《金融工程學》第章電子教案

第八章期權定價的數(shù)法主要內容二叉樹期權定價模型蒙特卡羅模擬有限差分方法第八章期權定價的數(shù)法二叉樹模型的根本方法第八章期權定價的數(shù)法無套利定價法構造投資組合包括D份股票多頭和1份看漲期權空頭 當SuD–?u=SdD–?d，那么組合為無風險組合SuD–?uSdD–?d第八章期權定價的數(shù)法無套利定價法〔續(xù)〕組合在T時辰價值為 SuD–?u組合現(xiàn)值應為：(SuD–?u)e–rT組合現(xiàn)值的另外一個表達式為：SD–f因此：?=SD–(SuD–?u)e–rT第八章期權定價的數(shù)法無套利定價法〔續(xù)〕將代入上式就可得到：

其中第八章期權定價的數(shù)法風險中性定價法在風險中性世界里：〔1〕一切可買賣證券的期望收益都是無風險利率；〔2〕未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)。在風險中性的條件下,參數(shù)值滿足條件：同樣可以推得：第八章期權定價的數(shù)法證券價錢的樹型構造第八章期權定價的數(shù)法倒推定價法得到每個結點的資產(chǎn)價錢之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型構造圖的末端T時辰開場往回倒推，為期權定價值得留意的是，假設是美式期權，就要在樹型構造的每一個結點上，比較在本時辰提早執(zhí)行期權和繼續(xù)再持有時間，到下一個時辰再執(zhí)行期權，選擇其中較大者作為本結點的期權價值。第八章期權定價的數(shù)法舉例闡明假設標的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當前市場價為50元,動搖率為每年40%，無風險延續(xù)復利年利率為10%，該股票5個月期的美式看跌期權協(xié)議價錢為50元，求該期權的價值。利用倒退定價法，可以推算出初始結點處的期權價值為4.48元。第八章期權定價的數(shù)法續(xù)為了構造二叉樹，我們把期權有效期分為五段，每段一個月〔等于0.0833年〕?？梢运愠觯旱诎苏缕跈喽▋r的數(shù)法美式看跌期權二叉樹第八章期權定價的數(shù)法二叉樹方法的普通定價過程以無收益證券的美式看跌期權為例。把該期權有效期劃分成N個長度為的小區(qū)間，令表示在時間時第j個結點處的美式看跌期權的價值，同時用表示結點處的證券價錢，可得：后，假定期權不被提早執(zhí)行，那么在風險中性條件下：第八章期權定價的數(shù)法支付延續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權定價當標的資產(chǎn)支付延續(xù)收益率為q的紅利時，在風險中性條件下，證券價錢的增長率應該為r-q，因此：其中第八章期權定價的數(shù)法支付知紅利率資產(chǎn)的期權定價假設時辰在除權日之前，那么結點處證券價錢仍為：假設時辰在除權日之后，那么結點處證券價錢相應調整為：對在期權有效期內有多個知紅利率的情況，第八章期權定價的數(shù)法知紅利額假設紅利數(shù)額知且動搖率為常數(shù)時的二叉樹圖第八章期權定價的數(shù)法知紅利額把證券價錢分為兩個部分：一部分是不確定的，其價值用表示，而另一部分是期權有效期內一切未來紅利的現(xiàn)值，假設在期權有效期內只需一次紅利。第八章期權定價的數(shù)法利率是時間依賴的情形第八章期權定價的數(shù)法P=0.5的二叉樹圖第八章期權定價的數(shù)法三叉樹圖第八章期權定價的數(shù)法三叉樹圖:一些參數(shù)第八章期權定價的數(shù)法控制方差技術控制方差技術是數(shù)值方法的一個輔助技術，可以運用在二叉樹模型、蒙特卡羅模擬和有限差分方法上。其根本原理為：期權A和期權B的性質類似，我們可以得到期權B的解析定價公式，而只能得到期權A的數(shù)值方法解。第八章期權定價的數(shù)法順應性網(wǎng)狀模型在運用三叉樹圖為美式期權定價時，當資產(chǎn)價錢接近執(zhí)行價錢時和接近到期時，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。即在樹圖中那些提早執(zhí)行能夠性較大的部分，將一個時間步長進一步細分，如分為，每個小步長依然采用一樣的三叉樹定價過程，這樣使得樹圖更好地反映了實踐情形，從而大大提高了定價的效率和準確程度。第八章期權定價的數(shù)法隱含樹圖經(jīng)過構建一個與目前市場上的期權價錢信息相一致的資產(chǎn)價錢樹圖，從而得到市場對標的資產(chǎn)價錢未來概率分布的看法。其詳細方法是在二叉樹圖中，經(jīng)過前一時辰每個結點的期權價錢向前推出〔留意不是倒推〕下一時辰每個結點的資產(chǎn)價錢和相應概率。第八章期權定價的數(shù)法二叉樹定價模型的深化了解二叉樹圖模型的根本出發(fā)點在于：假設資產(chǎn)價錢的運動是由大量的小幅度二值運動構成，用離散的隨機游走模型模擬資產(chǎn)價錢的延續(xù)運動能夠遵照的途徑。同時二叉樹模型與風險中性定價原理相一致，即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無風險收益率，資產(chǎn)價錢向上運動和向下運動的實踐概率并沒有進入二叉樹模型，模型中隱含導出的概率是風險中性世界中的概率，從而為期權定價。實踐上，當二叉樹模型相繼兩步之間的時間長度趨于零的時候，該模型將會收斂到延續(xù)的對數(shù)正態(tài)分布模型，即布萊克－舒爾斯偏微分方程。第八章期權定價的數(shù)法蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬是一種經(jīng)過模擬標的資產(chǎn)價錢的隨機運動途徑得到期權價值期望值的數(shù)值方法，也是一種運用非常廣泛的期權定價方法根本過程：蒙特卡羅模擬要用到風險中性定價原理，其根本思緒是：由于大部分期權價值實踐上都可以歸結為期權到期報答的期望值的折現(xiàn)，因此，盡能夠地模擬風險中性世界中標的資產(chǎn)價錢的多種運動途徑，計算每種途徑結果下的期權報答均值，之后貼現(xiàn)可以得到期權價值。第八章期權定價的數(shù)法蒙特卡羅模擬的技術實現(xiàn)在風險中性世界中，為了模擬的途徑，我們把期權的有效期分為N個長度為△t時間段，那么上式的近似方程為

