高考數(shù)學二輪復習 專題2 函數(shù)的概念、圖象與性質（含解析）試題

一、選擇題1．(文)(2014·新課標Ⅰ文，5)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)[答案]C[解析]本題考查函數(shù)的奇偶性．由f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．∴f(x)·g(x)是奇函數(shù)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，選C.[方法點撥]函數(shù)奇偶性判定方法：緊扣函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的定義域關于坐標原點對稱、函數(shù)圖象的對稱性等對問題進行分析轉化，特別注意“奇函數(shù)若在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0，偶函數(shù)一定有f(|x|)＝f(x)”在解題中的應用．(理)(2015·安徽理，2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()A．y＝cosx B．y＝sinxC．y＝lnx D．y＝x2＋1[答案]A[解析]考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點的概念．由選項可知，B，C項均不是偶函數(shù)，故排除B，C；A，D項是偶函數(shù)，但D項與x軸沒有交點，即D項的函數(shù)不存在零點，故選A.2．(文)函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定義域為()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1][答案]A[解析]本題考查了定義域的求法．由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x≥0，,x＋3>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≤1，,x>－3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x>－3，))∴－3<x≤0，∴f(x)定義域為(－3,0]．(理)函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為()A．(0,1) B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]本題考查函數(shù)定義域的求法．由題設得x2－x>0，解得x<0或x>1，選C.[方法點撥]1.求解函數(shù)的定義域一般應遵循以下原則：①f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù)；②f(x)是分式時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)；③f(x)為偶次根式時，定義域是使被開方數(shù)為非負值時的實數(shù)的集合；④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，且當對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)需大于0且不等于1；⑤零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；⑥若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)運算合成的函數(shù)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集；⑦對于求復合函數(shù)定義域的問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為[a，b]，其復合函數(shù)f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出；⑧對于含字母參數(shù)的函數(shù)求其定義域，根據(jù)具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論；⑨由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．2．高考中常將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)或冪函數(shù)(例如分式函數(shù)、含偶次方根的函數(shù))等結合起來考查，這時一般應從外到內(nèi)逐層剝離解決．例如，y＝eq\f(1,\r(2－log3x))，從總體上看是分式，故先由分母不為0得到eq\r(2－log3x)≠0，再由偶次方根下非負得到2－log3x>0，即log3x<2，最后由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)定義域得到0<x<9.3．(2015·山東理，10)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，,x＜1，,2x，,x≥1.)))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．[1，＋∞)[答案]C[解析]當a≥1時，f(a)＝2a∴f(f(a))＝2f(a)，當a＜1時，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，則f(a)≥1，即3a－1≥1，∴a≥eq\f(2,3)，∴eq\f(2,3)≤a＜1，綜上a≥eq\f(2,3).∴選C.[方法點撥]1.分段函數(shù)求值或解不等式時，一定要依據(jù)條件分清利用哪一段求解，對于具有周期性的函數(shù)要用好其周期性．2．形如f(g(x))的函數(shù)求值應遵循先內(nèi)后外的原則．4．(2015·湖北理，6)已知符號函數(shù)sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，則()A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]C．sgn[g(x)]＝－sgnxD．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)][答案]C[解析]考查新定義問題及函數(shù)單調(diào)性的應用．因為f(x)是R上的增函數(shù)，a＞1，所以當x＞0時，ax＞x，f(x)＜f(ax)，g(x)＜0；x＝0時，ax＝x，f(x)＝f(ax)＝f(0)，g(0)＝0；x＜0時，ax＜x，f(x)＞f(ax)，g(x)＞0.因此sgn[g(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x＞0，,0，x＝0，,1，x＜0.))所以sgn[g(x)]＝－sgnx.故本題正確答案為C.5．(文)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是()[答案]A[解析]∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，排除C.∵x2＋1≥1，則ln(x2＋1)≥0，且當x＝0時f(0)＝0，所以排除B、D，選A.(理)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＋1，x≤0,lnx，x＞0，))則當k>0時，函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的零點個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]結合圖象分析．