處于平衡狀態(tài)中的極值問(wèn)題和臨界問(wèn)題

處于平衡狀態(tài)中的極值問(wèn)題和臨界問(wèn)題預(yù)備知識(shí)：1、極值問(wèn)題：平衡物體的極值問(wèn)題，一般指在力的變化過(guò)程中的最大值和最小值問(wèn)題。解決臨界問(wèn)題的方法：是解析法，即根據(jù)物體的平衡條件列出方程，在解方程時(shí)，采用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值或者根據(jù)臨界條件求極值。另外圖解法也是常用的一種方法，即根據(jù)物體的平衡條件作出力的矢量圖，畫出平等四邊形或者矢量三角形進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值或最小值。2、臨界問(wèn)題：由某種物理現(xiàn)象變化灰另一種物理現(xiàn)象或由某種物理狀態(tài)變化為另一種物理狀態(tài)時(shí)，發(fā)生轉(zhuǎn)折的狀態(tài)叫臨界狀態(tài)，往往利用"恰好出現(xiàn)”或"恰好不出現(xiàn)"的語(yǔ)句來(lái)表述。解決這類問(wèn)題的基本方法是假設(shè)推理法，即先假設(shè)某種情況成立，然后再根據(jù)平衡條件及有關(guān)知識(shí)進(jìn)行論證、求解。例1（兩物體剛好發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)模型）（單選）如圖所示，在水平板左端有一固定擋板，擋板上連接一輕質(zhì)彈簧，緊貼彈簧放一質(zhì)量為m的滑塊，此時(shí)彈簧處于自然長(zhǎng)度。已知滑塊與板的動(dòng)摩擦因數(shù)及最大靜摩擦因數(shù)均為笠，現(xiàn)將板的右端緩慢抬起使板與水平面間的夾角為。，3最后直到豎直，此過(guò)程中彈簧的彈力大小F隨夾角最后直到豎直，此過(guò)程中彈簧的彈力大小F隨夾角。的變化關(guān)系可能是圖中的哪一個(gè)？分析：這是臨界問(wèn)題一兩物體剛好發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的模型。由關(guān)鍵詞"緩慢”，可知滑塊處于動(dòng)態(tài)平衡。在板的右端緩慢抬起的過(guò)程中，可知在夾角。較小時(shí)，滑塊與板相對(duì)靜止;夾角。較大時(shí)，滑塊相對(duì)板滑動(dòng)。進(jìn)而分析可知，板與水平面的夾角存在一臨界值a，此時(shí)滑塊所受的摩擦力恰為最大靜摩擦力。易知，板與水平面的夾角小于臨界角時(shí)，滑塊所受的摩擦力為靜摩擦力；大于臨界角時(shí)，摩擦力為滑動(dòng)力，從而問(wèn)題得解。解析：設(shè)板與水平面的夾角為a時(shí)，滑塊相對(duì)于板剛要滑動(dòng)。則由mgsin以=日mgcos以得：tana=目=2以=3003，則。在0300的范圍內(nèi)，彈簧處于原長(zhǎng)，彈力F=0。當(dāng)板與水平面的夾角大于^時(shí)，滑塊相對(duì)板緩慢滑動(dòng)，由平衡條件得:F=mgsin0-^mgcosF=mgsin0-^mgcos0=mg(sin0-^cos0)=mgsin0- cos0kcosp)\o"CurrentDocument"^^(sin0cosP-sinPcos0)=mgsin(0-P)=mgsecPsin(0-P)cosp cosp=mg0+tan2Psin(0-P)=mg(1+日2sin(0-P)（注意：其中tanP=^）小結(jié)：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找臨界條件。本題滑塊與木板間可能發(fā)生兩種物理現(xiàn)象（相對(duì)靜止和相對(duì)運(yùn)動(dòng)），中間必有一臨界狀態(tài)，找出臨界條件：運(yùn)動(dòng)特征為木板"恰好"發(fā)生滑動(dòng)，力學(xué)特征是所受的摩擦力"恰好"為最大靜摩擦力，這是分析問(wèn)題的養(yǎng)分所在。例2（繩子剛好拉直或松弛模型）物體A的質(zhì)量為2kg，兩I根輕b和c的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體A上，在物體A上另施加一個(gè)方向與水平線成。角的拉力F,相關(guān)幾何關(guān)系如§圖所示，0=600。若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍。堂(g=10m/s2)分析：繩子剛好拉直或松弛模型，利用力的正交分解，列平衡方程式，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)即可求出F即可求出F的范圍；也可采用假設(shè)法：分別假設(shè)b、c繩恰好伸直但不受力，根據(jù)三力平衡知識(shí)，即可求得F范圍。解析：方法一：正交分析法。作出物體A的受力分析圖，如右圖。由平衡條TOC\o"1-5"\h\z件可得：Fsin0+Fcos0-mg=0 （1）1Fcos0-F-Fcos0=0 （2）由（1）式得F=-m^-F……（3）sin0 1由（2、（3）式得：F=-^+—F^……（4）2sin02cos0要使兩繩伸直，則有二>0,F>0所以由（3）式得：F=些=坐3Nmaxsin0 3由（4）式得:F=上土=坐3Nmin2sin0 3綜合上面兩式得F的取值范圍：20*3N<F<40*3N33方法二：假設(shè)法假設(shè)b繩恰好伸直但不受力，受力分析如圖甲所示：由三力平衡知識(shí)可知：F=冬=坐3Nmax sin0 3同理假設(shè)C繩恰好伸直但不受力，受力分析如圖乙所示:由三力平衡知識(shí)可知：F=上導(dǎo)=坐9Nmin2sin0 3所以：

