2023年重慶第二高高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.雙曲線:.彳=/俗>0,6>0淵離心率為小，則其漸近線方程為

ab'

A.y=±-^2xB.y=土木xC.y=±-xD.y=±-x

2.已知集合4={小2一310<（）},集合B={x|—則等于（）

A.{x|-l<x<5}B.|x|-l<x<5|

C.{止2cx<6}D.{x卜2<x<5}

3.已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）可以為（）

2elA|

C./(%)=——xD./(x)=——

xx

4.已知向量2=(1,2),1=(2,"2),且M，則2等于()

A.4B.3C.2D.1

5.某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（%》）分別為（2』.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回歸直線方程為》=1.6x+心若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢，則該設(shè)備的使用年限為

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

6.已知過點P。/）且與曲線），=1相切的直線的條數(shù)有（）.

A.0B.1C.2D.3

7.已知點4—3,0）,8（0,3）,若點p在曲線y=—忘/上運動，則△PAB面積的最小值為（）

8.已知集合4={巾婦。,。6/?},8={x[2*<16},若AB,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.0B.RC.S，4]D.（-oo,4）

22

9.已知橢圓C:——+與=1,直線4："吠+?+3加=。與直線4：x-my-3=0相交于點/>,且P點在橢圓內(nèi)恒成立，

a-+9a-

則橢圓C的離心率取值范圍為（）

M（°，用隹]。,陷D.加

10.設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，/，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若加_L〃，nila,則B.若加〃￡,B工a、則

C.若加_L￡,〃_L￡,nVa,則"?_LaD.若〃z_L〃，nA./3,/3上a,則m_La

11.已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為1、2、3元）.甲、乙租車費用為1元的概

率分別是0.5、0.2,甲、乙租車費用為2元的概率分別是0.2、0.4,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（）

A.0.18B.0.3C.0.24D.0.36

12.已知集合4={（乂刈/+了2=4},3={（>,h?=2'},則AD8元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在△A6C中，角的對邊分別為K2Z?cosB=acosC+ccosA,若AABC外接圓的半徑為氈，

3

則AABC面積的最大值是.

14.丫展開式中/項系數(shù)為no,則a的值為

Ix）

15.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若cosB+百sin8-2=0；且Z?=l,則AABC周長的

范圍為.

16.在（2-x）s的展開式中，1項的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

222

17.（12分）已知實數(shù)x,y,z滿足「二+工^+^^=2,證明：1二+;二+^^三千^

1+x21+/1+z21+r1+y1+z

jrrr

18.（12分）如圖，在直角△ACS中，NACB=—,ZCAB=~,AC=2,點M在線段AB上.

23

(l)若sin/CMA=^^,求CM的長；

3

(2)點N是線段C5上一點，MN=近,且S讖MN=gSaAC8,求5M+BN的值.

19.(12分)已知玉,天,電￡(0,內(nèi))，且滿足用+馬+芻=3%々W，證明：XW+々工3+工3內(nèi)23.

20.(12分)已知QER,函數(shù)/(x)=ln(x+l)-%2+4x+2.

(1)若函數(shù)/(x)在[2,長。)上為減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：對(一1,+00)上的任意兩個實數(shù)X1,%2，總有/[§西+§工2)2§/(芭)+§/(%2)成立.

21.(12分)已知函數(shù)=,g(x)=xsinx+cosx.

(1)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,24)上的零點的個數(shù)；

(2)記函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2萬)上的兩個極值點分別為西、々，求證：/6)+/(工2)<0.

22.(10分)已知函數(shù)，(x)=|x+a|+|2x-l|(aeR).

(1)。=一1時，求不等式“X)22解集;

(2)若/(x)<2x的解集包含于；,3,求“的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.

222

、45c「b~c)br

詳解：：?e=—二道,z-:=—i-=e-1=3-1=2,-=[2,

aWWa

因為漸近線方程為1=±1，所以漸近線方程為V=±缶，選A.

a

2222

點睛：已知雙曲線方程三J="0力>0球漸近線方程：三一二=0.=±勺.

a'b'ab'a

2.B

【解析】

求出A中不等式的解集確定出集合A，之后求得Ap|8.

