山西省太原市礦山機器集團有限公司子弟中學高三數學文模擬試卷含解析

山西省太原市礦山機器集團有限公司子弟中學高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若(

)A．

B．C．

D．參考答案：A略2.下列說法正確的是（

）A．“為真”是“為真”的充分不必要條件；B．已知隨機變量，且，則；C．若，則不等式成立的概率是；D．已知空間直線，若，，則．參考答案：B3.下列命題中的真命題是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：B

，所以A、C、D都是假命題。令對于恒成立，故在上單調遞增，，B是真命題。4.某班選派6人參加兩項公益活動，每項活動最多安排4人，則不同的安排方法有A．50種

B．70種

C．35種

D．55種參考答案：A略5.等腰三角形中，邊中線上任意一點，則的值為A.

B.

C.5

D.參考答案：A略6.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是真正三角形，則這個橢圓的離心率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：A7.設α為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】GI：三角函數的化簡求值．【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；56：三角函數的求值．【分析】先設β=α+，根據cosβ求出sinβ，進而求出sin2β和cos2β，最后用兩角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．【解答】解：∵α為銳角，若，設β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=（﹣）×﹣（﹣）×=．故選：B．8.已知，且的終邊上一點的坐標為，則等于（

）A．

B．C．D．參考答案：B因為，所以是第四象限的角且，所以。9.直線與函數y=sinx（x∈[0，π]）的圖象相切于點A，且l∥OP，O為坐標原點，P為圖象的極大值點，與x軸交于點B，過切點A作x軸的垂線，垂足為C，則=（）A． B． C． D．2參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】直線l的斜率即為OP的斜率，即函數y=sinx在點A處的導數，得到cosx1=，點斜式寫出AB直線的方程，求出點B的橫坐標，由=?cos∠ABC==（x1﹣xB）2求出結果．【解答】解：∵P（，1），直線l的斜率即為OP的斜率=．設A（x1，y1），由于函數y=sinx在點A處的導數即為直線l的斜率，∴cosx1=，y1=sinx1==，∴AB直線的方程為y﹣y1=（x﹣x1），令y=0可得點B的橫坐標xB=x1﹣y1，由=?cos∠ABC==（x1﹣xB）2==×=，故選B．【點評】本題考查直線的斜率公式，函數的導數與斜率的關系，求直線的點斜式方程，以及兩個向量數量積的定義，屬于中檔題．10.若為等差數列，是其前項和，且，則的值為（

）A. B. C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設x，y滿足約束條件，則平面直角坐標系對應的可行域面積為_________．參考答案：畫出可行域如圖所示，則可行域對應的面積為，，，，則．12.已知函數f（x）=|x﹣a|﹣+a﹣2有且僅有三個零點，且它們成等差數列，則實數a的取值集合為．參考答案：{a|a=或﹣}【考點】數列與函數的綜合；函數零點的判定定理．【分析】令g（x）=0，化簡函數g（x）=，從而不妨設f（x）=0的3個根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，討論當x＞a時，求得兩根，x≤a時，①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，運用等差數列的中項的性質，進而確定a的值．【解答】解：設f（x）=0，可得|x﹣a|﹣+a=2，設g（x）=|x﹣a|﹣+a，h（x）=2，函數g（x）=，不妨設f（x）=0的3個根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，當x＞a時，f（x）=0，解得x=﹣1，x=3；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=3，由等差數列的性質可得x1=﹣5，由f（﹣5）=0，解得a=﹣，滿足f（x）=0在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤3，f（x）=0在（﹣∞，a]上有兩個不同的解，不妨設x1，x2，其中x3=3，所以有x1，x2是2a﹣x﹣=2的兩個解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣2）x+3=0的兩個解．得到x1+x2=2a﹣2，x1x2=3，又由設f（x）=0的3個根為x1，x2，x3成差數列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+3，解得：a=或（舍去）；③a＞3，f（x）=0最多只有兩個解，不滿足題意；綜上所述，a=或﹣．故答案為：{a|a=或﹣}．13.已知橢圓C：的右頂點為A，P是橢圓C上一點，O為坐標原點，已知∠POA=60°，且OP⊥AP，則橢圓C的離心率為

．參考答案：由題意可得，易得，代入橢圓方程得：，故，所以離心率．

14.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若a4=8，Sn+1=pSn+1，（p∈R），則a1=

，p=

．參考答案：1，2.考點：等比數列的性質．專題：等差數列與等比數列．分析：設等比數列{an}的公比為q，討論q=1，q≠1，運用等比數列的通項公式和求和公式，計算即可得到所求值．解答： 解：設等比數列{an}的公比為q，若q=1，則an=a1=8，Sn=na1=8n，Sn+1=pSn+1不成立，即有q≠1，則a1q3=8，=+1，即有a1=pa1+1﹣q，a1q=a1p，a1q3=8，解得a1=1，p=2．故答案為：1，2．點評：本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，注意公比是否為1，考查運算能力，屬于中檔題．15.已知正數x、y滿足，則的最小值為____________.參考答案：16.曲線y=e﹣5x+2在點（0，3）處的切線方程為

