專題05 利用勾股定理解決實際問題（解析版）

專題05利用勾股定理解決實際問題知識點框架典型題型考查題型一梯子滑落問題1．（2022·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，一架云梯AB長25m，斜靠在一面墻上，梯子靠墻的一端A距地面24m．（1）這個梯子底端B離墻有多少米？（2）如果梯子的頂端下滑的距離AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑動的距離BE的長．【答案】（1）7米；（2）8m【分析】（1）由題意得米，米，根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2，可求出梯子底端離墻有多遠．（2）由題意得此時CD=20米，DE=25米，由勾股定理可得出此時的CE，繼而可求BE．【詳解】（1）由題意知米，米，米，

在直角△ABC中，∠C＝90°∴∴米，∴這個梯子底端離墻有7米（2）∵米，∴（米），在直角△CDE中，∠C＝90°∴∴（米），米米米．答：梯子的底部在水平方向滑動了8m．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，有一定難度，注意兩問線段的變化．2．（2022·江蘇·連云港市新海實驗中學八年級期中）如圖，一架2.5米長的梯子斜靠在豎直的上，這時點B到墻底端C的距離為0.7米．(1)求的值；(2)如果梯子的頂端沿墻面下滑0.4米，那么點B是否也向外移動0.4米？請通過計算說明．【答案】(1)的值為米；(2)點B向外移動米，見解析【分析】（1）在直角中，根據(jù)勾股定理即可求的長度；（2根據(jù)即可求得的長度，在直角中，已知，即可求得的長度，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：在直角中，已知米，米，則(米)，∴的值為米；（2）解：點B向外移動米，∵，∴米，∵在直角中，，且為斜邊，∴(米)，∴(米)，答：點B向外移動米．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理在直角三角形中的正確運用，本題中求的長度是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·南京玄武外國語學校八年級期末）滑撐桿在懸窗中應(yīng)用廣泛．如圖，某款滑撐桿由滑道，撐桿、組成，滑道固定在窗臺上．懸窗關(guān)閉或打開過程中，撐桿、的長度始終保持不變．當懸窗關(guān)閉時，如圖①，此時點與點重合，撐桿、恰與滑道完全重合；當懸窗完全打開時，如圖②，此時撐桿與撐桿恰成直角，即，測量得，撐桿，求滑道的長度．【答案】滑道的長度為51cm．【分析】設(shè)cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得m的值，由此可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)cm，則由圖①可知cm，由圖②可知cm，∵，∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得，，∴，解得，∴滑道的長度為51cm．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，能結(jié)合撐桿、的長度始終保持不變正確表示出BC和AC是解題關(guān)鍵．考查題型二旗桿高度問題4．（2022·江蘇揚州·八年級期中）如圖，花果山上有兩只猴子在一棵樹上的點B處，且，它們都要到A處吃東西，其中一只猴子甲沿樹爬下走到離樹10m處的池塘A處，另一只猴子乙先爬到樹頂D處后再沿纜繩線段滑到A處.已知兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，設(shè)為xm.(1)請用含有x的整式表示線段的長為m；(2)求這棵樹高有多少米？【答案】（1）15-x;(2)7.5米【分析】設(shè)為x，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15?x.兩只猴子經(jīng)過路程相等的等量關(guān)根據(jù)此等量關(guān)系列出方程即可求解，已知，要求求即可，．【詳解】解：BD為x，且存在BD+DA=BC+CA，即故答案為：15-x在中，AD為斜邊，則即解得米，故樹高米，5．（2022·江蘇蘇州·八年級期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的長度與點到點的距離相等，滑梯高，且，求滑道的長度．【答案】2.5m【分析】設(shè)AC=xm，則AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通過解方程即可求得答案．【詳解】解：設(shè)AC=xm，則AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，由題意得：∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，解得x=2.5，∴AC=2.5m．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度不大．6．（2022·江蘇淮安·八年級期末）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈9米處（車尾到大廈墻面即AC=9米），升起云梯到火災(zāi)窗口B處，已知云梯長AB=15米，云梯底部距地面AE=3米，問：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面BD有多高？【答案】米【分析】根據(jù)題意可得四邊形是矩形，勾股定理求得，然后即可求得的長．【詳解】解：∵在中，AC=9米，AB=15米，∴米根據(jù)題意可得四邊形是矩形，米米答：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面BD有米高【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．考查題型三大樹折斷前高度7．（2022·江蘇無錫·八年級期中）如圖，貨車高AC＝3.2m，AC與地面垂直，貨車卸貨時后面支架AB翻折落在地面A1處，經(jīng)過測量A1C＝1.6m，求翻折點B與地面的距離．