5.3.3最大值與最小值校本講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

編號(hào)：038課題:§5.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——最大值與最小值教學(xué)課時(shí)安排1、上課時(shí)間：_________________．2、課時(shí)安排：_________________．3、上課班級(jí)___________________．學(xué)科目標(biāo)要求1、能利用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最值．2、體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用.3、能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值、最值等相關(guān)的問(wèn)題．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)通過(guò)具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無(wú)窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用；難點(diǎn)：能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值、最值等相關(guān)的問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程賞析基礎(chǔ)知識(shí)積累1.函數(shù)的最大值與最小值前提在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0條件對(duì)任意的x∈I，總有f(x)_______f(x0)對(duì)任意的x∈I，總有f(x)_______f(x0)結(jié)論f(x0)為最大值f(x0)為最小值【友情提醒注意】函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最小者．f(x)在[a，b]上的最值的兩個(gè)步驟第一步：求f(x)在(a，b)上的_______；第二步：將第一步中求得的極值與_______________比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．【友情提醒注意】最值不一定是極值，極值也不一定是最值．【課前預(yù)習(xí)思考】結(jié)合圖形觀察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出現(xiàn)在哪里．【課前小題演練】題1．設(shè)M，m分別是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，則f′(x)()A．等于0 B．小于0C．等于1 D．不確定題2．函數(shù)y＝x－sinx，x∈的最大值是()A．π－1 B.－1C．π D．π＋1題3．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3,0]上的最大值和最小值分別是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19題4．如圖所示，函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)的圖象是一條直線，則()A．函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值B．函數(shù)f(x)有最大值，沒(méi)有最小值C．函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值，有最小值D．函數(shù)f(x)有最大值，也有最小值題5．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．若該商品零售價(jià)定為P元，銷量為Q，銷量Q(單位：件)與零售價(jià)P(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元題6(多選題)．下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝(2x－x2)ex的判斷正確的是()A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2}B．f(－)是極小值，f()是極大值C．f(x)沒(méi)有最小值，也沒(méi)有最大值D．f(x)有最大值無(wú)最小值題7．函數(shù)f(x)＝exsinx在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_____．題8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間[－2，－1]上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是________．題9.如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，寫出函數(shù)的極大值、極小值、最大值和最小值．題10．求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝sinx＋cosx，x∈；(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]．題11.如圖，某段鐵路AB長(zhǎng)為80公里，BC⊥AB，且BC＝10公里，為將貨物從A地運(yùn)往C地，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x公里的點(diǎn)M處修一公路至點(diǎn)C.已知鐵路運(yùn)費(fèi)為每公里2元，公路運(yùn)費(fèi)為每公里4元．(1)將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)；(2)如何選點(diǎn)M才能使總運(yùn)費(fèi)最少？【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題12．設(shè)f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B．f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C．f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有極值點(diǎn)D．f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有最值點(diǎn)題13.下列結(jié)論正確的是()A．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值題14．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為()A B.cmC.cm D.cm題15．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A．有最值，但無(wú)極值B．有最值，也有極值C．既無(wú)最值，也無(wú)極值D．無(wú)最值，但有極值題16(多選題)．已知不等式(x－2)ex≥a對(duì)任意的x∈R恒成立，則滿足條件的整數(shù)a的可能值為()A．－4B．－3C．－2D．－1題17（多選題）．若函數(shù)f(x)＝3x－x3在區(qū)間(a2－12，a)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的可能取值是()A．