當k>0時，f[f(x)]＝－1，則f(x)＝t1∈(－∞，－eq\f(1,k))或f(x)＝t2∈(0,1)．對于f(x)＝t1，存在兩個零點x1、x2；對于f(x)＝t2，存在兩個零點x3、x4，共存在4個零點，故選D.6．函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)[答案]D[解析]本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)由y＝logeq\f(1,2)u及u＝x2－4復合而成，y＝logeq\f(1,2)u在定義域內(nèi)為減函數(shù)，而u＝x2－4在(－∞，－2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間(－∞，－2)，選D.7．(文)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8x－8，x≤1，,0，x>1，))g(x)＝log2x，則f(x)與g(x)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1[答案]C[解析]畫出兩函數(shù)的圖象知，當0<x<1時，有一個交點，又f(1)＝g(1)＝0；當x>1時，f(x)＝0<g(x)恒成立，故選C.(理)函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)cosx(－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2))的圖象大致是()[答案]C[解析]解法1：由奇偶性定義易知函數(shù)為偶函數(shù)，故其圖象關于y軸對稱，排除A，B；又x∈[0，eq\f(π,2)]時，cosx∈(0,1]，f(x)＝logeq\f(1,2)cosx>0，排除D，故選C.解法2：利用復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，由于u＝cosx在區(qū)間(－eq\f(π,2)，0)、(0，eq\f(π,2))上分別為增函數(shù)和減函數(shù)，而y＝logeq\f(1,2)u為減函數(shù)，故復合函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)cosx在區(qū)間(－eq\f(π,2)，0)、(0，eq\f(π,2))上分別為減函數(shù)和增函數(shù)，故選C.8．(文)如果我們定義一種運算：g?h＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gg≥h，,hg<h，))已知函數(shù)f(x)＝2x?1，那么函數(shù)f(x－1)的大致圖象是()[答案]B[解析]由定義知，當x≥0時，2x≥1，∴f(x)＝2x，當x<0時，2x<1，∴f(x)＝1，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥0，,1x<0，))其圖象易作，f(x－1)的圖象可由f(x)的圖象向右平移1個單位得到，故選B.[方法點撥]1.新定義題型要準確理解把握新定義的含義，發(fā)掘出其隱含條件．2．恒成立問題要注意恒成立的臨界點及特值法應用．3．分段函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，一般是在各段上分別討論．(理)定義兩種運算：a⊕b＝eq\r(a2－b2)，a?b＝eq\r(a－b2)，則函數(shù)f(x)＝eq\f(2⊕x,x?2－2)為()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又為偶函數(shù) D．非奇函數(shù)且非偶函數(shù)[答案]A[解析]本題考查對新運算的理解和應用以及函數(shù)奇偶性的判斷方法，難度中等．根據(jù)所給的運算定義得函數(shù)f(x)＝eq\f(2⊕x,x?2－2)＝eq\f(\r(4－x2),|x－2|－2)，求出函數(shù)的定義域為[－2,0)∪(0,2]，關于原點對稱，且x－2≤0，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x－2|－2)＝eq\f(\r(4－x2),2－x－2)＝eq\f(\r(4－x2),－x)，易知f(－x)＝－f(x)，所以原函數(shù)為奇函數(shù)，故選A.[易錯分析]本題中常見錯誤是不化簡函數(shù)的解析式而直接將－x代入，導致選擇錯誤答案D.9．(文)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2－x，x<0,fx－5，x≥0))，則f(2013)等于()A．－1 B．2C．0 D．1[答案]D[解析]∵2013＝403×5－2，∴f(2013)＝f(－2)＝log22＝1.(理)(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]C[解析]本題考查函數(shù)的奇偶性．分別令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1－g1＝3，,f1＋g1＝1.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2，,g1＝－1.))?f(1)＋g(1)＝1，故選C.10．(2015·浙江嘉興測試一)偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，若不等式f(ax－1)<f(2＋x2)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－2eq\r(3)，2) B．(－2,2)C．(－2eq\r(3)，2eq\r(3)) D．(－2,2eq\r(3))[答案]B[解析]本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，如何利用單調(diào)性構造不等式是解答本題的關鍵所在，難度中等．由于函數(shù)為偶函數(shù)，故f(ax－1)＝f(|ax－1|)，因此f(ax－1)<f(2＋x2)?f(|ax－1|)<f(2＋x2)，據(jù)已知單調(diào)性可得f(|ax－1|)<f(2＋x2)?|ax－1|<2＋x2，據(jù)題意可得不等式|ax－1|<2＋x2恒成立，即－(2＋x2)<ax－1<2＋x2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋3>0，,x2＋ax＋1>0))恒成立，據(jù)二次函數(shù)知識可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－12<0，,a2－4<0，))解得－2<a<2，故選B.[易錯分析]考生多因為分類討論而使解答過程復雜化，且討論過程出錯率也較高．利用整體思想將偶函數(shù)的條件拓展，利用整體性思想解決問題可以回避分類討論的過程．11．(文)若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝eq\f(a,x＋1)在區(qū)間(1,2)上都是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1][答案]D[解析]由f(x)在(1,2)上為減函數(shù)得a≤1；由g(x)＝eq\f(a,x＋1)在(1,2)上為減函數(shù)得a>0，∴0<a≤1.(理)函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))－x2＋2mx－m2－1的單調(diào)增區(qū)間與值域相同，則實數(shù)m的取值為()A．