．參考答案：5x+y﹣3=0考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；導數的概念及應用．分析：求出導數，求出切線的斜率和切點，由斜截式方程，即可得到切線方程．解答： 解：y=e﹣5x+3的導數y′=﹣5e﹣5x，則在x=0處的切線斜率為﹣5e0=﹣5，切點為（0，3），則在x=0處的切線方程為：y=﹣5x+3，即為5x+y﹣3=0．故答案為：5x+y﹣3=0．點評：本題考查導數的幾何意義：曲線在該點處的切線的斜率，考查運算能力，屬于基礎題．17.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC上，AD=AC（為常數，且），為定長，則△ABC的面積最大值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，設h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函數h(x)的定義域；(2)判斷h(x)的奇偶性，并說明理由；(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．參考答案：(1)由對數的意義，分別得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.∴函數f(x)的定義域為(－1，＋∞)，函數g(x)的定義域為(－∞，1)，∴函數h(x)的定義域為(－1,1)．(2)∵對任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，h(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝g(x)－f(x)＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數．(3)由f(3)＝2，得a＝2.此時h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，由h(x)>0即log2(1＋x)－log2(1－x)>0，∴l(xiāng)og2(1＋x)>log2(1－x)．由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．19.某食品企業(yè)一個月內被消費者投訴的次數用表示.據統計，隨機變量的概率分布如下：01230.10.3（1）求的值和的數學期望；（2）假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內共被消費者投訴3次的概率.

參考答案：（1）解：由概率分布的性質有0.1+a+2a+0.3=1，解得a=0.2.所以的概率分布為01230.10.20.40.3所以.（2）解：設事件表示“兩個月內共被投訴3次”，事件表示“兩個月內有一個月被投訴3次，另外一個月被投訴0次”，事件表示“兩個月內有一個月被投訴2次，另外一個月被投訴1次”，則由事件的獨立性得，，，所以.所以該企業(yè)在這兩個月內共被消費者投訴3次的概率為0.22.20.（本小題滿分12分）已知函數.（1）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍；（2）當時，證明(3)當且時，證明：.參考答案：解：（1），函數的定義域為..依題意，在恒成立，在恒成立.，，∴的取值范圍為.（2）當時，.證明：當時，欲證，只需證.由（Ⅰ）可知：取，則，而，（當時，等號成立）.用代換，得，即，∴.在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.∴當時，.

(3)由（Ⅱ）可知（時，等號成立）.而當時：，∴當時，.設，則，∴在上遞減，在上遞增，∴，即在時恒成立.故當時，（當且僅當時，等號成立）.

……

①用代換得：（當且僅當時，等號成立）.

……②當時，由①得，.當時，由②得，用代換，得.∴當時，，即.在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.故當且時，略21.(12分)袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時既終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數.（I）求袋中原有白球的個數；（II）求隨機變量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.參考答案：解析：(I)設袋中原有個白球,由題意知∴(－1)=6得或(舍去)即袋中原有3個白球.(II)由題意,的可能取值為1,2,3,4,5

所以的分布列為:12345(III)因為甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件,則∵事件兩兩互斥，∴22.已知函數f（x）=ln（x+2a）﹣ax，a＞0．（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）記f（x）的最大值為M（a），若a2＞a1＞0且M（a1）=M（a2），求證：；（Ⅲ）若a＞2，記集合{x|f（x）=0}中的最小元素為x0，設函數g（x）=|f（x）|+x，求證：x0是g（x）的極小值點．參考答案：【考點】6E：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）先求導，根據導數和函數單調性的關系即可得到函數的單調區(qū)間，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，M（a）=f（﹣2a）=2a2﹣1﹣lna，繼而得到2a12﹣1﹣lna1=2a22﹣1﹣lna2，通過轉化得到4a1a2=，設h（t）=t﹣﹣2lnt，t＞1根據函數的單調性證明＜1，問題即可得以證明，（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，g（x）=，分類討論，得到g（x）在（﹣2a，x0）遞減，g（x）在（x0，﹣2a）遞增，故x0是g（x）的極小值點．【解答】解：（Ⅰ）：f′（x）=﹣a=，∵x＞﹣2a，a＞0，由f′（x）＞0，得﹣2a＜x＜﹣2a，由f′（x）＜0，得x＞﹣2a，∴f（x）的增區(qū)間為（﹣2a，﹣2a），減區(qū)間為（﹣2a，+∞），（Ⅱ）由（Ⅰ）知，M（a）=f（﹣2a）=2a2﹣1﹣lna，∴2a12﹣1﹣lna1=2a22﹣1﹣lna2，∴2（a22﹣a12）=lna2﹣lna1=ln，∴2a1a2=ln，∴4a1a2（﹣）=2ln，∴4a1a2=，設h（t）=t﹣﹣2lnt，t＞1∴h′（t）=1+﹣=（1﹣）2＞0，∴h（x）在（1，+∞）單調遞增，h（t）＞h（1）=0，即t﹣＞2lnt＞0，∵＞1，∴﹣＞2ln＞0，∴＜1，∴a1a2＜；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，f（x）在區(qū)間（﹣2a，﹣2a），又x→﹣2a時，f（x）→﹣∞，易知f（﹣2a）=M（a）=2a2﹣1﹣lna在（2，+∞）遞增，M（a）＞M（2）=7﹣ln2＞0，∴﹣2a＜x0＜﹣2a，且﹣2a＜x＜x0，f（x）＜0，x0＜x＜﹣2a時，f（x）＞0，∴當﹣2a＜x＜﹣2a時，g（x）=，于是﹣2a＜x＜x0時，g′（x）=（a+1）