高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測(cè)7 概率與統(tǒng)計(jì) 文（含解析）試題

7概率與統(tǒng)計(jì)(文)時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2015·重慶理，3)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．19 B．20C．21.5 D．23[答案]B[解析]此題考查了莖葉圖和中位數(shù)定義，屬于簡(jiǎn)單題．根據(jù)莖葉圖易知中位數(shù)為eq\f(20＋20,2)＝20.2．(2015·陜西理，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為()A．93 B．123C．137 D．167[答案]C[解析]考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)．初中女教師：110×0.7＝77；高中女教師：150×(1－0.6)＝60，所以一共有77＋60＝137位女教師．故本題正確答案為C．3．(2014·湖北文，5)隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則()A．p1<p2<p3 B．p2<p1<p3C．p1<p3<p2 D．p3<p1<p2[答案]C[解析]在表格中表示出兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)和的所有可能情況如下：則p1＝eq\f(10,36)，p2＝eq\f(26,36)，p3＝eq\f(18,36).故p1<p3<p2.4．(2015·濰坊市模擬)某同學(xué)寒假期間對(duì)其30位親屬的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，列出了如下2×2列聯(lián)表：偏愛蔬菜偏愛肉類合計(jì)50歲以下481250歲以上16218合計(jì)201030則可以說其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)的把握為()A．90% B．95%C．99% D．99.9%附：參考公式和臨界值表χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)k2.7063.8416.63510.828P(χ2≥k)0.100.050.0100.001[答案]C[解析]因?yàn)棣?＝eq\f(30×4×2－16×82,12×18×20×10)＝10,6.635<χ2<10.828，所以有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)．5．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,9) D．eq\f(2,9)[答案]D[解析]如圖，作出兩集合表示的平面區(qū)域．容易得出Ω所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切蜛OB及其邊界，A表示的區(qū)域?yàn)槿切蜲CD及其邊界．容易求得D(4,2)恰為直線x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三線的交點(diǎn)．則可得S△AOB＝eq\f(1,2)×6×6＝18，S△OCD＝eq\f(1,2)×4×2＝4.所以點(diǎn)P落在區(qū)域A的概率為P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).6．(2015·云南統(tǒng)考)某公司員工對(duì)戶外運(yùn)動(dòng)分別持“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中持“一般”態(tài)度的比持“不喜歡”態(tài)度的多12人，按分層抽樣方法從該公司全體員工中選出部分員工座談戶外運(yùn)動(dòng)，如果選出的人有6位對(duì)戶外運(yùn)動(dòng)持“喜歡”態(tài)度，有1位對(duì)戶外運(yùn)動(dòng)持“不喜歡”態(tài)度和3位持“一般”態(tài)度，那么這個(gè)公司全體員工中對(duì)戶外運(yùn)動(dòng)持“喜歡”態(tài)度的有()A．36人 B．30人C．24人 D．18人[答案]A[解析]設(shè)持“喜歡”、“不喜歡”、“一般”態(tài)度的人數(shù)分別是為6x、x、3x，由題意可得3x－x＝12，x＝6，∴持“喜歡”態(tài)度的有6x＝36人．7．某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示。以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是()[答案]A[解析]通過分析莖葉圖可知在[0,5)和[5,10)內(nèi)分別各有1個(gè)樣本，故它們的eq\f(頻率,組距)對(duì)應(yīng)的數(shù)值均為0.01，排除B，C與D不符合人數(shù)分組(組距為5)的要求，故選A．8．已知x、y的取值如表所示：x234y645如果y與x呈線性相關(guān)，且線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\f(13,2)，則eq\o(b,\s\up6(^))＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,10) D．eq\f(1,10)[答案]A[解析]∵線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\f(13,2)，線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4,3)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(6＋4＋5,3)＝5，∴回歸方程過點(diǎn)(3,5)，∴5＝3eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\f(13,2)，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝－eq\f(1,2)，故選A．9．如圖是一樣本的頻率分布直方圖，由圖形中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是()A．12.512.5 B．12.513C．1312.5 D．1313[答案]B[解析]在頻率分布直方圖中，最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)，中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積相等．10．在一個(gè)正四面體玩具的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字－1、0、1、2，隨機(jī)拋擲一次，記向下一面的數(shù)字為n，則函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋nx在[0，＋∞)上為減函數(shù)的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．