專題03 圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型（原卷版）

專題03圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R點(diǎn)，近年來，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點(diǎn)共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運(yùn)算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點(diǎn)共圓的四種重要模型。四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。模型1、定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于定長點(diǎn)的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。例1、（2023?連云港期中）如圖，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數(shù)是．例2．（2022秋·江西贛州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為；若，則的值為．例4．（2022·北京·清華附中九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，則的度數(shù)為______．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AC為直徑。例1．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．例2．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)．若，，則線段的長為．例3．（2022·浙江嘉興·二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E，EA平分∠BED．（1）CD的長是；（2）當(dāng)點(diǎn)F是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的周長是．例4．（2022·湖北武漢·?？级＃┤鐖D，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．若AP＝2，求△APC的面積；模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點(diǎn)共圓.例1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點(diǎn)共圓．例2．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，直線BD、CE相交于點(diǎn)O，連接AO．則下列結(jié)論中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面積的最大值為8，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：(3)如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由例4．（2022·陜西·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，對角線平分，，且．(1)證明：；(2)若，，求的長．

模型4、對角互補(bǔ)共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.例1．（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)．(1)畫出．(2)直線與直線相交于點(diǎn)，證明：A，，，四點(diǎn)共圓．例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，中，，平分，，連接，并延長分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，若，，則的長為（）A．10 B．12 C．15 D．16例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

例4．（2022春·浙江九年級課時(shí)練習(xí)）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，求證：，，，四點(diǎn)共圓；（3）若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，且，求的長．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣西·中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）A．B．C．D．2．（2023秋·河北張家口·九年級?？计谀┤鐖D①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則圖②中“四點(diǎn)共圓”的組數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．63．（2022秋·北京海淀·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接，．請寫出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)和字母）4．（2022·廣東·東莞市九年級期末）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB＝30°，則CD的最小值是________5．（2022·廣西·九年級專題練習(xí)）如圖所示，，，則___．6．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖所示，，，求.7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，的中點(diǎn)為O．求證：A，B，C，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上．

8．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)．(1)線段與有何關(guān)系．說明理由；(2)延長、交于點(diǎn)H，則B、D、G、H這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上．說明理由．9．（2022秋·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)為線段一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，連接和（）．

(1)如圖1，若，，點(diǎn)P是延長線一點(diǎn)，連接，若，，，求的長；(2)如圖2，，作于點(diǎn)交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，將沿翻折至，連接，請直接寫出面積的最大值．10．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，以點(diǎn)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），，將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到．(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)請?jiān)趫D中畫出線段、，并判斷四邊形的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)動(dòng)直線l從與重合的位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與重合時(shí)停止，設(shè)直線l與交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作于G，連接、．請問在旋轉(zhuǎn)過程中的大小是否變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由．11．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求OE︰OF的比值．12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）在邊長為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接AE、DF交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)E．F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．回答下列問題：(1)如圖1，當(dāng)t為多少時(shí)，EF的長等于cm?(2)如圖2，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，①求證：點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓(⊙O)上；②是否存在這樣的t值，使得問題①中的⊙O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；③請直接寫出問題①中，圓心O的運(yùn)動(dòng)的路徑長為_________．13．（2021·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點(diǎn)，直線與直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．14．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形對角線上時(shí)，線段的長度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為．15．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；(3)已知，點(diǎn)M是