0B．1C．2D．3題18.已知函數(shù)f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)，在[a，b]上連續(xù)且f′(x)<g′(x)，則f(x)－g(x)的最大值為()A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)題19．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是()A．20B．18C．3D．0題20．函數(shù)f(x)＝x－lnx與g(x)＝xex－lnx－x的最小值分別為a，b，則()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)<b D．a(chǎn)，b的大小不能確定題21．函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．題22.如圖所示，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)_______時(shí)，其容積最大．題23.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的最大值為5，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是________．題24．已知函數(shù)f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，且曲線y＝f(x)在x＝1處與直線y＝－相切．(1)求a，b的值；(2)求f(x)在上的最大值．題25.求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2).題26.如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．【課堂跟蹤拔高】題27．函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則 ()A.3是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)B.y=f(x)在區(qū)間(3,1)上單調(diào)遞增C.1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)D.y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零題28.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,3]上的最大值為 ()A.0 B. C. D.題29.函數(shù)f(x)=exsinx在區(qū)間[0,]上的值域?yàn)?()A.[0,] B.(0,) C.[0, ) D.(0,]題30.若不等式2xlnx≥x2+ax3恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.(∞,0) B.(∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)題31.已知函數(shù)f(x)=lnx,直線y=mx+n是曲線y=f(x)的一條切線,則m+2n的取值范圍是 ()A.[3,+∞) B.(∞,]C.[2ln24,+∞) D.[ln2,+∞)題32.若函數(shù)f(x)=2xa,當(dāng)x≥時(shí),f(x)≤0恒成立,則a的取值范圍是 ()A.(∞,3] B.[3,+∞) C.(∞,] D.[,+∞)題33(多選題).已知函數(shù)f(x)=,則下列結(jié)論正確的是 ()A.函數(shù)f(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值C.當(dāng)e<k<0時(shí),方程f(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若x∈[t,+∞)時(shí),f(x)max=,則t的最小值為2題34(多選題).已知函數(shù)f(x)=axxa(a>1)的定義域?yàn)?0,+∞),且f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),則 ()A.e是f(x)的零點(diǎn)B.f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增C.x=1是f(x)的極大值點(diǎn)D.f(e)是f(x)的最小值題35(多選題)．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，下列說(shuō)法正確的有()A．f(x)在x＝e處取得極大值eq\f(1,e)B．f(x)有兩不同零點(diǎn)C．f(2)<f(π)<f(3)D．若f(x)<k－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上恒成立，則k>1題36.函數(shù)的最小值為.題37.設(shè)函數(shù)已知x1<x2,且f(x1)=f(x2),若x2x1的最小值為,則a的值為.題38.已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx(a,b∈R)的圖象在x=1處的切線斜率為3,且x=2時(shí),y=f(x)有極值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[3,2]上的最大值和最小值.題39．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．題40.已知x=0是函數(shù)f(x)=ln(a+x)+ax的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求a的值;(2)證明:f(x)≥1.編號(hào)：038課題:§5.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——最大值與最小值教學(xué)課時(shí)安排1、上課時(shí)間：_________________．2、課時(shí)安排：_________________．3、上課班級(jí)___________________．學(xué)科目標(biāo)要求1、能利用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最值．2、體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用.3、能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值、最值等相關(guān)的問(wèn)題．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)通過(guò)具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無(wú)窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用；難點(diǎn)：能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值、最值等相關(guān)的問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程賞析基礎(chǔ)知識(shí)積累1.函數(shù)的最大值與最小值前提在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0條件對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≥f(x0)結(jié)論f(x0)為最大值f(x0)為最小值【友情提醒注意】函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最小者．