2007年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試卷及答案-湖北卷

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（文史類）本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．答在試題卷上無(wú)效．3．將填空題和解答題用0.5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．答在試題卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．的值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．如果，，，那么（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3４．函數(shù)的反函數(shù)是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．5．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且．則點(diǎn)到平面的距離為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6．為了了解某學(xué)校學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如右圖所示．根據(jù)此圖，估計(jì)該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為（）A．300 B．360 C．420 D．4500.080.080.070.060.050.040.030.020.01體重（kg）7．將5本不同的書全發(fā)給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少有一本書的概率是（）A． B． C． D．8．由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A．1 B． C． D．9．設(shè)，在上的投影為，在軸上的投影為2，且，則為（）A． B． C． D．10．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④是的必要條件而不是充分條件；⑤是的充分條件而不是必要條件．則正確命題的序號(hào)是（）A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．11．設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為．12．過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線交曲線的左支于兩點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，．（I）求證：平面平面；（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．18．（本小題滿分12分）某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件，如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件．（I）將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成的函數(shù)；（II）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？19．（本小題滿分12分）設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足．（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）試比較與的大?。⒄f(shuō)明理由．20．（本小題滿分13分）已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列．（I）證明：；（II）若，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：．21．（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．AABxyNCO（此題不要求在答題卡上畫圖）2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（文史類）試題參考答案一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分50分．1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分25分．11． 12．8 13．3 14． 15．；0.6三、解答題：本大題共6小題，共75分．16．本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范圍是．17．本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．依題意，所以在中，；在中，，．，．故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為．解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyzADBCVxyz則由．得可取，又，于是，即，．故交時(shí)，直線與平面所成的角為．解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得ADBCVxADBCVxy于是，即．故交時(shí)，即直線與平面所成角為．18．本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．解：（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，則依題意有，又由已知條件，，于是有，所以．（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），我們有．21200極小極大故時(shí)，達(dá)到極大值．因?yàn)?，，所以定價(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大．19．本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力．解法1：（Ⅰ）令，則由題意可得．故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（II），令．當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，，即．解法2：（I）同解法1．（II），由（I）知，．又于是，即，故．解法3：（I）方程，由韋達(dá)定理得，，于是．故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（II）依題意可設(shè)，則由，得，故．20．本小題主要考查等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和求和公式等基本知識(shí)及基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題能力和推理能力．解法1：（I）證：由，有，．（=2\*ROMANII）證：，，，．是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列．（=3\*ROMANIII）由（=2\*ROMANII）得，，于是 ．當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)， ．故解法2：（=1\*ROMANI）同解法1（=1\*ROMANI）．（=2\*ROMANII）證：

，又，是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列．（=3\*ROMANIII）由（=2\*ROMANII）的類似方法得，，，．．下同解法1．21．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByx由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，設(shè)的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線