初中數(shù)學自主招生訓練 17 相似三角形（含解析）

專題17相似三角形

一.選擇題（共12小題）

1.（2021?黃州區(qū)校級自主招生）如圖所示，正方形ABCD中，E,尸分別是A8,8c上的

點，DE交AC于點M.AF交BD于點N,若AF平分NBAC,DEYAF-.記

z儂，則有（)

0M

B.x=y=zC.x=y<zD.x=y>z

2.（2021?江岸區(qū)校級自主招生）如圖，為△ABC中，ZBCA=90t>,AC=8C,點。是

的中點，點F在線段AD上，DF=CD,BF交CA于E點,過點A作0A的垂線交CF

的延長線于點G,下列結(jié)論：①CF?=EF,BF；?AG=2DC-,@AE=EF；@AF-EC=EF

?EB.其中正確的結(jié)論有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

3.（2020?衡陽縣自主招生）如圖，直角梯形488中，AD//BC,/B=90°,AD=3,BC

=6,點￡在高AB上滑動，若△D4E與△EBC相似，則當AE=2時，EB=（)

C.4或9D.4或6

4.（2020?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，在△ABC中，DE//BC,辿=2,記的面積為

AB3

Si,四邊形OBCE的面積為S2,則包的值是（）

$2

5.（2020?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，在矩形A8CD中，已知AB=3,點E是BC邊的中點,

連接AE,ZvlBiE和aABE關(guān)于AE所在直線對稱,Bi在對角線BDt.若NCBiO=90°,

則的長為（）

6.（2020?西安自主招生）如圖，在邊長為8的等邊△ABC中，D,E分別為AB,AC的中

點，EFLAC^F,G為EP的中點，連接OG,則OG的長為（）

7.（2019?江岸區(qū)校級自主招生）在△48C中，最大角NA是最小角NC的兩倍，且A8=6,

AC=8,則BC的值為（）

A.6&B.10C.2歷D.V86

8.（2019?和平區(qū)校級自主招生）如圖，點。，E分別在△4BC的邊AB,AC上，且。E〃

BC,BE與CD相交于點O,若AO：DB=2：3,則△DOE與△COB的面積比是（）

D

B。-----------------------------------

A.2：3B.4：9C.9：25D.4：25

9.(2019?湖北自主招生)如圖，點。在△ABC內(nèi)，點尸、Q、R分別在邊48、BC、C4上,

且OP〃BC,OQ//CA,OR//AB,OP=OQ=OR=x,BC=a,CA=b,AB=c,則x=()

Ba+b+c

"I-

abc

C.1ki+b￡+cj

DA/ab+bc+ca

到3'3V―

10.（2019?海港區(qū)校級自主招生）如圖，在△ABC中，AB=AC,。為8c的中點，BELAC

于E,交AD于P,已知8尸=3,PE=l,則AE=（）

A.返B.V2C.73D.加

11.（2019?武侯區(qū)校級自主招生）在凸四邊形A8CD中，E為BC邊的中點，8。與AE相交

于點O,HBO=DO,AO=2EO,則SMC。：S“BD的值為（）

A.2：5B.1：3C.2：3D.1：2

12.（2018?鏡湖區(qū)校級自主招生）如圖，己知平行四邊形ABCD中，E、尸分別為邊AB、

AD上的點.EF與對角線AC交于P,若嫗鼻，絲4（4、氏而、〃均為正數(shù)），則處

EBbFDnPC

an+bman+bmam+an+bman+bm+bn

二.填空題（共8小題）

13.（2021?長壽區(qū)自主招生）如圖，在正方形ABCD中，點P是48上一動點（不與A、B

重合），對角線AC、8。相交于點。，過點P分別作AC、8。的垂線，分別交AC、BD

于點E、F,交A。、BC于點M、N.下列結(jié)論：①△4P￡：也Z\AME；②PM+PN=4C；

③PfiZp產(chǎn)=">2；④△尸。尸S^XBNF；⑤點O在M、N兩點的連線上.其中正確的

14.（2020?渝北區(qū)自主招生）如圖，四邊形ABCQ中，AD1DC,AD=CD,ZABC=45°,

A3+2返BC=6j5，連接20,則線段8。的最小值為.