1[答案]A[解析]由y′＝－x2＋n≤0得，n≤x2，∵x∈[0，＋∞)，∴n≤0.∴所求概率P＝eq\f(1,4).11．(2014·山西省重點(diǎn)中學(xué)四校聯(lián)考)向邊長(zhǎng)分別為5,6，eq\r(13)的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)M，則該點(diǎn)M與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的概率為()A．1－eq\f(π,18) B．1－eq\f(π,12)C．1－eq\f(π,9) D．1－eq\f(π,4)[答案]A[解析]如圖，設(shè)△ABC三邊AB＝eq\r(13)，AC＝5，BC＝6，過A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)BD＝x，則CD＝6－x，由AB2－BD2＝AD2＝AC2－CD2得13－x2＝25－(6－x)2，∴x＝2，AD＝3，∴S＝S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×6×3＝9，分別以A、B、C為圓心，1為半徑畫弧，當(dāng)點(diǎn)M落在以A、B、C為頂點(diǎn)的三個(gè)扇形區(qū)域外時(shí)，符合題意，三個(gè)扇形面積的和S1＝eq\f(1,2)×12×∠A＋eq\f(1,2)×12×∠B＋eq\f(1,2)×12×∠C＝eq\f(1,2)(∠A＋∠B＋∠C)＝eq\f(π,2).∴所求概率P＝eq\f(9－\f(π,2),9)＝1－eq\f(π,18).12．甲、乙兩名同學(xué)在五次《數(shù)學(xué)基本能力》測(cè)試中，成績(jī)統(tǒng)計(jì)用莖葉圖表示如下，若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別是X甲，X乙，則下列結(jié)論正確的是()甲乙986389921071A．X甲>X乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定B．X甲>X乙，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定C．X甲<X乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定D．X甲<X乙，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定[答案]A[解析]由已知數(shù)據(jù)得X甲＝eq\f(68＋69＋70＋71＋72,5)＝70，而X乙＝eq\f(63＋68＋69＋69＋71,5)＝68，故X甲>X乙，又seq\o\al(2,甲)＝2<seq\o\al(2,乙)＝7.2，故甲比乙穩(wěn)定．二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)13．(2015·福建文，13)某校高一年級(jí)有900名學(xué)生，其中女生400名．按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為________．[答案]25[解析]由題意得抽樣比例為eq\f(45,900)＝eq\f(1,20)，故應(yīng)抽取的男生人數(shù)為500×eq\f(1,20)＝25.14．一組數(shù)據(jù)共有7個(gè)數(shù)，記得其中有10,2,5,2,4,2，還有一個(gè)數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)的所有可能值構(gòu)成集合A，則A＝________.[答案]{－11,3,17}[解析]設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則平均數(shù)為eq\f(25＋x,7)，眾數(shù)為2，若x≤2，則中位數(shù)為2，此時(shí)x＝－11.若2<x<4，則中位數(shù)為x，此時(shí)2x＝eq\f(25＋x,7)＋2，x＝3，若x≥4，則中位數(shù)為4,2×4＝eq\f(25＋x,7)＋2，x＝17，所有可能值為－11,3,17.15．(2015·青島市質(zhì)檢)在長(zhǎng)為12厘米的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20平方厘米的概率為P＝________.[答案]eq\f(2,3)[解析]不妨設(shè)長(zhǎng)為x厘米，則寬為(12－x)厘米，由x(12－x)>20，得2<x<10，所以該矩形面積大于20平方厘米的概率為eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).16．(2014·哈三中二模)在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，則函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x3＋ax－b在區(qū)間[－1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為________．[答案]eq\f(7,8)[解析]∵a∈[0,1]，∴f′(x)＝1.5x2＋a≥0，∴f(x)是增函數(shù)．若在[－1,1]有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則f(－1)·f(1)≤0，∴(－0.5－a－b)(0.5＋a－b)≤0，即(0.5＋a＋b)(0.5＋a－b)≥0；如圖，點(diǎn)P(a，b)所在平面區(qū)域?yàn)檎叫蜲ABC，f(x)在[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)?點(diǎn)P落在陰影區(qū)域，陰影部分的面積S＝1×1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8)，∴所求概率P＝eq\f(7,8).三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分)(2015·湖南文，16)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球．若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率．你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由．[分析](1)利用列舉法列出所有可能的結(jié)果即可；(2)在(1)中得到摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果數(shù)，然后利用古典概率公式計(jì)算即可得到其對(duì)應(yīng)的概率．[解析](1)所有可能的摸出結(jié)果是：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}.(2)不正確，理由如下：由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中獎(jiǎng)的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)＞eq\f(1,3)，故這種說法不正確．18．