f(x)在[a，b]上的最值的兩個(gè)步驟第一步：求f(x)在(a，b)上的極值；第二步：將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．【友情提醒注意】最值不一定是極值，極值也不一定是最值．【課前預(yù)習(xí)思考】結(jié)合圖形觀察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出現(xiàn)在哪里．提示：最值可能出現(xiàn)在極值點(diǎn)或者區(qū)間端點(diǎn)處．【課前小題演練】題1．設(shè)M，m分別是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，則f′(x)()A．等于0 B．小于0C．等于1 D．不確定【答案】A【解析】因?yàn)镸＝m，所以f(x)為常函數(shù)，故f′(x)＝0，故選A.題2．函數(shù)y＝x－sinx，x∈的最大值是()A．π－1 B.－1C．π D．π＋1【答案】C【解析】y′＝1－cosx，當(dāng)x∈時(shí)，y′>0，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以y的最大值為ymax＝π－sinπ＝π.題3．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3,0]上的最大值和最小值分別是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0]．所以函數(shù)f(x)的最大值為3，最小值為－17.題4．如圖所示，函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)的圖象是一條直線，則()A．函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值B．函數(shù)f(x)有最大值，沒(méi)有最小值C．函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值，有最小值D．函數(shù)f(x)有最大值，也有最小值【答案】C【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)只有一個(gè)極小值點(diǎn)1，即f(x)在x＝1處取得最小值，沒(méi)有最大值．題5．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．若該商品零售價(jià)定為P元，銷量為Q，銷量Q(單位：件)與零售價(jià)P(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元【答案】D【解析】設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(P)．則L(P)＝PQ－20Q＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此時(shí)，L(30)＝23000.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知，L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤(rùn)為23000元．題6(多選題)．下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝(2x－x2)ex的判斷正確的是()A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2}B．f(－)是極小值，f()是極大值C．f(x)沒(méi)有最小值，也沒(méi)有最大值D．f(x)有最大值無(wú)最小值【答案】ABD【解析】由f(x)>0得0<x<2，故A正確．f′(x)＝(2－x2)ex，令f′(x)＝0，得x＝±，當(dāng)x<－或x>時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)－<x<時(shí)，f′(x)>0，∴當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取得極小值，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得極大值，故B正確．當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，且f()>0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)有最大值無(wú)最小值，故C不正確，D正確．題7．函數(shù)f(x)＝exsinx在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】f′(x)＝ex(sinx＋cosx)．因?yàn)閤∈，所以f′(x)>0.所以f(x)在上為增函數(shù)，所以f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝.題8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間[－2，－1]上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是________．【答案】[－4，－2]【解析】f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由題設(shè)得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．題9.如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，寫出函數(shù)的極大值、極小值、最大值和最小值．【解析】由題圖可知，y＝f(x)在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，所以極小值為f，f，極大值為f；比較極值和端點(diǎn)值可知函數(shù)的最小值是f，最大值在b處取得，最大值為f(b)．【反思感悟】最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言．(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)，但最大(小)值只有一個(gè)(或者沒(méi)有)．(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為定義域中的內(nèi)點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)．(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．題10．求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝sinx＋cosx，x∈；(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]．【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx.令f′(x)＝0，即tanx＝1，且x∈，所以x＝.又因?yàn)?，所以?dāng)x∈時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為.(2)，令，化簡(jiǎn)為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.