15.（2020?浙江自主招生）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,內(nèi)取一點P,且

2.,2

AP=AC^a,BP=CP=b（b<a）,貝Ua十.=.

2,2

a-b

16.（2020?南安市校級自主招生）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當用力壓杠桿

的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動.現(xiàn)有一塊石頭，要使

其滾動，杠桿的B端必須向上翹起10。，",已知杠桿的動力臂AC與阻力臂2c之比為6：

1,要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓an.

17.（2020?長壽區(qū)自主招生）如圖，ZSABC與AAE尸中，AB=AE,BC=EF,NB=NE,

AB交EF于D.給出下列結(jié)論：?ZAFD=ZC；②DF=BF；③△AOEs/XFQB；@Z

BFD=NCAF.其中正確的結(jié)論是（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

18.（2020?浙江自主招生）如圖，菱形A8CD中，A8=AC,點E、F分別為邊A8、BC上

的點，且4E=BF,連接CE、AF交于點H,連接。，交AC于點O.則下列結(jié)論①△4BF

^/\CAE,②NA”C=120°,③AH+CH=DH,④A。2：。。，。，中，正確的是.

19.（2019?徐匯區(qū)校級自主招生）已知，在△ABC中，AB=8,4c=6,點。、E分別在邊

AC、A8上，且AZ）=2.當△AOEs/xACB時，AE=.

20.（2019?江陰市校級自主招生）如圖，在。ABCD中，E為8c的中點，連接AE、AC,分

別交BO于例、N,則8M：DN等于.

D

三.解答題（共10小題）

21.（2020?浙江自主招生）證明：只存在唯一一個三角形，它的三邊長為三個連續(xù)的正整數(shù),

并且它的三個內(nèi)角中有一個內(nèi)角為另一個內(nèi)角的2倍.

22.（2019?霞山區(qū)校級自主招生）如圖，扇形OA/N的半徑為1,圓心角是90°.點B是福

上一動點，于點A,BCLON于點C,點。、E、F、G分別是線段04、AB.

BC、CO的中點，GF與CE相交于點P,OE與AG相交于點Q.

（1）求證：四邊形EPGQ是平行四邊形；

（2）探索當0A的長為何值時，四邊形EPG。是矩形；

（3）連接PQ,試說明3PQ2+Q42是定值.

23.（2021?黃州區(qū)校級自主招生）如圖，在△ABC中，。是BC的中點，過。的直線交AC

于E,交AB的延長線于尸，AB=mAF,AC=nAE.求：

（1）m+n的值；

（2）的取值范圍.

m+1

24.（2020?赫山區(qū)校級自主招生）已知四邊形ABCQ中，E,尸分別是AB,A。邊上的點,

DE與CF交于點G.

(1)如圖①，若四邊形A8CD是矩形，且￡>EJ_CE求證：些=型匕

CFCD

(2)如圖②，若四邊形ABC。是平行四邊形.試探究：當NB與/EGC滿足什么關(guān)系時,

使得邁=歿成立？并證明你的結(jié)論.

CFCD

25.(2019?武昌區(qū)校級自主招生)如圖，等腰梯形ABC￡>中，AB//CD,CDVAB,AD=CB,

對角線AC與8。交于。，/AC￡>=60°,點S、P、Q分別是0￡>、OA、BC的中點.

(1)若A8=5,0)=3.

①求梯形的高；

②求aPOS的面積；

(2)若APOS與△AOD的面積比為3：2,求CD的值.

