導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

04一月20241執(zhí)教人：劉麥玲復(fù)習(xí)課:導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用04一月20242

要點(diǎn)復(fù)習(xí)1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，⑴如果在區(qū)間（a,b）內(nèi),＞0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果在區(qū)間（a,b）內(nèi),＜0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.⑵如果在區(qū)間（a,b）內(nèi),函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，那么在這個區(qū)間內(nèi)＞

0;如果在區(qū)間（a,b）內(nèi),函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減，那么在這個區(qū)間內(nèi)＜0。2.用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性區(qū)間的步驟：⑴確定函數(shù)f(x)的定義域；⑵求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)；⑶令＞0，解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間；令＜0，解不等式得x的范圍就是遞減區(qū)間.04一月20243

要點(diǎn)復(fù)習(xí)3.函數(shù)的極值⑴函數(shù)極值的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在包含x0的一個區(qū)間（a,b）內(nèi)定義，如果y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)任何一點(diǎn)的函數(shù)值都不大于x0點(diǎn)的函數(shù)值，就稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值為函數(shù)的極大值，記作:y極大值=；如果y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)任何一點(diǎn)的函數(shù)值都不小于x0點(diǎn)的函數(shù)值，就稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值，記作:y極小值

=；極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。⑵判斷極值的方法：當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，判斷f(x0)是極大（?。┲档姆椒ㄓ校孩俣x法；②導(dǎo)數(shù)法：如果在x0的左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，那么x0是極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果在x0的左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，那么x0是極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值。簡記為：若在x0兩側(cè)異號，x0是極值點(diǎn)，f(x0)是極值；若f(x)在x0兩側(cè)同號，則x0不是極值點(diǎn)。04一月20244

要點(diǎn)復(fù)習(xí)若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則=0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條件。⑶用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)極值的步驟：

①確定函數(shù)f(x)的定義域；

②求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)；

③解方程=0；用=0的每一個解x0順次將函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間，并列成表格，分析f(x)在x0兩側(cè)的符號（即f(x)的單調(diào)性），確定極值點(diǎn)。⒋函數(shù)的最值

⑴函數(shù)的最大與最小值:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，在區(qū)間[a,b]上一定有最大值與最小值，但在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值。

⑵用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最值的步驟：

①求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)的極值；

②求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b);

③將函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)的每個極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。04一月20245問題提出:極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系是什么？X練習(xí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像如下圖:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的極大值是

極小值是

，最小值是

，最大值是

0x5x1x4yabX33X2f(x1)f(x3)f(x5)f(x2)f(x4)f(a)f(a)04一月20246典例分類剖析題型1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

⑴f(x)=2x3-3x2-36x+16⑵f(x)=x3-3bx+2(b≠0)解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3)

令=6(x+2)(x-3)＞0，解得x＜-2或x＞3

令=6(x+2)(x-3)＜0，解之得-2＜x＜3

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），(3，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，3）（2）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，=3x2-3b

當(dāng)b＜0時，＞0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞)；當(dāng)b＞0時，解＞0即x2＞b得x＜-或x＞；解＜0得-＜x＜所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-)，（，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-，）.04一月20247

題型2求函數(shù)的極值例2.求函數(shù)y=的極值。-+-

極小值

極大值

由表知函數(shù)f(x)的極大值為f(x)=-1，極小值為f(-1)=-3

解：

令=0，解得x=1或x=-1列表如下：f(x)00(1，+∞)1(-1，1)-1(-∞，-1）x)(xf￠04一月20248

題型3求函數(shù)的最值例3.求函數(shù)y=x3-12x2+45x-10在區(qū)間[0,10]上的最大值和最小值.解：函數(shù)=3x2-24x+45

令=0得3x2-24x+45=0即x2-8x+15=0

解得x1=3或x2=5列表如下：

極大值

極小值

(3，5)05f(x)010(5，10)3(0，3)0x+-+-10240由表知：極大值f(3)=62，極小值f(5)=40所以f(x)在[0，10]上的最大值為240，最小值為-10.04一月202491.f(x)=5x2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是

2.f(x)=x3-3x2+1的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A、（2，+∞）B、（-∞，2）C、（-∞，0）D、（0，2）3.（2009廣東）函數(shù)f(x)=（x-3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A、（-∞，2）B、（0，3）C、（1，4）D、（2,+∞）4.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋╝，b），其導(dǎo)函數(shù)在（a，b）內(nèi)的圖像如下圖所示，則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)極小值點(diǎn)的個數(shù)是（）

5.（2009.遼寧）若函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值，則a=

.6.(2007.江蘇)已知函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間[-3，3]上的最大值與最小值分別為M,m,則M-m=

.7.（2008.安徽）設(shè)函數(shù)f(x)=(x