【答案】彎折點B與地面的距離為1.2米【分析】設(shè)BC＝xm，則AB＝A1B＝（3.2﹣x）m，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：由題意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，設(shè)BC＝xm，則AB＝A1B＝（3.2﹣x）m，在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，即：1.62+x2＝（3.2﹣x）2，解得：x＝1.2，答：彎折點B與地面的距離為1.2米．【點睛】此題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．8．（2021·江蘇南京·八年級期中）如圖，一棵高5.4m的大樹被臺風刮斷，測得樹梢著地點到樹根的距離，求大樹折斷處離地面的高度AB．【答案】大樹折斷處離地面的高度【分析】根據(jù)大樹折斷后兩部分的長度之和等于樹高，設(shè)出未知數(shù)，再依據(jù)勾股定理列出方程，最后求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，依題意得：，整理得：，解得：．答：大樹折斷處離地面的高度．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用中的大樹折斷高度問題，熟練掌握勾股定理并能列出方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇揚州·八年級期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何?”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高?【答案】竹子折斷處離地面尺【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，利用勾股定理解題即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32=（10-x）2，解得：答：竹子折斷處離地面尺．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．10．（2022·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，小旭放風箏時，風箏掛在了樹上，他先拉住風箏線，垂直于地面，發(fā)現(xiàn)風箏線多出1米；把風箏線沿直線BC向后拉5米，風箏線末端剛好接觸地面，求風箏距離地面的高度AB．【答案】風箏距離地面的高度AB為12米【分析】設(shè)AB＝x米，則AC＝（x＋1）米，依據(jù)勾股定理即可得到方程，進而得出風箏距離地面的高度AB．【詳解】解：設(shè)AB＝x米，則AC＝（x＋1）米，由圖可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，在Rt△ABC中，，即，解得x＝12，答：風箏距離地面的高度AB為12米．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．考查題型四航海問題11．（2022·江蘇淮安·八年級期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時的速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若CB兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？【答案】30（海里/時）【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求得AB的長，再利用速度=路程÷時間即可求得答案．【詳解】解：依題意可知：∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速為（海里/時）．【點睛】本題考查了利用勾股定理解決直角三角形的實際問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇蘇州·八年級期中）位于蘇州樂園的漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面垂直高度為的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子的長為，工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離的長是多少？【答案】此時游船移動的距離的長是【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根據(jù)的出結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，∴，∵工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過秒后游船移動到點D的位置，∴，∴，∴．答：此時游船移動的距離的長是．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型是解題關(guān)鍵．13．（2021·江蘇鹽城·八年級期末）一艘輪船從港向南偏西48°方向航行到達島，再從島沿方向航行到達島，港到航線的最短距離是．（1）若輪船速度為小時，求輪船從島沿返回港所需的時間．（2）島在港的什么方向？【答案】（1）3小時；（2）北偏西【分析】（1）中，利用勾股定理求得的長度，則，然后在中，利用勾股定理來求的長度，再根據(jù)時間路程速度即可求得答案；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定義作答．【詳解】解：（1）由題意可知，AD⊥BC，在中，，∴，，∵BC＝125km，，，∴（小時），∴從島返回港所需的時間為3小時；（2），，，，，