AB

26.(2019?青羊區(qū)校級自主招生)如圖，在扇形Q4B中，/4OB=90°,0A=12,點C在

04上，AC=4,點。為0B的中點，點E為弧AB上的動點，0E與C。的交點為E

(1)當四邊形OQEC的面積S最大時，求EF；

(2)求CE+2DE的最小值.

27.(2019?永春縣校級自主招生)如圖，在△A8C中.AB=AC,AD_LBC于。，作￡)E_L

AC于E,F是AB中點，連EF交于點G.

(1)求證：AD2=ABME；

(2)若AB=3,AE=2,求包?的值.

AG

28.(2019?順慶區(qū)校級自主招生)如圖，在△A8C中，點。在邊8c上，聯(lián)結(jié)4力，NADB

=ZCDE,OE交邊AC于點E,￡>E交54延長線于點尸，且

(1)求證：4BFDs叢CAD；

(2)求證：BF-DE=AB?AD.

29.(2018?李滄區(qū)校級自主招生)如圖，在△ABC中，NABC=90°,BC=1,

P為△ABC內(nèi)一點，NBPC=90°.

(1)若PB=L,求△以8的面積；

2

(2)S△而B=返，求△%C的面積.

30.(2017?雨城區(qū)校級自主招生)在RtZXABC中，ZBAC=90°,過點B的直線MN〃AC,

。為BC邊上一點，連接AO,作力交MN于點E,連接AE.

(1)如圖1,當乙48。=45°時，求證：AD=DE；

(2)如圖2,當/ABC=30°時，線段AO與。E有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由.

專題17相似三角形

一.選擇題（共12小題）

1.【解答】解：作0P〃A8交OE于尸.

：AN平分NBA。，

：.ZBAF^ZCAF,空1=^x5，空即x=y=

ONAOPNABBF

VAFIDE,

NAEM=NAME,

：.AM=AE,

".'OP//AB,OB=OD,

：.EP=DP,

?AEAM

""OP"ON"

：.OP=OM,

?_BEBE_9

OMOP

?\z>y=x,

故選：c.

2.【解答】解：..?￡>F=C￡>,

:.NDCF=/DFC,

；4C=BC,點。是BC的中點，

：.DF=DB=DC,

：.NDBF=/DFB,

又；ZDBF+ZDFB+ZDFC+ZDCF=-1SO°,

AZBFC=Ax180°=90°,

2

J.CFLBE,

.".RtABCF^RtACEF,

?CF=BF

*'EFOF）

:.CF2=EF-BF,故①正確；

\'AG1.AD,

：.ZG+ZAFG=W°,

又：NACG+/OCF=90°,ZDCF=ZDFC=ZAFG,

，NG=/ACG,

：.AG=AC,

'：AC=BC,

：.AG=BC,

?.?點力是BC的中點，

：.BC=2DC,

：.AG=2DC,故②正確；

根據(jù)角的互余關(guān)系，ZEAF+ZADC=90°,ZAFE+ZDFC=90°,

VtanZADC=2,

AZADC^60°,

■:NDCF=NDFC,

：.ZFDC^ZDFC,

：.4EAF#乙EFA,

J.AE^EF,故③錯誤；

VZACB=90°,CFA.BE,

:ACEFsABCE,

?EC=EF

??麗EC*

:.Ed=EF?EB,

:△BCE四△AGB（已證），

：.AF=EC,

:.AF?EC=EF?EB,故④正確；

所以，正確的結(jié)論有①②④.

故選:B.

3.【解答】解：?.?人?！╚。，NB=90°,

：.ZA^ZB=90°,

當△￡)?!￡與△EBC相似，

則坦或坦/

BEBCBCBE

"：AD=3,BC=6,AE=2,

3上或3:2,

BE66BE

解得BE=9或4,

故選：C.

A______D

：./\ADE^/\ABC,

.?.AD_—2，

AB3

.S1_4

??-^-9

2AABC9

-S1__4

S[+$29

，9SI=4SI+4s2,

；.5SI=4S2,

.S14

故選：A.