【詳解】

由A={x,—33—10<。}=1%|(x+2)(x-5)<o|={X卜2<x<5},

所以AcB={x|-l<x<5},

故選：B.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎(chǔ)題目.

3.A

【解析】

根據(jù)圖象可知，函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在(0,+紇)上單調(diào)遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出.

【詳解】

首先對4個選項進(jìn)行奇偶性判斷，可知，/(%)=為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；

x

其次，在剩下的3個選項，對其在((),+8)上的零點個數(shù)進(jìn)行判斷，/(x)=二在((),+8)上無零點，不符合題意，排除

X

2

D；然后，對剩下的2個選項，進(jìn)行單調(diào)性判斷，/(幻=嚏-x在(0,+紇)上單調(diào)遞減，不符合題意，排除C.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題.

4.D

【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】

因為M=（1,2）,5=（2,4—2）,且MJ_5，

歷石=2+2（九一2）=0,

則2=1.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

根據(jù)樣本中心點正J）在回歸直線上，求出〃，求解y>15,即可求出答案.

【詳解】

依題意最=3.5,1=4.5,（3.5,4.5）在回歸直線上，

4.5=1.6x3.5+a,a=—1.1,勺=1.6%—1.1，

由ji=1.6x-l.l>15,x>10^,

估計第1I年維修費用超過15萬元.

故選:D.

【點睛】

本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

設(shè)切點為（xo，y0）,則yo=x,；,由于直線1經(jīng)過點（1,1）,可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點x0處

的切線斜率，建立關(guān)于X。的方程，從而可求方程.

【詳解】

若直線與曲線切于點（x（）,y0）（x0。0）,則k=/==3二=X；+X。+1,

x?！?x?！?

又?..y'=3x2,.?.y[x=x（）=3x02,.?.2X（）2-X。一1=0,解得x（）

，過點p（l,1）與曲線C:y=x，相切的直線方程為3x-y-2=0^3x-4y+l=0,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得P位于（-1,0）,結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離

公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.

【詳解】

解：曲線y=表示以原點。為圓心，1為半徑的下半圓（包括兩個端點），如圖，

直線A8的方程為x-），+3=0,

可得|AB|=3夜，由圓與直線的位置關(guān)系知P在（一L0）時，P到直線AB距離最短，即為I一普+5=0,

則△PkB的面積的最小值為』x3夜x夜=3.

2

故選：B.

【點睛】

本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)

合思想易得.

8.D

【解析】

先化簡8={x[2"<16}={x|x<4},再根據(jù)A={x|x<a,aeR},且A8求解.

【詳解】

因為8={%[2"<16}={X|%<4},

又因為A={X|X<Q,QwR},且AB,

所以a<4.

故選：D

【點睛】

本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

先求得橢圓焦點坐標(biāo)，判斷出直線4,4過橢圓的焦點.然后判斷出4,4,判斷出P點的軌跡方程，根據(jù)P恒在橢圓內(nèi)

列不等式，化簡后求得離心率e的取值范圍.

【詳解】

設(shè)6（—c,0）,鳥（c,0）是橢圓的焦點，所以，="+9一"=%c=3.直線4過點耳（—3,0）,直線《過點名（3,0）,由

于mxl+lx（—租）=0,所以4，/2,所以P點的軌跡是以￡，工為直徑的圓Y+y2=9.由于尸點在橢圓內(nèi)恒成立，

所以橢圓的短軸大于3,即—，所以片+9>18,所以雙曲線的離心率八六中,

,所以

2

故選：A

【點睛】

本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查動點軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.

10.C

【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.

【詳解】

對于A,當(dāng)初為。內(nèi)與〃垂直的直線時，不滿足A錯誤；

對于B,設(shè)。0尸=/,則當(dāng)加為a內(nèi)與/平行的直線時，〃〃//?,但他ua,3錯誤；

對于C,由根_!?/?,〃_L/?知：mlIn,又〃_La,C正確；

對于。，設(shè)。0尸=/,則當(dāng)加為夕內(nèi)與/平行的直線時，①〃a,O錯誤.

故選：c.

【點睛】

本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)

題.

11.B

【解析】

甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨立事件的概率公式計算即得.

【詳解】

由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是0.3,0.4,

二甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為

P=0.5x0.2+0.2x0.4+0.3x0.4=0.3.

