專題03 全等模型-手拉手模型（原卷版）

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得。【常見模型及證法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．例2．（2022秋·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）如圖，在邊長為8的等邊△ABC中，點D是AB的中點，點E是平面上△ABC外一點，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE．

(1)判斷△BEF的形狀，并說明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當點D，E，F(xiàn)在同一直線上時，請你在備用圖中畫出符合條件的圖形，并求出此時BE的長．備用圖例3．（2022·吉林·九年級期末）如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，此時，成立．（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，在圖②中補充圖形，并直接寫出的長度；（2）當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當，，三點在同一條直線上時，請直接寫出的長度．例4．（2022·黑龍江·虎林市九年級期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．例5．（2022·山西大同·九年級期中）綜合與實踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當∥時，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）拓展運用：某學習小組在解答問題：“如圖3，點是等腰直角三角形內(nèi)一點，，且，，，求的度數(shù)”時，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問題．請你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個多邊形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年級專題練習）邊長為4的正方形ABCD與邊長為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個定值若不是，說明理由；（3）如圖3，當點G恰好落在DE上時，求α的值．例2．（2023·河南鶴壁市八年級月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．例3．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？例4．（2023·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．（正多邊形的各邊相等，各個內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．課后專項訓練1．（2023·重慶·七年級重慶八中?？计谥校┤鐖D：，，，，連接與交于，則：①；②；③；正確的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·湖南·中考真題）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，O為正△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①可由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+2；⑤，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤4．（2022·福建·福州九年級期末）如圖，△ABC是等邊三角形，且，點D在邊BC上，連按AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE，BE．則△BED的周長最小值是_________．5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點P，交AC于點M，交AD于點N．(1)求證：BD=CE．(2)求證：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，試探尋線段PE、AP、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．（2023春·山東東營·七年級?？茧A段練習）在學習全等三角形知識時、教學興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下探究：（1）如圖1，兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此時BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，已知△ABC，請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)．7．（2022·重慶忠縣·九年級期末）已知等腰直角與有公共頂點，，，．現(xiàn)將繞點旋轉(zhuǎn)．(1)如圖①，當點，，在同一直線上時，點為的中點，求的長；(2)如圖②，連接，．點為的中點，連接交于點，求證：；(3)如圖③，點為的中點，以為直角邊構(gòu)造等腰，連接，在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當最小時，直接寫出的面積．8．（2022·四川省渠縣中學八年級期中）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，且AF=AE，連接BE，CF．M為FC的中點，連接AM．(1)如圖（1），試猜想BE和AM的關(guān)系，請寫出你所得到的結(jié)論；(2)如圖（2），將△AFE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），若將△AFE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后（0＜＜90），（1）中的結(jié)論是還成立嗎？請判斷并說明理由．9．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．10．（2023春·廣東揭陽·九年級?？计谥校┮阎猂t△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)(保持點P在△ABC內(nèi)部)，連接AP、BP、BQ．（1）如圖1求證：AP＝BQ；（2）如圖2當三角板CPQ繞點C旋轉(zhuǎn)到點A、P、Q在同一直線時，求AP長．11．（2022·廣東·惠州一中八年級期中）為等邊三角形，，于點．為線段上一點，．以為邊在直線右側(cè)構(gòu)造等邊．連結(jié)，為的中點．（1）如圖1，與交于點，①連結(jié)，求線段的長；②連結(jié)，求的大?。?）如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．為線段的中點．連結(jié)、．當時，猜想的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論．12．（2022·福建·長汀縣八年級階段練習）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB邊上一點，過點D作DE⊥AB，交BC于點E，連接AE，取AE的中點P，連接DP，CP．（1）觀察猜想：

如圖（1），DP與CP之間的數(shù)量關(guān)系是，DP與CP之間的位置關(guān)系是．（2）類比探究：將圖（1）中的△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證明；若不成立，請說明理由．（3）問題解決：若BC＝3BD＝3，

將圖（1）中的△BDE繞點B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當BE⊥AB時，請直接寫出線段CP的長．13．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點D順逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段DE，連接AE，CE，過點A作AF⊥CE交線段CE的延長線于點F，連接BF．（1）當AE＝AB時，求α的度數(shù)；（2）求證：∠AEF＝45°；（3）求證：AE∥FB．14．（2022·河南·方城縣一模）在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（1）所示．則CF的長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）(2)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（2）所示．在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長．思路梳理并填空：當點E不與點A重合時，如圖，連結(jié)CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；當點E在點A處時，點F與點C重合．當點E在點C處時，CF=CA．∴③點F所經(jīng)過的路徑長為．(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖（3）所示．在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長．(4)正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F，G都在直線AE上，如圖（4）．當點E到達點B時，點F，G，H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為．（直接寫出結(jié)果，不說明理由）15．（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖，在銳角中，，點，分別是邊，上一動點，連接交直線于點．(1)如圖1，若，且，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點是的中點，連接．在點，運動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．16．（2022·山西八年級月考）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當點在上時，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說明理由．17．（2022·福建八年級期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中