5?【解答】解：如圖，設(shè)AE與8。交于點R

△ABiE和△4BE關(guān)于AE所在直線對稱，

：.AB=AB\,EB=EB\,

垂直平分B8i,

：.BF=B\F,

：NAF8=NO8iC=90°,

.?./BAF+/A8F=NABF+NE8F=90°,

：.ZBAF=ZEBF,同理NEB尸=NOCBi,

:.NBAF=NDCBi,

"：AB=CD,

.".△ABF^ACDBi(A4S),

:.BF=BiD,

：.F,81是對角線8。的三等分點，

；/DCBi=/BCD,NDBiC=NDCB=90°.

:.△DB'CS^DCB,

.DCDB

''DlfDC'

:.Dd=DBi?DB,

設(shè)OBi=x,則。B=3x,

".32=X*3X,

:.x=M，x=-5/3(舍去)，

:.B\D=M.

故選：D.

6.【解答】解：連接。E,

：在邊長為8的等邊△A8C中，D,E分別為A8,BC的中點,

是aABC的中位線，

：.DE=4,且0E〃AC,BD=BE=EC=4,

：EF_LAC于點F,ZC=60°,

：.ZFEC=30°,ZDEF=ZEFC=90°,

:.FC=EC=2,

故EF=Q/_22=2

：G為E尸的中點，

**?EG=\f^,

?**DG=W6+3=

故選：D.

7.【解答】解：作N8AC的平分線A。，

：.ZBAD=ZDAC,

VZBAC=2ZC,

...NBAD=ZDAC=ZCf

:?AD=CD,

9：ZBAC=2ZC,

：.ZBAD=ZCf

■:NB=/B,

:./XBADs^BCA,

.BA=AD=BD即6=AIUBC-AD

**BCACBA?'BCV6

解得：AO?3C=48,AD=^BC,

7

???C8=痘=2亞，

故選：C.

：.AD：AB=2：5,

,:DE〃BC,

：./\ADE^/\ABC,

?.?-A--D-二DE”_—2—,

ABBC5

'：DE//BC,

:.△DEOS^COB,

S

.ADOE^(DE)2=4

S/ICOBBC25

故選：D.

9.【解答］解：延長PO交4c于M,延長。。交AB于N,如圖,

'JOP//BC,OQ//CA,OR//AB,

二四邊形ANOR、四邊形CMOQ為平行四邊形，

：.MC=OQ=x,ON=AR,

?：OM〃BC,OR//AB,

」.△ROMs△ABC,

"RM=ORanRM=x

ACABbc

/.RM=^xf

c

VOP//BC,ON//AC,

：.ANOP^/\ACB9

...此=空_即曲=三，

ACCBba

：.NO=^x,

a

；.AR=kr,

a

U

:AR+RM+MC=AC9

即2+&+%=%,

ac

...x=abc—］

ab+bc+acl4Ad

abc

即OP的長為］；.

—+—+—

abc

故選：A.

R

10.【解答］解：如圖，過D作DGJ_AC于G,

?：AB=AC,。為BC的中點，

：.ADLBC,

"：BELAC,DGLAC,

：.DG//BE,

?CDCG

，-BD'EG"

:.CG=EG,

是aBCE的中位線，

:.DG=LE.即CE=2EG,

2

,:BP=3,PE=\,

：.BE=3+\=4,

：.DG=^BE^2,

2

'.'PE//DG,

：./\APE^/\ADG,

.PEAE=1

"DG=AG~2

:.AE=XAG,

2

：.AE=EG=GC,

,：ZADG+ZCDG=9Q°,ZCDG+ZC=90°,

，NC=ZADG,

又???NAGO=NCG￡>=90°,

:.AADGs^DCG,

?AGDG

**DG"CGT

：.2AE^AE=4f

:.AE=?,

故選：B.