故選：B.

【點睛】

本題考查獨立性事件的概率.掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).

12.B

【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象，可得選項.

【詳解】

由題意得，集合A表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，集合〃表示函數(shù)y=2'的圖象上的點，作出兩集合所表示的

點的示意圖如下圖所示，得出兩個圖象有兩個交點:點A和點8,所以兩個集合有兩個公共元素，所以元素個數(shù)

為2,

故選：B.

【點睛】

本題考查集合的交集運算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點的圖象，再運用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.6

【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式，結(jié)合范圍8e(0,外可求3的值，利用正弦定理可求。的值，

進(jìn)而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求敬的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

解：2Z;cosB-acosC+ccosA,

/.由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

?.?A+3+C=TT,

/.sin(A+C)=sin5,

1JT

又,.,3￡(0,%)，.?.5山8W0,??.2＜：053=1,即cos8=—,可得：B=—

239

?.?△ABC外接圓的半徑為2叵，

3

,bo2G

7i~*3,解得b=2,由余弦定理。2=/+c?-2accosS，可得+c?-ac=4，又/+c2..2ac,

sin—

2

/.4=a2+c2-ac..lac-ac=ac(當(dāng)且僅當(dāng)。=c時取等號)，即“c最大值為%

.".△ABC面積的最大值為,x4sin6=百.

2

故答案為：目.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)

用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

14.-2

【解析】

表示該二項式的展開式的第r+1項，令其指數(shù)為3,再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.

【詳解】

2r6rl23r

該二項式的展開式的第r+1項為Tr+}=C^ax}J」］=(-l)-a~C^-x-

33

令12-3r=3=r=3,所以〃=(一1)3.心-3底,J2-3x3=_20flx,貝!|一2。1=160na=-2

故答案為：—2

【點睛】

本題考查由二項式指定項的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡單題.

15.(2,3]

【解析】

先求B角,再用余弦定理找到邊久c的關(guān)系，再用基本不等式求a+c的范圍即可.

【詳解】

解：cos8+百sin8-2=0

2sin(5+3)=2,sin(B+V、=q

b~=a~+c—laccos—

3

I2=a2+c2-laccos—

3

+c)2-1=3ac<3-a；C)

1<a+c<2

所以三角形周長a+c+be(2,3]

故答案為：(2,3]

【點睛】

考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.

16.-40

【解析】

(2-力5的展開式的通項為：C；25T(T):

令r=3,得G25f(-幻’=-40x3.

答案為：-40.

點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項，再由特定項的特點求出r值即可.

(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r+1項，由特定項得出r值，最后求

出其參數(shù).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.見解析

【解析】

尤vzxVzr~

已知條件；~7+7^-7+：~7=2,需要證明的是：;~7+--^+--要想利用柯西不等式，需要

1+%-1+/i+z2i+xi+yi+z

29?-)

xyzz2

----7^-----7-*----y的值，發(fā)現(xiàn)合+1+Z2=3-----r-4-----7H----7則可以用柯西不等式.

\+x1+y-i+z+七11+r1+y1+Z

【詳解】

----T--:—5----7

1+x-\+y1+z

111.A"1J,zi

---------7H---------H---------=1----------+1---------r+]----------=]?

l+x1+y1+z-l+x1+y\+z~

由柯西不等式得，

(2y2z2Y111fxyz

U+Yl+y21+zz川+冗21+/1+Z2J-^1+X21+/1+Z2

xyz

<2.

11---+--f-7--1-+---y--2-----1--+---z-27

xyz_/-

l+x1+y1+z

【點睛】

本題考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)3；(2)4+V3.

【解析】

(1)在VC4M中，利用正弦定理即可得到答案；

(2)由S^8MN=gS^ACB可得BM?BN=4耳，在ABMN中,利用“V=J7及余弦定理得

MN2=BM2+BN2-IBM-BNcos-,解方程組即可.