心京<亨N。小結(jié):（1）求解平衡中的臨界問(wèn)題和極值問(wèn)題時(shí)，首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過(guò)客聽分析，找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)。（2）臨界條件必須在變化中去找，不能停留在一個(gè)狀態(tài)來(lái)研究臨界問(wèn)題，而要把某個(gè)物理量推身患極端，即極大或極小，并依此作出科學(xué)的推理分析，從而得出判斷或?qū)С鼋Y(jié)論。例3（物體唱好相互脫離）（單選）如圖所示，一個(gè)同學(xué)用雙手水平地夾住一疊書，已知他用手在這疊書的兩端施加最大水平壓力為F=300N,如每本書的質(zhì)量為0.50kg,手與書間的動(dòng)摩擦因數(shù)為p廣0.40，書與書間的動(dòng)摩擦因數(shù)為P2=0.25,則該同學(xué)最多能水平夾住幾體書？（已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g=10m/s2）A、48B、30 C、32 D、50分析：這是兩物體了脫離的模型，首先對(duì)所有的書整體分析，要使書憲不脫離，由平衡條件可知：總重力等于手對(duì)左邊書的最大靜摩擦力的二倍，其次對(duì)除最左邊和最右邊之外的剩余的書分析，由平衡條件也可列出方程，觀察公式的特點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)有一定的規(guī)律性，可歸納出遞推公式，進(jìn)而求解。解析：設(shè)一共有N本書，手與左邊第一本書之間的最大靜摩擦力為f1，手與右邊第一本書之間的最大靜摩擦力也為f1，對(duì)所有的書整體進(jìn)行受力分析，得2f=NG,即f=氣。i 1 2左邊第一本書與第二本書之間的最大靜摩擦力為f2，右邊第一本書與右邊第二本書之

間的最大靜摩擦力也為f2，對(duì)中間的（N-2）本書整體受力分析，得2f2=（N-2）G,依次同理可得，左邊第二本書與第三本書（或者右邊第二本書與第三本書）之間的靜摩擦力為：f擦力為：f=—-二G,

I22)可見f2>f3>f>依題意可知，手與書間的最大靜摩擦力f=|i1F=120N書與書間的最大靜摩擦力二密=u2F=75N，書能被夾住的條件是要求手與書之間