11.【解答］解：如圖，過點3作8/〃A。交AE延長線于R連接OC,

^BF//AD

：.ZF=ZDAO

，：BO=DO,ZBOF=ZDOA

.,.△FOB^AAOD(A4S)

：.FO=AO

*：AO=2EO

：.FO=2EO

；.EO=EF,

???E為BC邊的中點

：.BE=CE

?:/BEF=/CEO

:.XBEF空XCEO(SAS)

：.ZBFE=ZCOE

：.BF//OC

AD//OC

:?S&ACD=SAAOD,

?:BD=2OD

**.SAABD=2SAAOD?

?^S^ABD=2SMCD

?'?SMCD：S/\ABD=1：2；

故選：D.

12?【解答】解:方法一：

過點E作EG〃A￡>,交AC于點0,

?.?四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AD//EG//BC,AD=BC,

△AEOS^ABC,XAPFsMOPE,

OCBEb

?AP+FO=aEO=AE=aAF_AP

"'PC-POVBC=AB=a+b'EO=PO"

??AE_aAFm

*EBT*而二

???令AE=or,BE=bx,AF=myfDF=ny,

?

??---E--O----~----a--，

my+nya+b

A￡0=ay(nijn))

a+b

.my_AP

??ay(m+n)P0，

a+b

?pg-AP-(m+n)a,

(a+b)m

，AP?(mW)a

7+b%=a,

,,AP-(mW)nb，

(a+b)m

.\AP(a+b)bm+AP(〃z+〃)ab+AP(m+n)cr=PC(〃+/?)am,

.\AP(bm+cm+am)(a+b)=PC(a+b)cun,

.?典=—

PCam+an+bm

???C答案正確;

c

AE-r—B

H

方法二：

延長FE交CB的延長線于點H,

'：CH//AD,

：.△BE”，△APFs△CPH,

■:AAEFsABEH,

?.?—B^E―=BH=—b?

AEAFa

,/XAPFsXCPH,

?PC__CH=BC+BH=DF+AF+BH=1—am+an+bm

APAFAFAFmaam

???AP--_------a-m---,

PCam+an+bm

故選：C.

AER

填空題(共8小題)

13.【解答】解：①?.?四邊形ABCD是正方形,

.\ZBAC=ZDAC=45O,

"：PMLAC,

：.ZAEP=ZAEM=W0,

在△APE和△AME中，

，ZBAC=ZDAC

?AE=AE>

ZAEP=ZAEM

A(ASA),

故①正確；

②：/\APE^/\AME,

;.PE=EM=LPM,

2

同理，F(xiàn)P=FN=LNP,

2

?.,正方形ABC。中，AC-LBD,

又：PE_LAC,PFVBD,

:.NPEO=NEOF=NPFO=90°,且中AE=PE

四邊形PEO尸是矩形.

PF=OE,

在△△「￡：中，ZAEP=90°,ZB4E=45°,

.?.△APE為等腰直角三角形，

：.AE=PE,

：.PE+PF=OA,

又■:PE=EM=LPM,FP=FN=LNP,OA=LC,

222

：.PM+PN=AC,

故②正確：

③?.?四邊形PEOF是矩形，

：.PE=OF,

在直角△OPF中，O產(chǎn)+2產(chǎn)=尸。2,

：.PE1+PF2=PO2,

故③正確；

@V"PE絲△AME,

：.AP=AM

△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，

二/\POF與△BNF不一定相似，

故④錯誤；

⑤；/\APE^/\AME,

：.ME=PE,

.?.AE是MP是中垂線，

：.MO=OP,

XVOELMP,

，NMOE=NPOE,

同理可證/POF=ZNOF,

,/ZPOE+ZPOF^ZEOF=90°,

/.ZMOE+ZPOE+ZPOF+ZNOF=\SO0,

，點M,點。，點N三點共線，

故⑤正確，

故答案為①②③⑤.