(本題滿分12分)(2015·昆明市質(zhì)檢)某企業(yè)招聘大學(xué)畢業(yè)生，經(jīng)過綜合測(cè)試，錄用了14名女生和6名男生，這20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示(單位：分)，記成績(jī)不小于80分者為A等，小于80分者為B等．(1)求女生成績(jī)的中位數(shù)及男生成績(jī)的平均數(shù)；(2)如果用分層抽樣的方法從A等和B等中共抽取5人組成“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”，現(xiàn)從該“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人是A等的概率．[解析](1)由題中莖葉圖知，女生成績(jī)的中位數(shù)是75.5.男生成績(jī)的平均值為eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(69＋76＋78＋85＋87＋91)＝81.(2)用分層抽樣的方法從A等和B等學(xué)生中共抽取5人，每個(gè)人被抽中的概率是eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).根據(jù)莖葉圖知，A等有8人，B等有12人，所以抽取的A等有8×eq\f(1,4)＝2(人)，B等有12×eq\f(1,4)＝3(人)記抽取的A等2人分別為A1，A2，抽取的B等3人分別為B1，B2，B3，從這5人中抽取2人的所有可能的結(jié)果為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10種．其中至少有1人是A等的結(jié)果為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7種．所以至少有1人是A等的概率為eq\f(7,10).19．(本題滿分12分)(2015·唐山市一模)為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化繁殖情況，得如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)t(天)34567繁殖個(gè)數(shù)y(千個(gè))2.5344.56(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，預(yù)測(cè)t＝8時(shí)，細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).[解析](1)由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得，eq\x\to(t)＝5，eq\x\to(y)＝4，eq\i\su(i＝1,n,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝8.5，eq\i\su(i＝1,n,)(ti－eq\x\to(t))2＝10，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)＝0.85，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝－0.25.所以，回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85t－0.25.(2)將t＝8代入(1)的回歸方程中得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×8－0.25＝6.55.故預(yù)測(cè)t＝8時(shí)，細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)為6.55千個(gè)．20．(本題滿分12分)(2015·云南統(tǒng)考)某校1200名高三年級(jí)學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)(滿分為100分)，為了分析這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)，從這1200人的數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽出200人的成績(jī)繪制成如下的統(tǒng)計(jì)表．請(qǐng)根據(jù)表中提供的信息解決下列問題：成績(jī)分組頻數(shù)頻率平均分[0,20)30.01516[20,40)ab32.1[40,60)250.12555[60,80)c0.574[80,100]620.3188(1)求a、b、c的值；(2)如果從這1200名學(xué)生中隨機(jī)取一人，試估計(jì)這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的概率P(注：60分及60分以上為及格)；(3)試估計(jì)這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的年級(jí)平均分．[解析](1)b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)根據(jù)已知，在抽出的200人的數(shù)學(xué)成績(jī)中，及格的有162人．∴P＝eq\f(162,200)＝eq\f(81,100)＝0.81.(3)這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)樣本的平均分為eq\x\to(x)＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，∴這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)?zāi)昙?jí)平均分大約為73分．21．(本題滿分12分)(2015·新課標(biāo)Ⅱ文，18)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表．A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106(1)作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說明理由．[解析](1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散．頻率分布直方圖如圖所示．(2)A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大．記CA表示事件“A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；CB表示事件“B地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”．由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計(jì)值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大．22．(本題滿分12分)某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量(單位：克)，重量值落在[495,510)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．產(chǎn)品重量(克)頻數(shù)[49