百校高三下學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省百校聯(lián)考2020屆高三第五次考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分,共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，，則集合中必定含有的元素是_______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合并集的概念即可得出答案.【詳解】解:∵集合,，∴集合中必定含有的元素是3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)并集概念理解,屬于基礎(chǔ)題。2。已知復(fù)數(shù)的模為1（其中是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為_______?！敬鸢浮?【解析】【分析】設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模運(yùn)算，即可求出的值?！驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意，設(shè)，由于復(fù)數(shù)的模為1，即：，則，。故答案為:0。【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。3。下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的值是_______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)程序框圖可知,利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序運(yùn)行，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，直到滿足條件，即可得出答案.【詳解】解:根據(jù)程序框圖,模擬程序運(yùn)行，輸入，繼續(xù)運(yùn)行，此時(shí)，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時(shí)，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，,此時(shí)，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時(shí)，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，,此時(shí)，滿足條件，故輸出的值是6。故答案為：6?！军c(diǎn)睛】本題考查循環(huán)程序框圖，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程,注意循環(huán)條件的判斷.4.已知一組數(shù)據(jù)1，3,5，7，9，則該組數(shù)據(jù)的方差是_______【答案】8【解析】【分析】計(jì)算均值，再由方差公式得結(jié)論．【詳解】由題意，∴．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算，掌握方差計(jì)算公式是解題基礎(chǔ)．5.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)與點(diǎn)（0，3)構(gòu)成等腰直角三角形，則該雙曲線的漸近線方程是_______。【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，可知雙曲線焦點(diǎn)在軸上,且，設(shè)左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)(0，3)為,根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，再結(jié)合題目條件得出且，利用勾股定理，代數(shù)求出和，即可求出雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻拷?由題意知,雙曲線焦點(diǎn)在軸上，且，設(shè)左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)（0，3）為，如下圖，則，則,，，，由于左、右頂點(diǎn)與點(diǎn)(0，3）構(gòu)成等腰直角三角形,所以且,則，即，解得：，即，所以雙曲線的漸近線方程為:，故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.6.已知函數(shù)與，它們圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值是_______。【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式，結(jié)合的取值范圍,即可求出的值.【詳解】解：由于與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，,解得:,又，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)求值問題，考查計(jì)算能力.7.斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足,，現(xiàn)從該數(shù)列的前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3整除的概率是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分別列舉出數(shù)列的前12項(xiàng)，再列出能被3整除的數(shù)，根據(jù)古典概型求概率即可得出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，“兔子數(shù)列”滿足：，，則該數(shù)列的前12項(xiàng)分別為:1，1，2，3，5，8,13，21，34，55，89，144,其中能被3整除的數(shù)有：3,21,144，共3項(xiàng)，故從該數(shù)列的前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3整除的概率是.故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算，通過列舉法列出基本事件解決古典概型問題，對(duì)所給定義的理解是解題的關(guān)鍵.8。已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則_______.【答案】【解析】【分析】已知為等比數(shù)列，，,利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出和，根據(jù)即可求出.【詳解】解：由題可知，為等比數(shù)列，,，,由于等比數(shù)列中，解得：，，即：，，解得:，，所以.故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出基本量，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力.9.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐的體積是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得出三棱錐所有棱長(zhǎng)都為，求出三棱錐的底面積和高,再利用棱錐的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：已知正方體的棱長(zhǎng)為2,則三棱錐所有棱長(zhǎng)都為，則的面積為：，的外接圓半徑為：,三棱錐的高為：，則三棱錐的體積是：。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積，涉及正方體的性質(zhì)和三棱錐的性質(zhì)，考查計(jì)算能力。10.已知角滿足,若,則的值是_______。【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由得出，由，根據(jù)兩角和與差的正弦公式得出，得出，，從而可求出的值。【詳解】解：由于,則，，又，即：，解得：，，.即:的值為。故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,涉及同角三角函數(shù)商的關(guān)系和兩角和與差正弦公式的應(yīng)用,考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力.11.