14.【解答】解：

二將△OCB繞點力旋轉(zhuǎn)，使A。、CO重合，連接8B',

:ADCB/△DAB',

'：ZB'48=135°,NAOC=90°,NABC=45°,,

；.ND4B+/C=360°-90°-45°=225°,

：.ZB'AB=360°-NOAB'-ZDAB=3600-ZDCB-ZDAfi=\35a,

：.AB'=BC,NBDB'=ZADC=90Q,

在RtZXBDB'中，B'D=BD,

:.BD=?BB，,

2

要求8。最小，只需B8‘最小，過B'作8'HLBA,垂足為，，

設(shè)AH=a,

VZBZAB=135°,ZBfAH=45°,

:?B'H=a,AB'=&a,

■:ab'=bc=小且A5+J^3C=6&,

4

:.AB=6貶-^a,BH=6M-L,

22

由勾股定理得，BB'2=a2+(6?-L)2=昱2?6?〃+72,

24

當片T>v：=里0時,BB'最小，最小值為烏叵，

-2x|55

4

此時BD=12Vl返=12泥,

525

故BD最小值為烏度.

5

故答案為：里G.

5

15.【解答］解：如圖：過點P作PO_LBC與點。，作PEJ_4c于點E,可得矩形PDCE,

有PD=EC,PE=CD,

,:PC=PB,PDLBC,

.*.OC=OB=」BC=LC=L,

222

：.PE=CD=^a,RtAAEP中，AP=AC=a,PE=L,

22

：.AE='&a,

2_

AEC=AC-AE=a-旦=皿?

22

；.PD=EC=2-Ma,

2

RtZ\CDP中，PD1+Cb2=CP2,

：.(生叵)2+(―,

22

7-正2+[2=廬,

44

殳丸③f,

4

:.(2-?)a2,=h2.

'2

2-2

?a+b

a2-b/]_

故答案是：

16.【解答］解：如圖；AM,BN都與水平線的垂直，M,N是垂足，則AM〃BN；

?:AM"BN,

:./\ACMS/\BCN；

??...A.C=...AH,

BCBN

：AC與BC之比為6：1,

AC_=M_=即AM=6BM

BCBN

當BN210cm時，AMN60cvn,

故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓60cm.

故答案為：60.

17.【解答］解：在△ABC與△AEF中,

'：AB=AE,BC=EF,ZB=ZE,

：./\ABC^/\AEF,

：.AAFD^AC（①正確）；

由NB=/E,NADE=NFDB,

可知：△ADfs/XFDB（②正確）;

ZEAF=ABAC,

：.ZEAD=ZCAF,

由△A￡>ES/\F￡）B可得NEAO=NBFD,

：.ZBFD=ZCAF（④正確）.

綜上可知：①③④正確.

故答案為：①③④.

18?【解答】解：???四邊形A8C。是菱形,

：.AB=BC,

"：AB=AC,

：.AB=BC^AC,

即△ABC是等邊三角形，

同理：△AOC是等邊三角形

：.ZB=ZEAC=60°,

在△45F和△CAE中，

，BF=AE

<ZB=ZEAC.

BC=AC

.?.△ABF絲△CAE(SAS)；

故①正確；

，/BAF=NACE,

"?ZAEH=ZB+ZBCE,

：.ZAHC=ZBAF+ZAEH=NBAF+NB+NBCE=ZB+ZACE+ZBCE=ZB+ZACB=

600+60°=120°；

故②正確；

在，。上截取HK=A”，連接4K,

VZAHC+ZADC=\2Q°+60°=180°,

...點A,H,C,。四點共圓，

.?./AHD=NACD=60°,ZACH^ZADH,

.?.△AHK是等邊三角形，

：.AK=AH,NAK4=60°,

.?.NAKZ)=NAHC=120°,

在△AK￡?和△AHC中，

rZAKD=ZAHC

<ZADH=ZACH，

AD=AC

：./\AKD^^\AHC(AAS),

：.CH=DK,

：.DH=HK+DK=AH+CH-,

故③正確；

VZOAD=ZAHD=60°,ZODA=ZADH,

：./\OAD^/\AHD,

：.AD：DH=OD：AD,

:.AD2-=OD*DH.