島在港的北偏西．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問題，是基礎(chǔ)知識比較簡單．14．（2021·江蘇·靖江市靖城中學八年級期中）位于沈陽周邊的紅河峽谷漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過10秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？【答案】游船移動的距離AD的長是9米【分析】根據(jù)條件先計算經(jīng)過10秒拉回繩子的長，然后計算出繩子CD的長，在中，在中，，即可求出最終結(jié)果．【詳解】解：工作人員以0.7米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過10秒拉回繩子米，開始時繩子AC的長為17m，拉了10秒后，繩子CD的長為17-7=10米，在中，米，在中，米，AD=15-6=9米，答：游船移動的距離AD的長是9米．【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，屬于綜合題，難度一般，熟練掌握勾股定理解三角形是解決本題的關(guān)鍵．考查題型五汽車超速問題15．（2021·江蘇泰州·八年級期中）某路段限速標志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過70km/h，如圖，一輛小汽車在該筆直路段l上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方30m的點C處，2s后小汽車行駛到點B處，測得此時小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m．(1)求BC的長．(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【答案】(1)40(2)超速【分析】（1）首先結(jié)合題目中所給的數(shù)據(jù)，，，根據(jù)勾股定理求出BC的長；（2）求出小汽車的時速與限定時速比較即可得出答案．【詳解】（1）解：則根據(jù)題意可以得到，根據(jù)勾股定理可得：，∴BC的長為40m.（2）解：∵該小汽車的速度為：，，這輛小汽車超速了．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出BC的長是解題關(guān)鍵．16．（2021·江蘇·淮安市洪澤實驗中學八年級期中）為了積極宣傳防疫，某區(qū)政府采用了移動車進行廣播，如圖，小明家在南大街這條筆直的公路的一側(cè)點處，小明家到公路的距離為米，假使廣播車周圍米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，廣播車以米/分的速度在公路上沿方向行駛時，假如小明此時在家，他是否能聽到廣播宣傳？若能，請求出他總共能斪到多長時間的廣播宣傳？若不能，請說明理由．【答案】小明能聽到廣播宣傳，他總共能聽到分鐘的廣播宣傳．【分析】根據(jù)小明A到公路MN的距離為600米＜1000米，可以判斷能否聽到；根據(jù)勾股定理得到BE=BF=800米，求得EF=1600米，于是得到結(jié)論．【詳解】小明能聽到廣播宣傳，理由：因為村莊到公路的距離米米，所以小明能聽到廣播宣傳．如圖，假設(shè)當宣講車行駛到點開始小明能聽到廣播，行駛到點之后小明聽不到廣播，則米，米，所以（米），所以米，所以小明聽到廣播的時間為：（分鐘），所以他總共能聽到分鐘的廣播宣傳．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時結(jié)合生活實際，便于更好的理解題意．17．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）某地規(guī)定小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過72千米/時．若一輛“小汽車”在城市街道上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面“車速檢測儀A”正前方50米C處，過了5秒后，測得“小汽車”位置B與“車速檢測儀A”之間的距離為130米，這輛“小汽車”超速了嗎？請說明理由．【答案】超速了，理由見解析【分析】根據(jù)題意得到AC和AB的長，用勾股定理求出BC的長，算出小汽車的速度，看是否超速．【詳解】解：根據(jù)題意，，，由勾股定理，，小汽車的速度是，，超速了．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理解直角三角形，需要注意單位的換算．考查題型六是否受臺風影響問題18．（2017·江蘇省阜寧中學八年級期中）如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處,以每小時40km的速度向北偏東60?的BF方向移動,距離臺風中心200km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域.(1)A城是否受到這次臺風的影響?為什么?(2)若A城受到這次臺風影響,則A城遭受這次臺風影響有多長時間?【答案】（1）A城受臺風影響；（2）6h【分析】（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得AC的長，與200km比較即可得結(jié)論；（2）點A到直線BF的長為200km的點有兩點，分別設(shè)為D、G，則△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，則C是DG的中點，在Rt△ADC中，解出CD的長，則可求DG長，在DG長的范圍內(nèi)都是受臺風影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時間．【詳解】（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，則AC=160km，因為160＜200，所以A城要受臺風影響；（2）設(shè)BF上點D，DA=200km，則還有一點G，有AG=200km．因為DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因為AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分線，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120km，則DG=2DC=240km，遭受臺風影響的時間是：t=240÷40=6（h）．19．（2017·江蘇無錫·八年級期中）如圖，公路PQ和公路MN交于點P，且∠NPQ＝45°，公路PQ上有一所學校A，AP＝80米，現(xiàn)有一拖拉機在公路MN上以10米∕秒的速度行駛，拖拉機行駛時周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，請判斷拖拉機在行駛過程中是否對學校會造成影響，并說明理由，如果造成影響，求出造成影響的時間．【答案】受影響的時間為12秒.【詳解】試題分析：過點A作AB⊥DP于點B，則AB是點A到道路MN的最短距離，結(jié)合已知條件求出AB的長度為80米，由80<100可知，學校要受影響；再以點A為圓心，100米為半徑作圓A交MN于點C和點D，連接AD、CD，利用已知條件求出CD的長，用CD的長度除以10，可得受影響的時間.