若函數(shù)在區(qū)間[1，9］上的最小值為，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè),則，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上最小值為,則，分類討論，通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求出的值，【詳解】解：由題可知，在區(qū)間［1，9］上的最小值為，設(shè)，則，則原題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則，當(dāng)時(shí),恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得:(舍去）；當(dāng)時(shí),令，解得：或（舍去)，若，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則,解得：,符合題意；若，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則,解得：（舍去）；若，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，無正數(shù)解，綜上所述：的值為。故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而求出參數(shù)值,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化和分類討論思想。12.已知為橢圓上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且以為直徑的圓過,當(dāng),該橢圓的離心率是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由圓的圓周角的性質(zhì)得出,且，由于，則，,利用橢圓的定義得，即可得出和的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率。【詳解】解:由題意知,以為直徑的圓過，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則，且，又，則，，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可得由橢圓的定義得，則,即：,所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),以及橢圓定義的應(yīng)用和圓的性質(zhì)的應(yīng)用。13.已知均為正數(shù)，且,則的最小值為_______?！敬鸢浮?6【解析】【分析】由題可知，均為正數(shù)，且，則，代入化簡(jiǎn)得，再利用基本不等式即可求出最小值?！驹斀狻拷猓河捎诰鶠檎龜?shù)，且，∴，可得:，∴，,即：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝",所以的最小值為16。故答案為：16?！军c(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值，對(duì)條件的變形是解題的關(guān)鍵.14。已知當(dāng)，函數(shù)，且,若的圖像與的圖像在第二象限有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，可知與均為偶函數(shù)，所以與的圖像在第二象限有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同，則在第一象限也有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線也相同,求導(dǎo)得時(shí)，，，設(shè)在第一象限的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得出，則，整理得，即可求出的取值范圍，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題意知:和，所以與均為偶函數(shù)，由于與的圖像在第二象限有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，則在第一象限也有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線也相同，因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，，，設(shè)在第一象限的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則,可得，則有，即：，由,即，則，解得：,綜上可得：，則，又因?yàn)?，所以，即：。故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分,請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15.在中，角,，的對(duì)邊分別是，，，已知，，,且.（1)求的值;（2）若點(diǎn)為邊上靠近的四等分點(diǎn)，且,求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由，利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，得出,且，進(jìn)而得出，即可求出,結(jié)合三角形的內(nèi)角，即可求出的值；（2)設(shè),由點(diǎn)為邊靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，得，由三角形內(nèi)角和可算出，在中，利用余弦定理求出，從而得出和，最后利用三角形的面積公式即可求出的面積.【詳解】解：（1）由題可知，,，且,∴，即，∴，又,∴，即,∴，若,則,與矛盾,∴，∴,又為的內(nèi)角,∴，∴的值為。（2）設(shè)，由點(diǎn)為邊靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，得，由(1）得，且已知,則，在中,根據(jù)余弦定理：，得，解得:，∴,∴，∴的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算和三角形的面積，通過余弦定理解三角形以及兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力。16。在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，且,平面平面。（1）證明：平面；（2)證明：?！敬鸢浮?1）證明見解析;（2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，通過三角形的中位線關(guān)系，得出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證出平面；（2）在中，，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，根?jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證出.【詳解】證明：（1）在中，分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，所以平面。（2）在中，，為的中點(diǎn)，∴，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平?平面平面,∴平面，因?yàn)槠矫?所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定以及通過線面垂直、面面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，考查推理證明能力。17.一胸針圖樣由等腰三角形及圓心在中軸線上的圓弧構(gòu)成，已知，。為了增加胸針的美觀程度，設(shè)計(jì)師準(zhǔn)備焊接三條金絲線且長(zhǎng)度不小于長(zhǎng)度，設(shè)。(1)試求出金絲線的總長(zhǎng)度，并求出的取值范圍；(2)當(dāng)為何值時(shí),金絲線的總長(zhǎng)度最小，并求出的最小值?！敬鸢浮?1）,［,)；（2),【解析】分析】（1）由題可知,，，從而得出，，在中，根據(jù)正弦定理即可求出和，即可金絲線的總長(zhǎng)度，再根據(jù)長(zhǎng)度不小于長(zhǎng)度，即可求出的取值范圍；(2）由（1）得且,根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】解：（1)∵圓心在中軸線上,,，∴，，在中，,，，根據(jù)正弦定理得:，得，，∴，∵長(zhǎng)度不小于長(zhǎng)度，即，∴,即，又，解得：，∴的取值范圍是［，)。(2）由（1）得,，∴，此時(shí)單調(diào)遞增，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，為，此時(shí)金絲線的總長(zhǎng)度最小，最小值為，∴當(dāng)時(shí)，金絲線的總長(zhǎng)度最小，的最小值是.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用以及三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，還涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力。