故④正確.

故答案為：①②③④.

19.【解答】解：Vi\ADE^/\ABC,

??.A.D.=.AE1,

ACAB

即2_AE,

68

解得AE=1.

3

故答案為：區(qū).

3

20.【解答］解：在。A8CD中，A￡）〃BE,D=BC,BN=ND,

：./\ADMsAEBM,

?BM=BE

??而AD"

???點￡是BC的中點，

：.BE=^BC=^AD,

22

?-?BM~~_——1,

MD2

設(shè)8M=a,則M￡>=2mBD=3a,

：.DN=^.a,

2

??.BM=3―=2?

DN3a3

2a

故答案為：2.

3

三.解答題（共10小題）

21.【解答】證明：如圖，在△4BC中，設(shè)NA=2NB,且三邊長分別為a,b,c.

延長。到點O,使A￡>=A8=c,P'lJCD=b+c,由NA=2NB,知NABC=/O.

從而，△ABCS/XBDC,故里■望，即-_

DCBCb+ca

于是，a2=b(b+c)①

當。>c>/?時，設(shè)。=〃+1,c=〃，b=n-1,代入①式，解得，n=5.

此時，〃=6,b=5,c=4；

當C>Q>〃時：設(shè)c=/?+l,a=nfh=n-1,解得，n=2.

此時，。=2,b=l,c=3,不能構(gòu)成三角形；

同理，當。時，可得，n2-3n-1=0,〃不是整數(shù)，舍去.

綜上所述，滿足條件的三角形只有一個，其三邊長為4,5,6.

22?【解答】解：(1)證明：連接05,如圖①，

VBA1OM,BC工ON,

：.ZBAO=ZBCO=90°,

VZAOC=9Q°,

???四邊形045。是矩形.

J.AB//OC,AB=OC,

?:E、G分別是43、CO的中點，

J.AE//GC,AE=GC,

???四邊形AECG為平行四邊形.

C.CE//AG,

??,點。、E、F、G分別是線段04、AB、BC、CO的中點,

:?GF〃OB,DE//0B,

:.PG"EQ,

???四邊形EPGQ是平行四邊形;

(2)如圖②，當NCE￡>=90°時，nEPGQ是矩形.

止匕時NAEQ+/CEB=90°.

又?.?/￡>AE=/EBC=90°,

NAED=NBCE.

AAEDsABCE,

???AD二AE一?

BEBC

設(shè)OA—x,AB—y,則三—=—：x,

222

得尸=2?,

又OA1+AB2=OB2,

即x2+y2=I2.

解得：尸返.

3_

當0A的長為返時，四邊形EPGQ是矩形:

3

(3)如圖③，連接GE交尸。于0',

?.?四邊形EPGQ是平行四邊形，

：.O'P=O'Q,O'G=0'E.

過點P作0C的平行線分別交8C、GE于點B'、A

由△PCFSAPEG得，旦：:上，

PFPCFC1

：.PA'=%'B'=LB,GA'=」GE=4A,

3333

.?.A'o'=JLGE-GA'=』04.

26

在RtAai'O'中，PO'2^PA'2+A'O'2,

又AB2+OA2=\,

：.3P(^=AB2+^,

OA^+iPQ1=OA2+(AB2+^)=A.

N

圖③

23.【解答】解：（1）過點8作BG〃4C交EF于G,

是8c的中點，

:.DC=BD,

?:/CDE=/BDG,

???△DCE沿LDBG(ASA),

:.EC=BG,

?.?姆_=機，即AF-BF=祖,

AFAF

1-

AF

：￡?=〃，即AE+EC=〃,

AEAE

...〃7=區(qū)=地，

AEAE

,JBG//AC,

:.AFBGSAFAE,

?BFBG

*'AF=AE，

'?1-m—n-1,

?./%+/?=2.