或第八章期權定價的數(shù)法舉例闡明假設無紅利的股票價錢運動服從式〔8.12〕，年預期收益率為14％，收益動搖率為每年20％，時間步長為0.01年，那么根據(jù)式〔8.12〕有經(jīng)過不斷從規(guī)范正態(tài)分布樣本中抽取的值，代入上式，我們可以得到股票價錢運動的一條途徑。第八章期權定價的數(shù)法表：股票價錢模擬每步開始時的股票價格隨機抽樣值該時間步長中的股票價值變化20.0000.520.23620.2361.440.61120.847－0.86－0.32920.5181.460.62821.146－0.69－0.26220.883－0.74－0.280第八章期權定價的數(shù)法單個變量和多個變量的蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬的優(yōu)點之一在于無論報答結果依賴于標的變量S所遵照的途徑還是僅僅取決于S的最終價值，都可以運用這一方法。同時，這個過程也可以擴展到那些報答取決于多個標的市場變量的情況。第八章期權定價的數(shù)法當報答僅僅取決于到期時S的最終價值時可以直接用一個大步〔〕〔假設初始時辰為零時辰〕來多次模擬最終的資產(chǎn)價錢，得到期權價值：第八章期權定價的數(shù)法當報答依賴于多個市場變量時當存在多個標的變量時，每次模擬運算中對每個變量的途徑都必需進展抽樣，從樣本途徑進展的每次模擬運算可以得出期權的終值，假設期權依賴于n個變量,，其離散方式可以寫成：第八章期權定價的數(shù)法隨機利率的蒙特卡羅模擬假設期權模型中的變量之一本身就是短期無風險利率或是其他與有關的變量，例如利率衍消費品，那么蒙特卡羅模擬方法與前類似，只是要模擬風險中性世界中r的途徑，每次模擬時既要計算r到期時終值相應帶來的期權報答，又要計算期權有效期內r的平均值。最后折現(xiàn)的時候運用的貼現(xiàn)率是這個平均值，用數(shù)學符號表示為：第八章期權定價的數(shù)法隨機樣本的產(chǎn)生是服從規(guī)范正態(tài)分布的一個隨機數(shù)。大多數(shù)程序文語都為抽取0到1之間的隨機數(shù)編制了程序。假設只需一個單變量,那么可以經(jīng)過下式獲得：其中是0到1的相互獨立的隨機數(shù)。第八章期權定價的數(shù)法模擬運算次數(shù)確實定假設對估計值要求95％的置信度，那么期權價值應滿足式中，為運算次數(shù)，為均值，是規(guī)范差，期權估計值的規(guī)范誤差為：第八章期權定價的數(shù)法減少方差的技巧對偶變量技術控制方差技術重點抽樣法間隔抽樣法樣本矩匹配法準隨機序列抽樣法樹圖取樣法第八章期權定價的數(shù)法有限差分方法在金融界，有限差分方法越來越多地用在期權定價當中。其主要思想是：運用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程

轉化為一系列近似的差分方程，即用離散算子逼近、和各項，之后用迭代法求解，

得到期權價值。第八章期權定價的數(shù)法有限差分方法的格點圖第八章期權定價的數(shù)法隱性有限差分法隱性有限差分法可以了解為從格點圖內部向外推知外部格點的期權價值，如下圖：第八章期權定價的數(shù)法的近似對于坐標方格內部的點，期權價值對資產(chǎn)價錢的一階導數(shù)可以用三種差分來表示：第八章期權定價的數(shù)法的近似對于點處的，我們那么采取前向差分近似以使時辰的值和時辰的值相關聯(lián)：第八章期權定價的數(shù)法的近似這個二階差分也是中心差分，其誤差為第八章期權定價的數(shù)法差分方程把以上三個近似代入布萊克－舒爾斯偏微分方程，整理得到：其中：第八章期權定價的數(shù)法邊境條件1.其中2.3.第八章期權定價的數(shù)法求解期權價值用方程差分方程和邊境條件，我們可以寫出聯(lián)立方程：和，，第八章期權定價的數(shù)法顯性有限差分法第八章期權定價的數(shù)法顯性有限差分法其中第八章期權定價的數(shù)法有限差分方法和樹圖方法的比較分析有限差分方法和樹圖方法是相當類似的。實踐上很多人以為樹圖方法就是解出一個偏微分方程的一種數(shù)值方法，而有限差分方法其實是這個概念的一個擴展和普通化。這兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價錢的延續(xù)運動，主要差別在于樹圖方法中包含了資產(chǎn)價錢的分散和動搖率情形，而有限差分方法中的格點那么是固定均勻的，只是參數(shù)進展了相應的變化，以反映改動了的分散情形。第八章