當(dāng)0≤x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)1<x≤2時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，所以f(1)＝ln2－為函數(shù)f(x)的極大值．又f(0)＝0，f(2)＝ln3－1>0，f(1)>f(2)．所以f(0)＝0為函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln2－為函數(shù)在[0,2]上的最大值．題11.如圖，某段鐵路AB長(zhǎng)為80公里，BC⊥AB，且BC＝10公里，為將貨物從A地運(yùn)往C地，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x公里的點(diǎn)M處修一公路至點(diǎn)C.已知鐵路運(yùn)費(fèi)為每公里2元，公路運(yùn)費(fèi)為每公里4元．(1)將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)；(2)如何選點(diǎn)M才能使總運(yùn)費(fèi)最少？【解析】(1)依題意，鐵路AM上的運(yùn)費(fèi)為2(80－x)元，公路MC上的運(yùn)費(fèi)為4元，則由A地到C地的總運(yùn)費(fèi)y＝2(80－x)＋4(0≤x≤80)．(2)y′＝－2＋(0≤x≤80)，令y′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．當(dāng)0≤x≤時(shí)，y′≤0；當(dāng)≤x≤80時(shí)，y′≥0.故當(dāng)x＝時(shí)，y取得最小值，即當(dāng)在距離點(diǎn)B為公里的點(diǎn)M處修筑公路至C時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少．【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題12．設(shè)f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B．f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C．f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有極值點(diǎn)D．f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有最值點(diǎn)【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，f(x)的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，f(x)的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．可能是區(qū)間的端點(diǎn)，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項(xiàng)A，B，D都不正確，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上沒(méi)有極值點(diǎn)，所以C正確．題13.下列結(jié)論正確的是()A．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值【答案】D【解析】函數(shù)f(x)在[a，b]上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．題14．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為()A B.cmC.cm D.cm【答案】B【解析】設(shè)圓錐的高為hcm,0<h<20，∴V＝π(202－h(huán)2)×h＝π(400－h(huán)2)h∴V′＝π(400－3h2)，令V′＝0，得h＝，當(dāng)h∈時(shí)，V′>0，當(dāng)h∈時(shí)，V′<0，故當(dāng)h＝時(shí)，體積最大．題15．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A．有最值，但無(wú)極值B．有最值，也有極值C．既無(wú)最值，也無(wú)極值D．無(wú)最值，但有極值【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，無(wú)最大值和最小值，也無(wú)極值．題16(多選題)．已知不等式(x－2)ex≥a對(duì)任意的x∈R恒成立，則滿足條件的整數(shù)a的可能值為()A．－4B．－3C．－2D．－1【解析】選AB.令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))ex，則a≤f(x)min.f′(x)＝(x－1)ex，當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0.所以，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，所以f(x)min＝f(1)＝－e，所以a≤－e.因此，滿足條件的整數(shù)a的可能值為－4，－3.題17（多選題）．若函數(shù)f(x)＝3x－x3在區(qū)間(a2－12，a)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的可能取值是()A．0B．1C．2D．3【解析】選ABC.由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如表：x(∞,1)1(1,1)1(1,+∞)f'(x)0+0f(x)↘2↗2↘由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜eq\r(11).又當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，且當(dāng)x＝2時(shí)，f(xa≤2.綜上，－1＜a≤2.題18.已知函數(shù)f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)，在[a，b]上連續(xù)且f′(x)<g′(x)，則f(x)－g(x)的最大值為()A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)【答案】A【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上是減函數(shù)，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．題19．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是()A．20B．18C．3D．0【答案】A【解析】因?yàn)閒′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)，在[1,2]和[－3，－1]上是增函數(shù)．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在區(qū)間[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由題設(shè)知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故選A.題20．函數(shù)f(x)＝x－lnx與g(x)＝xex－lnx－x的最小值分別為a，b，則()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)<b D．