6

【詳解】

(D在VC4M中，已知NC4仞=工，sinZCMA=—,AC=2,由正弦定理，

33

06

ACsin&2x——

CMAC3=__2__

得,解得CM3

sinZCAMsin/CAMsinZCMA

3

(2)因為=；SAAC8，所以；,BA/?BN?sin/=；xqx2x2\^,解得BM,BN=

22622

在gMN中,由余弦定理得，

MN°=BM?+BN?-2BM?BNc吟=(BM+BN》-2BM?BN?1+券

即訴2=$M+BN)2-2X46*1+

(8M+8N)2=19+8B=(4+G『,

故BM+BN=4+5

【點睛】

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，是一道中檔題.

19.證明見解析

【解析】

將為+々+匕=3%9演化簡可得97+++』=3,由柯西不等式可得證明.

【詳解】

解：因為內(nèi),々,七€(0,48),xl+x2+x3=3X}X2X3,

所以"~—'—■—?—■-=3,

X^)X3X[X]Xy

又(X/2+工2七+工%>>(1+1+1)2=9

所以西七+±%3+WX43,當(dāng)且僅當(dāng)玉=/=項=1時取等號.

【點睛】

本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，相對不難，注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運用.

20.(1)(-8,1(2)見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得了'(幻40在xe[2,+8)上恒成立，參變分離得aW2x-在xe[2,+oo)上

恒成立.設(shè)h(x)=2x-一1,求出h(x)min即可得到參數(shù)的取值范圍；

X+1

(\2、12

(2)不妨設(shè)一1<%〈尤2，/(X)=*+一1/(%2)，1￡(-1,毛］,

利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)E(x)在xe(-l，w］上是減函數(shù)，即可得證；

【詳解】

解：(1)，.?/(X)=InCx+D-x?+ax+2

：.f'(x)^-^-2x+a,且函數(shù)f(x)在［2,-8)上為減函數(shù)，即f(x)40在k€［2,”)上恒成立,

/.a<2x---彳在xe［2,+oo)上恒成立.設(shè)/?(%)-2x---彳，

?.?函數(shù)〃(幻在［2,+8)上單調(diào)遞增，.?.〃(?1^=〃(2)=4—：=：,

.?.實數(shù)。的取值范圍為(一00,/.

(2)不妨設(shè)一1<玉，

則尸(%)=/(2-F(w)=。，

1(12、11「門2、

小)寸土+了卜§小)=獷身+產(chǎn)卜，(X)

..12222/、、，、12、

?一XH—X=XH——(-X)0>??一XH修2X,

33~33~3V-733~

又"幻=士一2』,令g(Kx),.?.g'(x)=-島廣2<0,

???/(月在了￡(-1,+^)上為減函數(shù)，???/13+|'工2］《/'(工)，

1「(12、1,

-于'—x+—x2-/'(%)<0,即尸(x)W0,

J\DD)

，在xeQLw］上是減函數(shù)，，尸/(%2)=。，即尸(x)20,

?'?/(gx+g尤2)-；/(彳)-|'/(%2)NO，

.?.當(dāng)x?—1,毛］時，f［-x+-x2\>-f(x)+-f(x2).

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

21.(1)2:(2)見解析.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,2〃)上的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論;

5,2萬｝且滿足

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)的極大值點和極小值點分別為*、%，由(1)知王￡—兀.71,XG

(2)-2

xisin+cos=0(z=1,2),—=-tan,于是得出/(%)+/(/)=_5出玉一sin4,由得

Xi玉X2

TT

-tanx,>-tanx2,利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出,<玉<々-乃v"，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)g(x)=xsinx+cosx,g'(x)=xcosx,

-.90<X<2TT,當(dāng)4)時，cosx>0,xcosx>09g'(x)>。，則函數(shù)y=g(x)在［上單調(diào)遞增;

(43萬1/(7137r1

當(dāng)匕,時，cosxvO,xcosx<0,/(x)v0,則函數(shù)y=g(x)在［5,5J上單調(diào)遞減;

當(dāng)時，cosx>0,xcosx>0,g'(x)>0,則函數(shù)y=g(x)在［彳,2口上單調(diào)遞增.

Qg(())=i>o，gfj=y>0>g(%)=T<。,g(笄)=-芳(°，g(2乃)=i>o.

所以，函數(shù)y=g(x)在10,會與卜創(chuàng)不存在零點，在區(qū)間已兀)和停2f上各存在一個零點.

綜上所述，函數(shù)y=g