直線l的斜率為B．GF始終平分 D．11．已知函數(shù)，如圖，A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．， B．在上單調(diào)遞增C．是的一條對(duì)稱軸 D．是曲線的一條切線12．遠(yuǎn)看曲靖一中文昌校區(qū)紫光樓主樓，一頂巨大的“博士帽”屹立在爨園之中．其基礎(chǔ)主體結(jié)構(gòu)可以看做是一個(gè)倒扣的正四棱臺(tái)．如圖所示，過(guò)作底面的垂線，垂足為G．記，，，面與面所成角為，面與面所成角為x，，，．A．正四棱臺(tái)的體積為B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，則__________．14．已知等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列中的最小項(xiàng)為_(kāi)_________．15．若函數(shù)的圖象在內(nèi)恰好有兩條對(duì)稱軸，則實(shí)數(shù)的值可以是__________（寫出一個(gè)滿足題意的即可）．16．已知函數(shù)，其中且．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知在中，，，．（1）求的外接圓半徑R；（2）求．18．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為梯形，且，，，E為PB邊上的一點(diǎn)，滿足．（1）求證：直線面；（2）F為線段BC的中點(diǎn)，求直線PF與平面所成角的余弦值．19．（本小題滿分12分）某興趣小組利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．（1）現(xiàn)有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚，其中紅鯉魚有4條．若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中有放回地捉取一條魚記錄相關(guān)數(shù)據(jù)．用X表示其中捉取到紅鯉魚的條數(shù)，請(qǐng)寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．（2）現(xiàn)有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚與黑鯉魚共10條，其中紅鯉魚有條，身為興趣小組隊(duì)長(zhǎng)的駱同學(xué)每次從池塘中捉了1條魚，做好記錄后放回池塘，設(shè)事件A為“從池塘中捉取魚3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚”．當(dāng)時(shí)，事件A發(fā)生的概率最大，求的值．20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，．（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的首項(xiàng)為，滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．21．（本小題滿分12分）已知拋物線，其頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線O的方程．（2）已知，，，是拋物線O上的三個(gè)點(diǎn)，且任意兩點(diǎn)連線斜率都存在．其中，均與相切，請(qǐng)判斷此時(shí)圓心C到直線的距離是否為定值，如果是定值，請(qǐng)求出定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)與有相同的最大值．（1）求a的值．（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列．2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（五）數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：1．B解答：因?yàn)榍?，集合A中必含元素0，1，所以，，根據(jù)集合中元素的互異性可知：．所以選擇B．2．C解：，所以，，，所以的虛部為13，故選擇C選項(xiàng)．3．D解答：因?yàn)?，即，由正切的倍角公式可知：．所以選擇D．4．C解答：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可知：，易知當(dāng)且僅當(dāng)，P，A，三點(diǎn)共線時(shí)，達(dá)到最小值，即．故選擇C．5．A解答：記小趙同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求．故選擇A．6．B解答：易知，圓C的半徑，所以切線長(zhǎng)．所以箏形的面積為．所以根據(jù)等面積法知：，所以．故選擇B．7．A解答：因?yàn)?，所以．又因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，則．根據(jù)正弦定理可得：，即，展開(kāi)得：，進(jìn)一步得：，因?yàn)椋傻?，又易知A為銳角，所以，則．故選擇A．8．C解答：是偶函數(shù)，則，即關(guān)于對(duì)稱，對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，即，所以關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)可得，即關(guān)于對(duì)稱．從而得的周期為4．所以的周期也為4．又因?yàn)槿魸M足上式，則也滿足上式．故的值不確定，所以A錯(cuò)；的周期為4，所以B錯(cuò)；的周期也為4，所以，所以C對(duì)；關(guān)于對(duì)稱，所以，所以D錯(cuò)．故選擇C．二、多選題：9．ABD解答：可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，所以A選項(xiàng)正確；，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以B選項(xiàng)正確；，所以，僅當(dāng)，即，時(shí)成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，所以D選項(xiàng)正確．