(2);n=,

m+1m+1m+1

???點尸在AB的延長線上，

：.AF>AB,

：.0<m<\,\<m+}<2,J_<_得,

2m+1

.1<-J1<2,

2m+1

.\JL<N<2.

2m+1

24.【解答】(1)證明：如圖(1),?..四邊形ABC。是矩形,

.*.ZA=ZFDC=90°,

?：CFLDE,

：.ZDGF=90°,

：./ADE+NCFD=90°,ZADE+ZAED=90a,

：.ZCFD=ZAED,

ZA=ZCDF,

:AAEDS/\DFC,

?DEAD.

,方F

(2)當/B+NEGC=180°時，些=歿成立.

CFCD

證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

：.ZB=ZADC,AD//BC,

；.NB+/A=180°,

VZB+ZEGC=180°,

ZA=ZEGC=ZFGD,

'：ZFDG=ZEDA,

：./\DFG^^DEA,

?DFDE

*'DG'AD"

VZB=ZADC,/8+/EGC=180°,/EGC+NOGC=180°,

：.ZCGD=ZCDFf

?:/GCD=/DCF,

:.ACGDsACDF,

.DF_CD

DGCG

?DECF

ADCD

?DE=AD

"'CFCD

即當NB+/EGC=180°時，邁=迪?成立.

CFCD

25.【解答】解：（1）

①作￡>E_LAB,垂足為E,

'：AB=5,CD=3,

：.AE=\,BE=5-1=4,

又?：AB//CD,

：.ZABD^ZACD=60°,

.?.OE=BE?tan60。=4?,

梯形的高為4加；

②連接CS,

「ABC。是等腰梯形，且AC與8。相交于。,

：.AO=BO,CO=DO,

'：ACD=60°,

.?.△OC￡）與△OAB均為等邊三角形，

：S是。。的中點，

：.CS1DO,

：Q是BC中點，

：.SQ=^BC,

2

在RtZSADE中，AD={DE2+AE2=7'

：.SQ=4C=L1￡>=工，

222

同理，連接BP,可證尸Q=」BC,

2

又SP是△OAO的中位線，

:.SP=1AD=^BC,

22

：.SP=PQQ=SQ,

故.?.△SPQ為等邊三角形，

:&PQS=?X

416_

（2）設(shè)CZ）=a,AB=bCa<b）,則5"0。=弘8。。=工80*CS=^L也

24

r-22

由（1）知，Bd=sd+B±=（苧）+（b-kj-a）=/+油+廿，

:&SPQ=Tx（匏）嚓（。2+〃6+.），

又,??△PQS與△AO。的面積比為3：2,

；.2X返（搭曲y）=3X返辦

164

即（J-5。/?+〃2=0,

2

??.華）-5XA+l=0,

?a_5±V21

?.—-------,

b2

'：a<b,

.CD-5721

??,—------.

AB2

26?【解答】解：(1)分別過0、E作0MLe。于N,EM_LC。于M,

"0=10,

四邊形ODEC=SAOCD+S&CDE=1a)(0N+EM)4處OE

=yX10X12

=60,

此時OM、EN、OE重合,

?：ON?CD=OC?OD,

.".10XON=6X8,

0N=2i,

5

???EF=0E-0M=12筌筆；

bb

(2)延長OB至點G,使BG=OB,連接GE、GC、DE,

；點。為OB的中點，OB=OE,

???OD1,

OE2

?ODOE

?,麗而

又NDOE=NEOG,

.,.△DOEsdEOG,叫」，

EG2

：.EG=2DE,

：?CE+2DE=CE+EG,

當C、E、G三點在同一直線上上時，CE+EG最小，C0=Q4-AC=12-4=8,OG=OB+BG

=12+12=24,

此時CE+EG=CG=VOC2+OG2=^82+242=85/101

故CE+2DE有最小值為8V10.

27.【解答】(1)證明：于。，作OE_L4C于E,

AZADC=ZAE