試題解析：作AB⊥DP于B，則AB為A到道路的最短距離，在Rt△APB中，∵∠NPQ=45°，∴∠PAB=∠NPQ=45°，∴BA=BP，∴BA2+BP2=AP2=()2，∴BA=BP=80，∵80小于100，∴有影響；以點A為圓心，100米為半徑作圓A交MN于點C和點D，連接AD、CD，∴在Rt△ABD中，BD=（米），∵AC=AD，AB⊥CD，∴CB=BD=60，∴受影響的時間為：（60×2）÷10=12秒.20．（2022·江蘇淮安·八年級期中）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？【答案】（1）著火點C受灑水影響，理由見解析；（2）能，理由見解析【分析】（1）過點作，垂足為，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進而等面積法求得長度，與500進行比較即可求得答案；（2）以點為圓心，500m為半徑作圓，交于點，勾股定理求得，進而求得的長，根據(jù)飛機的速度得到飛行時間，再根據(jù)題意求得滅火時間，即可解決問題．【詳解】（1）著火點C受灑水影響，理由如下，如圖，過點作，垂足為，，是直角三角形著火點C受灑水影響（2）如圖，以點為圓心，500m為半徑作圓，交于點則在中，著火點C能被撲滅．【點睛】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．21．（2019·江蘇·無錫市錢橋中學八年級期中）如圖，居民樓與馬路是平行的，在一樓的點A處測得它到馬路的距離為9m，已知在距離載重汽車41m處就可受到噪聲影響．（1）試求在馬路上以4m/s速度行駛的載重汽車，能給一樓A處的居民帶來多長時間的噪音影響？（2）若時間超過25秒，則此路禁止該車通行，你認為載重汽車可以在這條路上通行嗎？【答案】（1）20s；（2）可以通行．【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出BC及DC的長，進而可得出BD的長，根據(jù)載重汽車的速度是4m/s即可得出受噪音影響的時間；（2）根據(jù)（1）中得出的時間與25秒相比較即可得出結(jié)論．試題解析：（1）∵由題意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，∴Rt△ACB中，BC=，Rt△ACD中，DC=，∴BD=80，∴80÷4=20（s），∴受影響時間為20s；（2）∵20＜25，∴可以通行．考查題型七選址使兩地距離相等問題22．（2022·江蘇南通·八年級期中）如圖，在筆直的高速路旁邊有A、B兩個村莊，A村莊到公路的距離AC＝8km，B村莊到公路的距離BD＝14km，測得C、D兩點的距離為20km，現(xiàn)要在CD之間建一個服務(wù)區(qū)E，使得A、B兩村莊到E服務(wù)區(qū)的距離相等，求CE的長．【答案】CE＝13.3km．【分析】設(shè)CE＝xkm，則DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)CE＝xkm，則DE＝(20﹣x)km．在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由題意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3，所以CE＝13.3km．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基本題型，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．（2022·江蘇江蘇·八年級期中）“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上兩點相距50km，為兩村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個土特產(chǎn)品市場，使得兩村莊到市場的距離相等，則市場應(yīng)建在距多少千米處?并判斷此時的形狀，請說明理由．【答案】市場應(yīng)建在距的20千米處；是等腰直角三角形，理由見解析．【分析】可以設(shè)，則，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，根據(jù)可以求得x的值，即可求得的值．【詳解】解：設(shè)，則，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市場應(yīng)建在距的20千米處；，，在和中，可得，∴，又，∴，∴又，是等腰直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，本題中根據(jù)和求x的值是解題的關(guān)鍵．24．（2021·江蘇揚州·八年級期中）小渝和小川是一對好朋友，如圖，小渝家住A，小川家住B．兩家相距10公里，小渝家A在一條筆直的公路AC邊上，小川家到這條公路的距離BC為6公里，兩人相約在公路D處見面，且兩家到見面地點D的距離相等，求小渝家A到見面地點D的距離．【答案】公里．【分析】先利用勾股定理求出的長，設(shè)公里，從而可得的長，再在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：由題意得：公里，公里，，，（公里），設(shè)公里，則公里，在中，，即，解得（公里），答：小渝家到見面地點的距離為公里．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．考查題型八最短路徑問題25．（2022·江蘇南京·八年級期末）如圖①，長方體長AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？(1)螞蟻從點A爬行到點G，且經(jīng)過棱EF上一點，畫出其最短路徑的平面圖，并標出它的長．(2)設(shè)該長方體上底面對角線EG、FH相交于點O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點B爬行到點O的最短路徑的長為cm；②當點P在BC邊上，設(shè)BP長為acm，求螞蟻從點P爬行到點O的最短路的長（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①；②（cm）．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出AG即可；（2）①畫出平面圖形，過點O作OK⊥BG于K，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得KG＝KF＝cm，然后利用勾股定理求出OK和BO即可；②畫出平面圖形，過點O作OM⊥BC于M，則OM⊥FG，垂足為N，利用勾股定理求出ON，可得OM＝4＋4＝8cm，根據(jù)BP＝acm可得PM＝cm或P′M＝cm，分別求出OP和OP′可得答案．（1）解：最短路