故選ABD．10．BC解答：顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線得，則，所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)榭傻?，即，所以，所以B選項(xiàng)正確；即證，即，所以C選項(xiàng)正確；由上述知：，已知直線方程為：，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選擇BC．11．AD解答：設(shè)，，則．因?yàn)椋傻?，，所以，即，即．又因?yàn)椋覟橄陆盗泓c(diǎn)，即，即，故取．故．所以A選項(xiàng)正確；當(dāng)，，顯然不是單調(diào)增區(qū)間，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；將帶入方程得，顯然不是對(duì)稱軸，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令得或，取點(diǎn)得其中一條切線為，所以D選項(xiàng)正確．故選擇AD．12．ACD解答：，所以A正確；對(duì)于B，過(guò)G點(diǎn)作BC邊的垂線交BC于H點(diǎn)，因?yàn)?，面，，所以面，所以就為面與面所成角的二面角，則，，則．所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槊?，面，所以，，，均為直角三角形．所以，即．所以C正確；對(duì)于D，過(guò)H點(diǎn)作的垂線，交于I，再過(guò)I作的垂線交BG于J．易知此時(shí)面與面所成角的二面角就為．設(shè)，則，．由余弦定理可知：，所以D正確．綜上所述：ACD選項(xiàng)正確．三．填空題：13．8解答：．14．解答：因?yàn)榈炔顢?shù)列，所以，即．由于，，，，所以，，，，所以．15．3（3和4中任一填一個(gè)即為滿分）解答：因?yàn)?，則，因?yàn)樾枰瑑蓷l相鄰的對(duì)稱軸，則，即，所以或4．16．解答：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，令，即有有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)．令，．當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為：，將原點(diǎn)坐標(biāo)帶入切線方程得．此時(shí)切線的斜率為：，現(xiàn)在需要有兩個(gè)交點(diǎn)，即，所以．同理知當(dāng)時(shí)，，所以．綜上知：a的取值范圍為．17．【解答】（1）因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理得：，所以．（4分）（2）因?yàn)椋归_(kāi)可得：，即，所以．因?yàn)?，所以．?0分）18．【解答】（1）證：連接BD交AC于G，再連接EG．因?yàn)?，所以與相似，所以，所以G為BD邊上靠近D的三等分點(diǎn)．又因?yàn)?，所以E為BP邊上靠近P的三等分點(diǎn)．即EG是的一條三等分線，即．∵面，面，∴面．（5分）（2）由題可得：平面，，即可得到三條兩兩相互垂直的直線AP，AB，AD．故如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，設(shè)，則，．（7分）設(shè)面的法向量為，則，令，則，，所以面的法向量為．（9分）又因?yàn)椋栽O(shè)直線PF與平面所成角為，則：，（11分）所以為所求．（12分）19．【解答】（1）由題可得：，1，2，3，可得：每次捉到紅鯉魚的概率為．易知，；；；．（4分）分布列如表所示：X0123所以．（6分）（2）每次捉魚，捉到紅鯉魚的概率為，則捉到黑鯉魚的概率為．所以，其中且，（8分）令，則，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以．（10分）又因?yàn)榍?，所以?yàn)證，，所以，所以．（12分）20．【解答】（1）由題可得：數(shù)列是等差數(shù)列，所以可得，所以．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（4分）（2）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且滿足，所以．（6分）又因?yàn)椋瑒t化簡(jiǎn)得：，可構(gòu)造．（8分）又因?yàn)?，所以，即是?為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．（10分）所以，即．所以．（12分）21．【解答】（1）因?yàn)榕c拋物線相交，所以將直線與拋物線方程聯(lián)立得，，．因?yàn)?，所以，所以，拋物線的方程為．（4分）（2）由題易知直線，，斜率一定存在．設(shè)，，．則直線的方程為：，即，即．（6分）因?yàn)橹本€與圓相切得：，平方化簡(jiǎn)得：，看成關(guān)于，為變量的式子得：，同理得直線與圓相切，化簡(jiǎn)式子后得：，所以可以同構(gòu)出直線的方程為：，（10分）則所以圓心到直線的距離為：（定值），此時(shí)圓C與直線恒切（12分）22．【解答】（1）對(duì)以及分別求導(dǎo)得：，．其中要保證，存在最大值，則，需要先正后負(fù)，因此．對(duì)于，令得，所以在上，為增函數(shù)；在，上，為減函數(shù)．所以．（2分）對(duì)于，令得，所以在上，為增函數(shù)；在上，為減函數(shù)．所以．（4分）現(xiàn)要保證與有相同的最大值．即保證，即，所以，因?yàn)?，所以．?分）（2）提供一種相對(duì)簡(jiǎn)單易行的解法（同構(gòu)）：先證明存在使得其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)．首先根據(jù)第一問(wèn)的單調(diào)性可以將圖像，繪畫