18.已知橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,得出，根據(jù)得出，再根據(jù)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出和，從而得到橢圓的方程；（2）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立,求得或，從而得出，，以及弦長(zhǎng)，通過得出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，即可求得的面積。【詳解】解:（1）設(shè)橢圓的焦距為,∵橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴,∴①∵點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，∴②由①、②解得：，，∴橢圓的方程為，（2）由直線過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為的直線的方程為：，而直線交橢圓于，兩點(diǎn)，代入,消去，整理得：，解得:或，∴,，∴，∵，∴，即，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，∴點(diǎn)到直線的距離，所以的面積?！军c(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求弦長(zhǎng)和橢圓中的三角形面積，還涉及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力.19。已知函數(shù)，。（1）求曲線在處的切線方程；（2）對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3)當(dāng)時(shí),試求方程的根的個(gè)數(shù).【答案】(1）；（2）；(3）當(dāng)時(shí),根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，根的個(gè)數(shù)為2【解析】【分析】（1)直接求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出在處的切線方程；(2）對(duì)任意,恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，恒成立，構(gòu)造函數(shù),，分類討論和的情況,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和解決恒成立問題，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）分類討論的取值范圍，由（2）得，當(dāng)時(shí),方程的根的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，得方程的根的個(gè)數(shù)為1;當(dāng)時(shí),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷出方程的根的個(gè)數(shù)，綜合即可得出結(jié)論。【詳解】解：(1)∵，則的定義域?yàn)?，∴，∴，?則切點(diǎn)為，∴曲線在處的切線方程是：，（2）∵對(duì)任意，恒成立，∴對(duì)任意，恒成立,即恒成立，令,，則，①當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，,∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，∴,∴，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是。（3）當(dāng)時(shí)，由（2)得，方程的根的個(gè)數(shù)為0,當(dāng)時(shí)，由（2)得，當(dāng)時(shí),，∴方程的根的個(gè)數(shù)為1,當(dāng)時(shí)，,,，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上至少存在1個(gè)零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞減，∴在在上只有1個(gè)零點(diǎn)，，同理，在上只有1個(gè)零點(diǎn),∴方程的根的個(gè)數(shù)為2,綜上，當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí),方程的根的個(gè)數(shù)為2。【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題和零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，還涉及構(gòu)造函數(shù)和零點(diǎn)存在性定理，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想。20.已知數(shù)列滿足，，。（1）若。①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②證明：對(duì)，.（2)若,且對(duì)，有，證明：.【答案】(1)①；②證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，，兩邊取倒數(shù),再根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，可得出數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列,即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；②由①知,利用裂項(xiàng)公式整理得出,則對(duì)，根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出；(2)當(dāng)時(shí)，，則，由于，則,根據(jù)基本不等式得出，化簡(jiǎn)整理有，最后再利用基本不等式，即可證明出?！驹斀狻拷猓海?）①當(dāng)時(shí),，∵，∴,依此類推，∴，∴,∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，②證明：由①知，故對(duì)，∴＝＝，（2）證明：當(dāng)時(shí)，,則，∵，則,得，∴＝＝，∵與不能同時(shí)成立，所以上式“＝"不成立，即對(duì)，。【點(diǎn)睛】本題考查通過數(shù)列的遞推關(guān)系證出等差數(shù)列和求數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，還涉及運(yùn)用基本不等式求最值,考查推理證明和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力.21。已知矩陣滿足，求.【答案】【解析】【分析】由和，根據(jù)矩陣的乘法運(yùn)算求出,即可得出，設(shè)，再根據(jù)逆矩陣的定義和運(yùn)算,即可求出?！驹斀狻拷猓骸?∴，∴，解得：,∴,設(shè)，則,∴，解得，∴?！军c(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法運(yùn)算和逆矩陣的定義和運(yùn)算，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力.22.在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的點(diǎn)為極點(diǎn)，為極軸,且長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系,得曲線的極坐標(biāo)方程為.(1）求直線的傾斜角；（2）若直線與曲線交于,兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)度?！敬鸢浮?1）；（2）【解析】【分析】（1)利用消參法將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再利用斜率公式即可求出直線的傾斜角；（2）利用互化公式，，,將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,求出圓心到直線的距離，最后再運(yùn)用直線與圓的弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)直線的傾斜角為，∵直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù))，所以,∴，∵，∴,∴直線的傾斜角為，(2）由曲線的極坐標(biāo)方程為，得,∵,,，∴曲線的普通方程為,圓心為,半徑，則圓心到直線的距離,∴,∴的長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化為普通方程，利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