a(chǎn)，b的大小不能確定【答案】A【解析】f(x)的定義域是，，令f′(x)<0，解得0<x<1，令f′(x)>0，解得x>1，則f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(1)＝1，故a＝1，g(x)＝xex－lnx－x，定義域?yàn)?0，＋∞)，，令h(x)＝xex－1，則h′(x)＝ex>0，x∈(0，＋∞)．則可得h(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且h＝－1<0，h＝e－1>0，故存在x0∈(0,1)使得h(x)＝0，即x0＝1，即x0＋lnx0＝0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)<0，g′(x)<0，函數(shù)g(x)是減函數(shù)，當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)是增函數(shù)，故當(dāng)x＝x0時(shí)，函數(shù)取得最小值g(x0)＝x0－lnx0－x0＝1－lnx0－x0＝1，即b＝1，所以a＝b.題21．函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．【答案】【解析】f(x)＝(x＋1)ex?f′(x)＝(x＋2)ex，當(dāng)x>－2時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，因此當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為f(－2)＝(－2＋1)e－2＝.題22.如圖所示，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)_______時(shí)，其容積最大．【答案】【解析】設(shè)被切去的全等四邊形的一邊長(zhǎng)為x，如圖所示，則正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1－2x，高為x，所以正六棱柱的體積V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)（0<x<），則V′＝(12x2－8x＋1)，令V′＝0，得x＝(舍去)或x＝，當(dāng)x∈時(shí)，V′>0，當(dāng)x∈時(shí)，V′x＝時(shí)，V有極大值，也是最大值，此時(shí)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為.題23.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的最大值為5，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是________．【答案】15x－3y－2＝0【解析】∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f(1)＝－＋2＋3＝，∴所求切線方程為y－＝5(x－1)．即15x－3y－2＝0.題24．已知函數(shù)f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，且曲線y＝f(x)在x＝1處與直線y＝－相切．(1)求a，b的值；(2)求f(x)在上的最大值．【解析】(1)．由曲線y＝f(x)在x＝1處與直線y＝－相切，得即解得(2)由(1)，得f(x)＝lnx－x2，定義域?yàn)?0，＋∞)．.令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1，所以f(x)在上是增函數(shù)，在(1，e]上是減函數(shù)，所以f(x)在上的最大值為f(1)＝－.題25.求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2).【解析】(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(xx＝－2時(shí)，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值為35，最小值為－37.(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.，當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗↘∴f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，在(2，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(x)無(wú)最小值，且當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)max＝f(2)＝.題26.如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．【解析】∵AE＝x，∴HE＝x，EF＝60－2x，∴EG＝(60－2x)，∴V(x)＝(x)2×(60－2x)×＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵當(dāng)0<x<20時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)20<x<30時(shí)，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20時(shí)取極大值也是唯一的極值，故為最大值．∴包裝盒的底面邊長(zhǎng)為x＝20(cm)，高為(30－x)＝10(cm)，∴當(dāng)x＝20時(shí)，包裝盒的容積最大，此時(shí)高與底面邊長(zhǎng)的比值為.【課堂跟蹤拔高】題27．函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則 ()A.3是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)B.y=f(x)在區(qū)間(3,1)上單調(diào)遞增C.1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)D.y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零【解析】選B.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知:當(dāng)x∈(∞,3)時(shí),f'(x)<0,在x∈(3,1)時(shí),f'(x)≥0,所以函數(shù)y=f(x)在(∞,3)上單調(diào)遞減,在(3,1)上單調(diào)遞增,3是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),故A錯(cuò)誤,B正確;因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在(3,1)上單調(diào)遞增,所以1不是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn),故C不正確;因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0,所以切線的斜率大于零,故D不正確.題28.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,3]上的最大值為 ()A.0 B. C. D.【解析】選B.由題意可得f'(x)=,當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(1,3]時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)在[0,1)上單調(diào)遞增,在(1,3]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=.