－2 B．2C．－1 D．1[答案]B[解析]∵－x2＋2mx－m2－1＝－(x－m)2－1≤－1，∴(eq\f(1,2))－x2＋2mx－m2－1≥2，∴f(x)的值域為[2，＋∞)，∵y＝(eq\f(1,2))x單調(diào)遞減，y＝－(x－m)2－1的單調(diào)減區(qū)間為[m，＋∞)，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[m，＋∞)．由條件知m＝2.[方法點撥]函數(shù)單調(diào)性判定方法一是緊扣定義；二是充分利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和函數(shù)圖象的直觀性進行分析轉化．函數(shù)的單調(diào)性往往與不等式的解、方程的解等問題交匯，要注意這些知識的綜合運用．三是利用導數(shù)研究．對于選擇、填空題若能畫出圖象一般用數(shù)形結合法；而對于由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復合而成的函數(shù)常轉化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題；對于解析式為分式、指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式等較復雜的函數(shù)用導數(shù)法；對于抽象函數(shù)一般用定義法．12．(2015·浙江寧波期末)設函數(shù)y＝f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[2,3]上的值域為[－2,6]，則函數(shù)g(x)在[－2012,2012]上的值域為()A．[－2,6] B．[－4030,4024]C．[－4020,4034] D．[－4028,4016][答案]C[解析]本題考查函數(shù)性質與歸納推理的應用，考查對抽象函數(shù)的理解和應用，難度較大．求出幾個區(qū)間的值域，再進行歸納推理．當x∈[3,4]時，x－1∈[2,3]，g(x－1)＝f(x－1)－2(x－1)，且g(x－1)∈[－2,6]，又f(x)的周期為1，所以f(x)－2x＝f(x－1)－2x＝g(x－1)－2∈[－4,4]，所以g(x)在[2,4]內(nèi)的值域為[－4,6]．同理，當x∈[4,5]時，g(x)的值域是[－6,2]，所以g(x)在[2,5]內(nèi)的值域為[－6,6]，…，g(x)在[2,2012]內(nèi)的值域為[－4020,6]．g(x)在[1,2]內(nèi)的值域為[0,8]，g(x)在[1,2012]內(nèi)的值域為[－4020,8]，…，所以g(x)在[－2012,2012]內(nèi)的值域為[－4020,4034]，故選C.[易錯分析]抽象函數(shù)值域的求解是一個難點，尤其是與年份相關的周期函數(shù)的值域問題，難度更大．利用函數(shù)的周期性及整體思想將函數(shù)進行變換，使函數(shù)g(x)能夠特殊化，從而歸納得出結論．13．(文)已知f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，a＝f(2)、b＝f(log32)、c＝f(eq\f(1,2))，則有()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b[答案]D[解析]∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴其圖象關于y軸對稱，∴函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，又∵函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，∵f(2)＝f(0)，且0<eq\f(1,2)<log32，∴f(2)<f(eq\f(1,2))<f(log32)，∴a<c<b.(理)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x＋1，－1≤x<k,x5－3x＋2，k≤x≤a))，若存在k使得函數(shù)f(x)的值域是[0,2]，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[eq\r(3)，＋∞) B．[eq\f(1,2)，eq\r(3)]C．(0，eq\r(3)] D．{2}[答案]B[解析]當a＝2時，f(x)＝x5－3x＋2，k≤x≤2，f(2)＝28不合題意，∴a≠2，排除A、D；當a＝eq\f(1,3)時，∵k≤x≤a，∴k≤eq\f(1,3)，當k＝eq\f(1,3)時，－1≤x<eq\f(1,3)，eq\f(2,3)<1－x≤2，∴l(xiāng)og2eq\f(2,3)<log2(1－x)≤1，又log2eq\f(2,3)<0，∴不合題意，排除C，故選B.二、填空題14．(文)設f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1，f(2)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實數(shù)a的取值范圍是________．[答案](－1，eq\f(2,3))[解析]f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即eq\f(2a－3,a＋1)<－1，解得－1<a<eq\f(2,3).(理)設M是由滿足下列性質的函數(shù)f(x)構成的集合：在定義域內(nèi)存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函數(shù)：①f(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx.其中屬于集合M的函數(shù)是________(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號)．[答案]②④[解析]對于①，方程eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,x)＋1，顯然無實數(shù)解；對于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；對于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，也無實數(shù)解；對于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝eq\f(1,2)，顯然存在x使等式成立，故填②④.15．如圖所示，f(x)是定義在區(qū)間[－c，c](c>0)上的奇函數(shù)，令g(x)＝af(x)＋b，并有關于函數(shù)g(x)的四個論斷：①若a>0，對于[－1,1]內(nèi)的任意實數(shù)m、n(m<n)，eq\f(gn－gm,n－m)>0恒成立；②函數(shù)g(x)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0；③?a∈R，g(x)的導函數(shù)g′(x)有兩個零點；④若a≥1，b<0，則方程g(x)＝0必有3個實數(shù)根；其中所有正確結論的序號是________．[答案]①②③[解析]①∵g(x)＝af(x)＋b，∴eq\f(gn－gm,n－m)＝eq\f(a[fn－fm],n－m)，由圖知對于f(x)在[－1,1]上任意兩點A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB＝eq\f(fn－fm,n－m)>0，又a>0，∴eq\f(gn－gm,n－m)>0恒成立，故①正確；②g(x)為奇函數(shù)?g(－x)＝－g(x)?af(－x)＋b＝－af(x)－b?2b＝－a[f(－x)