題29.函數(shù)f(x)=exsinx在區(qū)間[0,]上的值域?yàn)?()A.[0,] B.(0,) C.[0, ) D.(0,]【解析】選A.f'(x)=ex(sinx+cosx).因?yàn)閤∈[0,],f'(xf(x)在[0,]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f()=.題30.若不等式2xlnx≥x2+ax3恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.(∞,0) B.(∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)【解析】選B.條件可轉(zhuǎn)化為a≤2lnx+x+(x>0)恒成立,設(shè)f(x)=2lnx+x+,則f'(x)=(x>0).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)min=fa≤4.題31.已知函數(shù)f(x)=lnx,直線y=mx+n是曲線y=f(x)的一條切線,則m+2n的取值范圍是 ()A.[3,+∞) B.(∞,]C.[2ln24,+∞) D.[ln2,+∞)【解析】選C.設(shè)切點(diǎn)為P(t,f(t)),f'(x)=+,k=f'(t)=+,曲線y=f(x)在切點(diǎn)P(t,f(t))處的切線方程為yf(t)=f'(t)(xt),整理得y=(+)x+lnt1,所以m+2n=+2lnt2.令g(x)=+2lnx2(x>0),則g'(x)=.當(dāng)0<x<時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.故g(x)min=g()=2ln24,則m+2n的取值范圍是[2ln24,+∞).題32.若函數(shù)f(x)=2xa,當(dāng)x≥時(shí),f(x)≤0恒成立,則a的取值范圍是 ()A.(∞,3] B.[3,+∞) C.(∞,] D.[,+∞)【解析】選D.由已知,當(dāng)x≥時(shí),a≥2x恒成立,令g(x)=2x,x≥,則a≥g(x)max,又g'(x)=2=2(+1)<0,所以g(x)在[,+∞)上單調(diào)遞減,所以a≥g(x)max=g（）=9=,即a≥.題33(多選題).已知函數(shù)f(x)=,則下列結(jié)論正確的是 ()A.函數(shù)f(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值C.當(dāng)e<k<0時(shí),方程f(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若x∈[t,+∞)時(shí),f(x)max=,則t的最小值為2【解析】選ABC.A.f(x)=0?x2+x1=0,解得x=,所以A正確;B.f'(x)==,當(dāng)f'(x)>0時(shí),1<x<2,當(dāng)f'(x)<0時(shí),x<1或x>2,所以(∞,1),(2,+∞)是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,(1,2)是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,所以f(1)是函數(shù)的極小值,f(2)是函數(shù)的極大值,所以B正確;C.當(dāng)x→+∞時(shí),y→0,根據(jù)B可知,函數(shù)的最小值是f(1)=e,再根據(jù)單調(diào)性可知,當(dāng)e<k<0時(shí),方程f(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根,所以C正確;D.由圖象可知,t的最大值是2,所以不正確.題34(多選題).已知函數(shù)f(x)=axxa(a>1)的定義域?yàn)?0,+∞),且f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),則 ()A.e是f(x)的零點(diǎn)B.f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增C.x=1是f(x)的極大值點(diǎn)D.f(e)是f(x)的最小值【解析】選ACD.函數(shù)f(x)=axxa(a>1)只有一個(gè)零點(diǎn),即ax=xa(a>1)在(0,+∞)上有唯一解,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得xlna=alnx,即=在(0,+∞)上有唯一解,令h(x)=,則h'(x)=,所以當(dāng)x∈(0,e)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;又h(e)=,a>1,>0,所以=,a=e,對(duì)于A,f(x)=exxe,f(e)=0,故A正確;對(duì)于B,f'(x)=exexe1,令f'(x)=exexe1=0,即ex=exe1,即x=1+(e1)lnx,所以x1=(e1)lnx,故x=1或x=e,當(dāng)x>e或0<x<1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1<x<e時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,x=1是f(x)的極大值點(diǎn),故C正確;對(duì)于D,當(dāng)x→0+時(shí),f(x)→1,f(e)=0,結(jié)合單調(diào)性可得f(e)是f(x)的最小值,故D正確.題35(多選題)．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，下列說(shuō)法正確的有()A．f(x)在x＝e處取得極大值eq\f(1,e)B．f(x)有兩不同零點(diǎn)C．f(2)<f(π)<f(3)D．若f(x)<k－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上恒成立，則k>1【解析】選ACD.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，(x>0)，令f′(x)＝0得x＝e，則當(dāng)0<x<e時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則當(dāng)x＝e時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為f(e)＝eq\f(1,e)，故A正確；由f(x)＝0，得lnx＝0，得x＝1，即函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閒(2)＝f(4)＝eq\f(ln4,4)＝eq\f(2ln2,4)＝eq\f(ln2,2)，由x>e時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù)知f(3)>f(π)>f(4)，故f(2)<f(π)<f(3)成立，故C正確；若f(x)<k－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上恒成立，則k>eq\f(lnx,x)＋eq\f(1,x)，設(shè)h(x)＝eq\f(lnx,x)＋eq\f(1,x)(x>0)，則h′(x)＝－eq\f(lnx,x2)，當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，即當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)h(x)取得極大值同時(shí)也是最大值h(1)＝1，所以k>1成立，故D正確．題36.函數(shù)的最小值為.【解析】由題可知,函數(shù)f(x)為偶